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Contenido principal
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Transcripción del video

Nos dicen que el paralelogramo ABCD tiene los  siguientes vértices, y nos dan las coordenadas   de los diferentes vértices, y nos preguntan: "¿El  paralelogramo ABCD es un rectángulo?, ¿por qué?"   Pausa el video y trata de pensar en esto por tu  cuenta antes de que trabajemos juntos. Muy bien,   ahora trabajemos juntos. En general, si sabemos  que tenemos un paralelogramo y queremos determinar   si es un rectángulo, en realidad es cuestión de  saber si los lados adyacentes se intersecan en un   ángulo recto. Por ejemplo, un paralelogramo podría  verse así. Lo que sabemos sobre un paralelogramo   es que los lados opuestos son paralelos, de modo  que este lado es paralelo a este lado y este lado   es paralelo a este lado. Todos los rectángulos son  paralelogramos pero no todos los paralelogramos   son rectángulos. Para que un paralelogramo sea  un rectángulo, estos lados deben intersecarse en   ángulos rectos; y claramente por la forma en  que dibujé este paralelogramo eso no es así.   Pero veamos si podemos resolver esto con base en  las coordenadas que nos han dado, y para ayudarnos   a visualizarlo déjenme poner algunas coordenadas.  Vamos a dibujar los ejes, así que este es el eje   X y este es el eje Y. Veamos las coordenadas:  tenemos 2, 4, 6 y 8, entonces tenemos 2, 4, 6 y 8,   y luego tenemos -2, -4, -6 y -8, tenemos 2, 4, 6  y 8 y luego tenemos -2, -4, -6 y -8. Cada marca   corresponde a 2 -estoy contando de dos en dos-.  Tracemos estos puntos y lo haremos en un color   diferente para que los veamos mejor. A está en -6,  -4, entonces tenemos -2, -4, -6 y luego -4 está   por aquí, este es el punto A. Luego tenemos el  punto B en -2,6, entonces -2 y 2, 4, 6, el punto B   está justo aquí. Luego tenemos el punto C en 8,2,  8,2, justo aquí este es el punto C. Y por último,   pero no menos importante, tenemos el punto D en  4,-8 justo aquí tenemos el punto D. De modo que   nuestro cuadrilátero -en realidad sabemos que es  un paralelogramo- se ve así. Tenemos un segmento   AB que se ve así, un segmento BC que se ve así, el  segmento CD y el segmento AD se ve así. Ya sabemos   que es un paralelogramo, de modo que sabemos que  el segmento AB es paralelo al segmento BC y el   segmento BC es paralelo al segmento AB, pero lo  que realmente necesitamos hacer es descubrir si se   intersecan en ángulos rectos. Tenemos que calcular  las pendientes de estos segmentos de recta usando   las coordenadas. Calculemos primero la pendiente  de AB. La pendiente del segmento AB va a ser igual   al cambio en Y sobre el cambio en X, entonces  nuestro cambio en Y será igual a 6 menos -4,   6 - - 4, sobre -2 - -6, -2 - -6, esto es igual a 6  + 4, que es igual a 10 / -2 - -6, que es lo mismo   que 2 + 6, esto es igual a 4, que es lo mismo  que 5/2. Muy bien, esto es interesante. ¿Cuál   es la pendiente del segmento BC? La pendiente  del segmento BC es igual al cambio en Y sobre el   cambio en X, el cambio de nuestras coordenadas del  eje Y es igual a 2 - 6, 2 - 6 / 8 - -2, 8 - -2,   que es igual a -4 / 8 - -2, es lo mismo que 8 +  2, que es igual a 10, y esto es lo mismo que -2/5.   Ahora, en otros videos de la clase de álgebra es  posible que hayas aprendido que las pendientes de   las rectas que se intersecan en ángulo recto,  las pendientes de las rectas que forman un   ángulo recto en su punto de intersección, van  a ser los recíprocos opuestos, y en realidad   es lo que podemos ver aquí, estos son recíprocos  opuestos. Si tomamos el recíproco de la pendiente   que tenemos aquí arriba, obtenemos 2/5 y luego  tomamos el opuesto, o en este caso el negativo,   vamos a tener -2/5, de modo que estas son rectas  perpendiculares. Esto nos permite saber que el   segmento AB es perpendicular al segmento BC,  entonces sabemos que este es el caso. Y podríamos   seguir haciendo esto, pero en un paralelogramo,  si un conjunto de segmentos se intersecan en un   ángulo recto, todos ellos se intersecan en ángulos  rectos. Podríamos demostrarlo más rigurosamente,   pero esto es suficiente evidencia para mí.  Esto es un rectángulo. Si lo desean pueden   continuar haciendo este análisis y comprobar que  esto es perpendicular, esto es perpendicular y   esto también es perpendicular. Pero veamos  cuál de estas opciones coincide con lo que   acabamos de deducir. La opción A dice que sí, y  sí se refiere a que es un rectángulo porque la   longitud del segmento AB es igual a la longitud  del segmento AB y la longitud del segmento BC   es igual a la longitud del segmento CD. Eso podría  ser cierto, no lo hemos validado, pero sólo porque   esto sea cierto y porque sepamos que ABCD es  un paralelogramo eso no nos permite saber si   en realidad estamos tratando con un rectángulo.  Por ejemplo, podemos tener un paralelogramo donde   incluso todos los lados sean congruentes, entonces  podríamos tener un paralelogramo que se vea así;   y obviamente si todos los lados son congruentes  estamos tratando con un rombo, pero un rombo no   necesariamente va a ser un rectángulo, de modo  que descartamos esta opción. Esta segunda opción   dice que sí porque BC es perpendicular a AB. Sí,  vimos eso al comprobar que sus pendientes son   los recíprocos opuestos el uno del otro, y por  supuesto sabemos que ABCD es un paralelogramo,   así que me gusta esta opción. Y estas  opciones afirman que esto no es un rectángulo,   pero ya dedujimos que es un rectángulo, de  modo que podríamos descartar estas también.