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Demostración del teorema del ángulo inscrito

Demostración de que un ángulo inscrito es la mitad de un ángulo centra que subtiende al mismo arco. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es probar uno de los resultados más útiles para geometría de ángulos en la circunferencia dice lo siguiente dice que la medida de un ángulo inscrito un ángulo inscrito simplemente es un ángulo que tiene un vértice sobre la circunferencia entonces la medida de un ángulo digamos de este estilo lo voy a poner algo así esta medida que le vamos a llamar si voy a utilizar la letra griega pge y para las medidas de ángulos inscritos entonces el resultado dice que si la medida de este ángulo es igual a la mitad de la medida del ángulo central que abre el mismo arco ahí hay un montón de palabras sofisticadas pero la idea es muy simple dice lo siguiente dice nos fijamos en él en el arco que define este ángulo inscrito o sea aquí hay dos puntos esos dos puntos definen este arco este arco de la circunferencia y ese arco de la circunferencia define un ángulo central déjame pintar el ángulo central en color azul en este de acá y este de aquí entonces lo que dice este resultado es que si este ángulo central mide theta entonces la medida del ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo central o sea si es igual a un medio un medio de teta sin importar cuál en un inscrito o sea eso está súper impresionante y después va a ser útil para muchos otros resultados lo que vamos a hacer en este vídeo es mostrar por qué siempre sucede déjame empezar con un caso sencillo voy a borrar esto y voy a empezar con el siguiente caso el caso es cuando uno de los lados uno de los lados del ángulo inscrito pasa justo por el centro de la circunferencia algo más o menos de este estilo sale entonces este sería uno de los lados del ángulo y el otro vamos a pintarlo digamos por acá algo de este estilo déjame marcar que estoy aquí me de pge y me de pepsi y en este caso vamos a observar lo siguiente de aquí del vértice del ángulo al centro de la circunferencia es un radio pero también de éste de este punto del centro de la circunferencia a este de acá tenemos un radio porque justo este punto está sobre la circunferencia y la circunferencia es el lugar de los puntos aún a una misma distancia de un centro entonces si éste es r estoy acá también ese r bueno si este es r y éste es r este triángulo es un triángulo isósceles y como este ángulo mide eps y este ángulo de acá también mide pge y también mide si a lo mejor estás acostumbrado a verlo de otra forma o sea si tenemos un triángulo así verdad donde esté mide lo mismo que este entonces este ángulo este ángulo mide lo mismo que este ángulo de acá pero bueno el chiste es que pudimos pasar este ángulo y para acá y ahora vamos a poner aquí el ángulo theta que nos interesa el ángulo theta porque justo justo el arco que abre el ángulo inscrito es este de acá arriba este de acá arriba y por lo tanto el ángulo central correspondiente dice que a cabo el que acabo de marcar como theta este de acá vale entonces nos gustaría ver que teta es el doble de sí o bien que si mide la mitad de teta bueno si estoy aquí es teta esté acá por ser suplementario mide 180 grados menos teta pero ahora vamos a utilizar que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 grados entonces tendríamos que sí más sí o sea dos veces sí más 180 menos teta 180 grados menos teta es igual a 180 grados otra vez esto es por la suma de los ángulos internos de un triángulo cancelamos 180 con 180 y nos queda que dos veces si dos veces si menos teta menos teta es igual a cero o bien ya lo voy a poner en color verde que dos veces si es igual a detalle eso es justo lo que queríamos bueno es lo que queríamos después de dividir entre dos o sea o más bien antes de dividir entre dos dividiendo entre dos nos queda que si es igual a t está dividido entre dos vale la medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central o bien el ángulo central mide el doble que el inscrito pero pero hasta ahorita sólo es para un caso sencillo verdad para el caso en el cual este lado uno de los lados podemos pensarlo como como rayo uno de los rayos que define el ángulo pasa por el centro de la circunferencia bueno de todas formas esto es bastante bueno verdad o sea por ejemplo si supiéramos que este teta mide 60 grados entonces sabríamos que si es de 30 grados es de 30 grados y así ya podríamos resolver varios problemas pero nos gustaría también poder mostrar este resultado para cuando tenemos otro tipo de ángulos así que déjame déjame borrar y vamos a hacer otro caso más ahora vamos a hacer el caso en el cual el ángulo el ángulo inscrito contiene al centro de la circunferencia es decir queda más o menos como algo de este estilo vale algo de este estilo y después vemos el último caso bueno en este caso déjame déjame marcar todo lo que nos interesa este ángulo de acá eso sí aquí tendríamos el arco que ya no lo voy a pintar pero