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Geometría - Preparación Educación Superior

Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 8

Lección 3: Ecuaciones de la recta
Matemáticas
Geometría - Preparación Educación Superior
Geometría analítica
Ecuaciones de la recta
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Introducción a la forma pendiente-ordenada al origen

Google Classroom
Aprende sobre la forma pendiente-ordenada al origen de las ecuaciones lineales de dos variables, y cómo interpretarla para encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta que representa.

Temas con los que debes estar familiarizado antes de leer esta lección

Lo que aprenderás en esta lección

  • Qué es la forma pendiente-ordenada al origen de las ecuaciones de dos variables.
  • Cómo encontrar la pendiente y la ordenada al origen de una recta a partir de su forma pendiente-ordenada al origen.
  • Cómo encontrar la ecuación de una recta dadas su pendiente y su ordenada al origen.

¿Qué es la forma pendiente-ordenada al origen?

La forma pendiente-ordenada al origen es una representación específica de las ecuaciones lineales. Tiene la siguiente estructura general. Redoble de tambores...
y, equals, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, b, end color #0d923f
Aquí, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 y start color #0d923f, b, end color #0d923f pueden ser cualesquiera dos números reales. Por ejemplo, estas son ecuaciones lineales en forma pendiente-ordenada al origen:
Por otro lado, estas ecuaciones lineales no están expresadas en la forma pendiente-ordenada al origen:
  • 2, x, plus, 3, y, equals, 5
  • y, minus, 3, equals, 2, left parenthesis, x, minus, 1, right parenthesis
  • x, equals, 4, y, minus, 7
La forma pendiente-ordenada al origen es la más destacada de las representaciones que hay para las ecuaciones lineales. Para saber por qué, vayamos más a fondo.

Los coeficientes en la forma pendiente-ordenada al origen

Además de limpia y sencilla, la forma pendiente-ordenada al origen tiene la ventaja de que exhibe las dos características principales de la recta que representa:
  • La pendiente es start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6.
  • La coordenada y de la intersección con el eje y es start color #0d923f, b, end color #0d923f. En otras palabras, la recta se interseca con el eje y en left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, b, end color #0d923f, right parenthesis.
Por ejemplo, la recta y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, start color #0d923f, plus, 1, end color #0d923f tiene pendiente start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 y se interseca con el eje y en left parenthesis, 0, comma, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, right parenthesis:
Se muestra un plano coordenado. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de la recta es y igual a dos x más uno. El intercepto en y, cero, uno, está marcado y etiquetado. Hay un segmento horizontal punteado de cero, uno a uno, uno. Hay un segmento vertical punteado de uno, uno a uno, tres. Los segmentos punteados están etiquetados como pendiente igual a dos.
El hecho de que esta representación dé la pendiente y la ordenada al origen (es decir, la intersección de la recta con el eje y) ¡es la razón por la cuál se llama forma pendiente-ordenada al origen!

Comprueba tu comprensión

Problema 1
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y, equals, 5, x, minus, 7?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 2
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y, equals, x, plus, 9?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 3
¿Cuál es la ordenada al origen de la recta representada por y, equals, minus, 6, x, minus, 11?
Escoge 1 respuesta:

Problema 4
¿Cuál es la ordenada al origen de la recta representada por y, equals, 4, x?
Escoge 1 respuesta:

Problema 5
¿Cuál es la pendiente de la recta representada por y, equals, 1, minus, 8, x?
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Problema 6
¿Cuáles rectas se intersecan con el eje y en el punto left parenthesis, 0, comma, 4, right parenthesis?
Elige todas las respuestas adecuadas:

Pregunta para reflexionar
¿Cómo encontramos la pendiente de una recta que está dada en forma pendiente-ordenada al origen?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío 1
Se muestra un plano coordenado. El eje horizontal está etiquetado como x. El eje vertical está etiquetado como y. La gráfica de la recta cae de izquierda a derecha y tiene un intercepto en y positivo.
¿Cuáles de estas pueden ser la ecuación de la recta?
Escoge 1 respuesta:

Problema de desafío 2
Escribe la ecuación de una recta cuya pendiente es 10 y se interseca con el eje y en left parenthesis, 0, comma, minus, 20, right parenthesis.

¿Por qué funciona esto?

Tal vez te preguntes cómo es que en la forma pendiente-ordenada al origen, start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 es la pendiente y start color #0d923f, b, end color #0d923f es la intersección con el eje y.
¿Pudiera ser una suerte de magia? Bueno, ciertamente no es magia. En las matemáticas siempre hay una justificación. En esta sección trataremos de explicar esta propiedad tomando la ecuación y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f como ejemplo.

Por qué start color #0d923f, b, end color #0d923f es el valor de la ordenada al origen

En la intersección con el eje y, el valor de x siempre es cero. Así, si queremos encontrar la ordenada al origen de la ecuación y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, debemos sustituir x, equals, 0 y determinar y.
y=2x+1=2⋅0+1Sustituye x=0=0+1=1\begin{aligned} y&=\maroonC{2}x+\greenE{1} \\\\ &=\maroonC{2}\cdot 0+\greenE{1}&\gray{\text{Sustituye }x=0} \\\\ &=0+\greenE{1} \\\\ &=\greenE{1} \end{aligned}
Observamos que en la intersección con el eje y, el término start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x vale cero y, por lo tanto, y, equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f.

Por qué start color #ed5fa6, m, end color #ed5fa6 es el valor de la pendiente

Refresquemos nuestra memoria de qué es exactamente la pendiente. La pendiente es la razón del cambio en y sobre el cambio en x entre cualesquiera dos puntos en la recta.
start text, P, e, n, d, i, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, y, divided by, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, x, end fraction
Si consideramos dos puntos donde el cambio en x es de exactamente 1 unidad, entonces el cambio en y será igual a la pendiente.
start text, P, e, n, d, i, e, n, t, e, end text, equals, start fraction, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, y, divided by, 1, end fraction, equals, start text, C, a, m, b, i, o, space, e, n, space, end text, y
Ahora veamos qué pasa con los valores de y en la ecuación y, equals, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, x, plus, start color #0d923f, 1, end color #0d923f conforme los valores de x crecen 1 unidad.
xy
0start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 0, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f
1start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 1, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
2start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 2, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
3start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 3, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
4start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, 4, dot, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6equals, start color #0d923f, 1, end color #0d923f, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6, plus, start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6
Observamos que cada vez que x se incrementa 1 unidad, y se incrementa start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 unidades. Esto sucede porque x determina el múltiplo de start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6 con el que se incrementa y.
Como mencionamos anteriormente, el cambio en y correspondiente a un incremento de 1 unidad en x es igual a la pendiente de la recta. Por esta razón, la pendiente es start color #ed5fa6, 2, end color #ed5fa6.
Problema de desafío 3
Se muestra un plano coordenadas. Los ejes X y Y escalan de uno en uno. La gráfica de una recta pasa por los puntos cero, tres negativo y uno, uno. Ambos puntos están marcados y etiquetados.
Completa la ecuación de la recta.
y, equals

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