Demostración de centroides y medianas

aquí dibujé un triángulo y sus tres medianas tenemos que a de mediana v es mediana y cf es mediana y además al punto en donde sabemos que se intersectan las tres medianas le llame g vale entonces que es el centro hoy desde el triángulo hace y bueno lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que ge está a dos terceras partes de la distancia sobre cualquiera de las medianas cuando nos dirigimos del vértice hacia el punto medio por ejemplo si tomo esta mediana de aquí la mediana lo que quiero probar es que eje es el doble de gm lo voy a poner por aquí quiero probar que eje es igual al doble al doblete je veux y eso es exactamente lo mismo que decir que g está a dos tercios de distancia vale bueno vamos a demostrarlo para esta mediana y los demás van a ser similares entonces para hacerlo lo que vamos a hacer es enfocarnos nada más en el triángulo b entonces déjame copiarlo por acá el triángulo a hebe voy a agarrar la herramienta de línea recta para que quede más bonito entonces ahí está ahí más o menos por acá va a quedar ve y aquí voy a ponerlo de color morado voy a poner todo con el color que le toca vale además voy a marcar esta que está en color rosa que llega más o menos ahí y finalmente la que llega acá al punto medio el punto medio efe bueno déjame etiquetar todo para no confundirnos este de aquí mide tres rayitas estoy aquí mide tres rayitas este acá mide dos rayitas dos rayitas y los vértices se llaman v bueno el vértice sería en este punto de aquí es el centro hoy de es g y este de acá es el punto medio de ahí que se llama efe bueno entonces vamos a probar qué eje es igual a dos veces jefe utilizando esta figura y utilizando un resultado que vimos me parece que hace dos vídeos en el cual mostrábamos que al hacer esta figura al tratar las tres medianas el triángulo quedaba dividido en seis triángulos que tenían la misma área entonces lo que vamos a hacer es comparar el área de los triángulos y ag y déjame marcar los voy a poner el agv en color naranja aquí está el agv en color naranja el agv es este triangulito de acá vale este es el triángulo en el dibujo original y me voy a fijar también en el a eje y ese lo voy a marcar le marcar en color azul ya está en color azul azul bonito y sería este de acá en la figura original bueno vamos a ver qué sucede con esos dos triángulos esos dos triángulos pues no no tienen la misma base verdad tienen aquí bebé y aquí y de hecho queremos ver que ésta es el doble que ésta entonces pues el plan es que no tengan la misma base pero lo que sí es cierto es que estos dos triángulos tienen la misma altura porque para ambos triángulos para encontrar la altura lo que tenemos que hacer es trazar una perpendicular desde a hasta hasta el lado v hasta el lado v tenemos que trazar más o menos una altura de este estilo para que baje perpendicular algo de este estilo y entonces pues ahí tendríamos una cierta altura h que es común tanto a la gm omar a hebe vale bueno lo que vamos a hacer ahora es comparar el área de estos dos triángulos pero observa por un lado por lo que platicamos en hace dos vídeos este triangulito de acá tiene dos triángulos pequeños entonces este triangulito pues podemos pensar que tiene área 2 x donde x x es el área de cada uno de estos triangulitos vale entonces estos dos tienen la misma área por lo que ya vimos este tiene x este tiene x entonces el área del eje sería 2x pero ahora con este de acá tenemos que éste está formado por uno de los triangulitos entonces este este de acá tendría área x bueno entonces sabiendo esto y utilizando esta altura y las bases vamos a comparar las áreas de los dos triángulos entonces qué sucede con el área del triángulo a gm el área del triángulo agv área del triángulo gv es igual es igual a la base bueno es igual a un medio voy a poner primero un medio de la base que sería gm gm multiplicado por la altura multiplicado por la altura pero sabemos que esta área de aquí es igual lo voy a poner de este lado es igual a x vale es igual a x ahora vamos con el otro triángulo con el eje que se lo voy a hacer en color azul y vamos a ver que tenemos tenemos que el área del triángulo le voy a poner a g es igual a un medio en un medio de la base pero que ahora sería eje y g x la altura por la altura h que es esta misma altura h que es la de arriba vale y eso de aquí es igual es igual a 2x es igual a 2 x pero bueno si aquí tenemos el valor de x podemos sustituir este valor de x aquí abajo para ver qué nos dice entonces déjame hacer eso va vamos a tomar el color azul y tenemos que un medio un medio d multiplicado por la altura es igual es igual a 12 x es igual a 2x pero aquí tengo el valor de x entonces esto lo puede sustituir por dos veces dos veces este valor de x que es un medio un medio de gm gm x h x h muy bien entonces vamos a ver qué información tenemos aquí déjame agarrar otro color que no haya usado el amarillo digamos a ver entonces este 2 puede cancelarse con este 2 la altura puede cancelarse con la altura y lo que concluimos es que un medio un medio de eje es igual a je veux y eso es justo lo que queríamos probar verdad queríamos probar que gm medía la mitad de eje bueno en realidad queríamos probar que eje era el doble de jebe pero es lo mismo si basta multiplicar aquí por dos por los dos lados y entonces tenemos justo que eje es igual a dos veces se ve y listo con esto terminamos con esto probamos que el punto g está a dos tercios de distancia del vértice al punto medio y en realidad este argumento que hicimos aquí se puede repetir para cualquiera de las medianas y por lo tanto con esto probamos el resultado