bueno ahí tendríamos el arco que define este ángulo inscrito acá tendríamos el ángulo teta que es el ángulo central correspondiente teta y nos gustaría ver otra vez que teta es el doble de pepsi o que si es la mitad de teta pero ya sabemos cómo hacerle cuando uno de los lados del ángulo es el diámetro entonces vamos a aprovechar eso y vamos a dibujar un diámetro que pase por el vértice y por el centro vale así entonces observa que tanto si como te estás quedan divididos en dos ángulos que corresponden al caso que ya teníamos eso está muy padre verdad déjame embarcar lo más explícitamente o sea este ángulo si queda dividido aquí en un ángulo en un ángulo pge y uno si uno voy a poner un poco más bonito y uno y de este lado un ángulo y dos y dos y del otro lado o más bien aquí donde están los ángulos centrales theta queda dividido en un ángulo theta 1 y un ángulo theta 2 y ahora podemos aplicar lo que ya mostramos en el caso anterior como tenemos que este ángulo este ángulo de acá tiene uno de sus lados pasando por el centro entonces z 1 teta 1 30 1 es igual a 2 veces si 1 dos veces si uno y de manera similar teta 230 2 voy a ponerlo más a la izquierda para que quede más alineado es igual a dos veces dos veces si dos otra vez esto lo podemos asegurar porque también este ángulo que queda ahora de este lado tiene uno de sus lados que pasa por el centro vale bueno vamos a sumar estas dos igualdades si las sumamos tenemos que teta 1 más tentados es igual a dos veces si uno dos veces y dos déjame factorizar el 2 2 veces y uno más si 2 vale simplemente factor hice el 2 pero está padrísimo porque esto de acá está uno más de tazos este está el ángulo central con el que habíamos iniciado es igual a dos veces estoy acá pero esta suma si uno más si dos es el original es igual a dos sí y por lo tanto dividiendo entre dos de ambos lados tenemos que si es igual a teta teta entre dos entonces con eso completamos también este caso en el cual el centro queda en el interior del ángulo inscrito ya nada más nos falta un caso cuando el centro queda fuera de este de este ángulo vamos a hacerlo vamos a eliminar lo que pusimos y vamos a poner ahora un ángulo de los que faltan que sería algo más o menos hacia un ángulo de este estilo no tiene al centro en su interior vale entonces por aquí tenemos este punto y este punto este ángulo de acá que nos interesa es si el ángulo central tiene que abrir este mismo arco entonces nos quedaría así este con este vamos a ponerle que este mide teta y nos gustaría ver como siempre que teta es el doble de sí o que si es la mitad beteta bueno este caso también tiene un truco similar a la anterior como sabemos cómo se comportan estos ángulos cuando cuando trazamos líneas por diámetros pues justo vamos a trazar una línea una línea que sea un diámetro una línea de este estilo que pase por el centro pues y entonces al hacer esto se nos forman dos ángulos dos ángulos en los cuales uno de los lados pasa por el centro este ángulo de acá y este ángulo de acá vale déjame llamarle a este ángulo a este ángulo de acá si uno si uno y observa que ese ángulo si uno abre este arco y abre este arco y por lo tanto el ángulo central correspondiente es este de acá que vamos a llamarle theta uno te dan 1 vale entonces aplicando el primer caso que vimos en si uno intenta uno tenemos lo voy a escribir por acá déjame ponerte está uno con otro color para para que sea un poco más fácil y siguiendo lo vamos a ponerlo en color rojo que está bueno vamos a ponerlo así nada más teta teta 1 vale entonces tenemos que teta uno es igual a dos veces si uno es igual a dos veces si uno vale eso es aplicando el primer caso en este ángulo de acá pero también podemos aplicar el primer caso en este ángulo de acá en este y este ángulo con su ángulo central correspondiente que ahora sería este de acá y este de acá vale entonces ahí tendríamos que teta más te está 1 te da más de 130 1 es igual al doble al doble de si más si uno entonces vamos a ponerlo así sin más si uno más si si uno desarrollando del lado derecho pero me volver a escribir lo tenemos teta más de 130 1 es igual a dos veces sí dos veces sin más dos veces y uno más dos veces y uno si uno y sustituyendo theta uno aquí abajo tenemos que teta más dos veces y uno más dos veces sí es igual a dos veces si dos veces sin más dos veces si uno dos veces si uno y aquí podemos restar dos veces si uno de ambos lados y obtenemos justo lo que queríamos que teta teta es igual a dos veces si dos veces si o bien si es igual a theta entre dos que está entre dos y listo con esto ya cubrimos todos los posibles casos que podíamos tener cuando cuando el centro pasa por el interior del ángulo cuando pasa por el exterior y cuando el centro está sobre uno de los lados del ángulo vale este resultado está muy interesante es muy sencillo es muy fácil de decir y además lo vamos a utilizar para seguir haciendo muchas más cosas en el círculo y para construir otro tipo de ángulos y encontrar otras propiedades vale nos vemos en siguientes vídeos