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Geometría - Preparación Educación Superior
Polígonos como curvas especiales
Puedes haber aprendido que triángulos, rectángulos, etc. son ejemplos de polígonos, pero no los círculos. ¿Exactamente qué hace que una curva sea un polígono? Creado por Aanand Srinivas.
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Transcripción del video
He dibujado algunas curvas por aquí, y observa
que estas curvas a la izquierda pertenecen a una familia que llamamos polígonos, mientras que las
curvas que están a la derecha no pertenecen a esa familia. Ahora, ¿por qué algunas curvas pertenecen
a esta familia y otras no? Bueno, para pertenecer a esta familia debes cumplir algunas reglas. Lo
que quiero que hagas es que veas a los miembros de esta familia y los compares con los que
no son miembros de esa familia. Observando estos dos grupos, ¿puedes establecer cuáles son
estas reglas? Bueno, si piensas un poco en esto, te darás cuenta de que una de las reglas puede ser
que todas estas curvas se componen de segmentos de líneas rectas, no hay curvas dobladas como esta,
entonces, tal vez sea la primera regla: que se componen sólo de segmentos de recta, se componen
sólo de segmentos de recta. Perfecto. Pero, ¿es la única regla? Si esa fuera la única regla,
entonces, observa: esta sería parte de la familia de polígonos porque sólo está hecho de segmentos
de recta, y entonces esta también debería de ser parte de la familia de polígonos porque está
hecha sólo de segmentos de recta al igual que este. Entonces, tal vez existan más reglas para
pertenecer a esta familia, tal vez esta sea una regla pero sigamos buscando. Entonces, ¿qué otra
regla es posible? Esta figura no es parte de la familia, pero esta sí lo es, y hay una diferencia
muy pequeña entre estas dos: que esta es abierta y esta es cerrada, entonces podemos darnos cuenta
de que todas estas son cerradas, lo que significa que tienen un interior y un exterior que
llamaremos la región interior y la región exterior. Así que podemos pensar que otra regla
que deben de seguir los miembros de esta familia es que deben de ser cerrados, así que, si eres
una curva, debes ser cerrada y estar compuesta de segmentos de recta para poder pertenecer a esta
familia llamada polígonos. Porque observa, si sólo pedimos que sean cerradas, entonces el círculo
formaría parte de esta familia, pero no lo es; si sólo pedimos que sean cerradas, esta curva
y esta otra curva también serían un polígono, pero sabemos que no son parte de esta familia.
Entonces tenemos estas dos reglas, es decir: que las curvas sean cerradas y que se compongan
sólo de segmentos de recta. Pero, ¿es todo lo que necesitamos para pertenecer a esta familia de
polígonos? Observa esto: esta curva que tenemos aquí es cerrada y sólo está hecha de segmentos
de recta, y esta otra también, entonces debemos preguntarnos: ¿es esto suficiente para pertenecer
a esta familia?, ¿son las únicas dos reglas que necesitamos? Si ahora vemos esta figura, puedes
ver que está hecha sólo de segmentos de recta y es cerrada, tiene una región interna y una externa.
Pensemos en esta otra, esta figura de cierta forma es cerrada y está compuesta de segmentos de
recta, entonces ¿qué sucede?, ¿necesitaremos una pequeña regla adicional para nuestras curvas?
Sí, necesitamos que las curvas sean del tipo que denominamos simples. Si recordamos, en una
curva simple, si tomamos una esquina como ésta, sólo debemos tener dos líneas que salgan de
ella. En este caso tenemos tres; por acá podemos observar que tenemos tres líneas saliendo de
este punto, por lo tanto, no son curvas simples; mientras que si observamos por aquí, de todas
las esquinas sólo salen dos líneas como máximo, y de hecho siempre tienen dos líneas porque deben
de ser cerradas. Si observas todas estas curvas, todas tienen sólo dos líneas que salen de las
esquinas, en otras palabras: nunca tendrás dos regiones internas -como aquí- ya que sólo debemos
tener una región interna. Ahora sabemos que siempre y cuando una curva siga todas estas tres
reglas será miembro de esta familia que llamamos polígonos, deben de ser curvas simples, cerradas
y deben componerse sólo de segmentos de recta.