Centroide y ortocentro en común

tenemos este problema muestra que siendo un triángulo el otro centro y el centro y d coinciden entonces el triángulo equilátero va entonces el [ __ ] centro y el centro y d coinciden y como recordatorio el otro centro es donde se intersectan las alturas de un triángulo y el centro hoy de es donde se intersectan las medianas entonces aquí en la figura podemos suponer que este punto de aquí es [ __ ] centro y centro y d y por lo tanto estas tres rectas son alturas y medianas déjame pasar esa información a ver cómo son alturas entonces llegan a los lados con ángulos rectos con ángulos de 90 grados entonces todos estos ángulos son de de 90 grados también tenemos por acá 90 grados y 90 grados 90 grados pero además como este punto es el centro y d tenemos que las tres son medianas así llegan a los puntos medios del lado opuesto y por lo tanto este segmento es igual a este de acá también tenemos que este segmento es igual a este de acá y finalmente tenemos que este segmento es igual a este de acá muy bien entonces pasan todavía más cosas padres verdad porque estas rectas son perpendiculares y llegan al punto medio entonces además de ser medianas y alturas también son media tristes y por lo tanto este punto de acá también es el círculo centro del triángulo pero bueno fuera de estas cosas padres que pasan vamos a enfocarnos en mostrar que el triángulo equilátero vale para eso déjame ponerle el nombre a los puntos involucrados para poder referirme a ellos estoy acá va a ser de por aquí va a estar y por aquí va a estar efe y al centro y de [ __ ] centro le voy a llamar g bueno lo primero que vamos a hacer es comparar los triángulos a gf el triángulo efe efe con el triángulo notemos que ya tienen varias cosas en común tienen efe efe o sea este lado es igual a este tienen f g igual a sí mismo entonces es este lado es igual a este lado visto en cada uno de los triángulos y además tienen el ángulo entre esos dos lados correspondientes igual porque es un ángulo de 90 grados entonces tenemos que estos dos triángulos son congruentes por el criterio lado ángulo lado lo voy a poner por aquí estos dos de acá son congruentes congruentes por el criterio lado ángulo plano muy bien y como son congruentes tienen otras partes correspondientes en común ahorita las marcamos déjame déjame ver otros triángulos ahora vámonos al eje de con el cgd es exactamente la misma idea una vez más tenemos este lado este ángulo y este lado iguales a este lado este ángulo y este lado entonces también son triángulos congruentes lo voy a poner por aquí tenemos que el triángulo triángulo eje d es congruente al triángulo cgd el triángulo ce y también es por el criterio lado ángulo lado y lo mismo sucede con estos dos de acá verdad también tenemos también tenemos lo voy a poner en morado que el triángulo cgb y el triángulo c que ve es congruente se ve al bebé es congruente al triángulo a gm bueno con esto deberíamos de poder trabajar bastante la información que tenemos en la figura déjame marcar este ángulo de acá como un ángulo azul él efe ag entonces éste lo voy a poner como ángulo azul y este de acá este de aquí lo voy a poner con un ángulo pues digamos amarillo vale entonces ahí tenemos ángulo amarillo bueno como los triángulos fg son congruentes entonces este ángulo de acá el ángulo en a es igual al ángulo en déjame marcarlo y estoy aquí está azul va pero además este ángulo es igual a este de acá o sea el eje a es congruente al fg y entonces éste sería igual este de acá vamos a seguir pasando ángulos pero ahora no vamos a usar las congruencia si no vamos a usar que éste es opuesto por el vértice a este de acá entonces el ángulo egea y el de gc esos dos ángulos son congruentes tenemos que este ángulo es también lo mismo que el amarillo de acá y de manera similar como estos dos son son triángulos congruentes tenemos que este también es igual al amarillo este cruza a través del vértice por acá y este cruza a través del vértice por acá vale entonces observa que estos seis ángulos que quedaron aquí en el centro digamos ángulos internos todos miden lo mismo todos estos ángulos amarillos miden lo mismo vale pero ahora vamos a ver qué sucede con los otros ángulos de estos triángulos pequeños observa que este triángulo ya tiene un ángulo recto y un ángulo amarillo pero lo mismo sucede con el de eje también tiene un triángulo recto y un ángulo amarillo entonces el ángulo azulito es lo que falta para que azul más amarillo más verde sumen 180 grados y por lo tanto este de acá también tiene que ser azul vale este de aquí es azul este de aquí también es azul este de aquí es azul vaya a lo que estoy diciendo es que si en un triángulo ya conocemos dos de los ángulos entonces el tercero queda totalmente determinado como en esos seis triángulos todos tienen el verde o sea el recto y el amarillo entonces también deben de tener a la suya entonces azul azul azul azul azul y este acá también es azul va pero observa entonces con estos ángulos azulitos podemos concluir lo siguiente vamos a ver ahora el ángulo que hace tenemos que el ángulo ángulo hace que hace está conformado por dos ángulos azulitos entonces es congruente al ángulo hace hace y porque también son dos ángulos azulitos y s de ahí es congruente al ángulo c congruente al ángulo y a y listo conseguimos un triángulo en el cual los tres ángulos en los vértices son iguales y por lo tanto los tres deben de ser iguales a 60 grados de esta forma mostramos que si el otro centro y el centro debe coincidir en entonces los tres ángulos del triángulo son iguales y como ya platicamos antes esto es suficiente para asegurar que los tres lados del triángulo son iguales