Contenido principal

Geometría - Preparación Educación Superior

Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 4

Lección 1: Criterios o postulados de semejanza de triángulos

Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo

Utiliza homotecias y transformaciones rígidas para mostrar por qué un par de triángulos con al menos dos pares de ángulos correspondientes congruentes deben ser semejantes.

¿Qué significa que triángulos sean semejantes?

Definición 1

Corriente

¿Qué significa semejante en geometría?

(Elección A)
Si todos los pares de ángulos correspondientes en dos figuras son congruentes, entonces las figuras son semejantes.
(Elección B)
Si todos los pares de lados correspondientes en dos figuras tienen razones iguales, entonces las figuras son semejantes.
(Elección C)
Si podemos mapear una figura a la otra con una secuencia de transformaciones rígidas, entonces las figuras son semejantes.
(Elección D)
Si podemos mapear una figura a la otra con una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias, entonces las cifras son semejantes.

Demostrar que triángulos son semejantes

Utilizando las propiedades de traslaciones, rotaciones y reflexiones, podemos demostrar que dos triángulos son congruentes cuando solo conocemos algunas de sus medidas. ¿Cuánta información necesitamos saber que dos triángulos son semejantes?

¿Dos pares de ángulos y dos pares de lados?

¿Cómo podemos justificar que triangle, A, prime, B, prime, C, prime es congruente a triangle, D, E, F?

¿Qué tipo de transformaciones mapean triangle, A, prime, B, prime, C, prime a triangle, D, E, F?

triangle, A, prime, B, prime, C, prime es congruente a triangle, D, E, F, así que podemos mapear triangle, A, prime, B, prime, C, prime a triangle, D, E, F con solo

Completa la secuencia de transformaciones para justificar que triangle, A, B, C es semejante a triangle, D, E, F.

triangle, D, E, F es la imagen de triangle, A, B, C después de:

Aplica homotecia con factor de escala
con respecto al punto P.
Traslada a lo largo del segmento dirigido de recta
.
Rota alrededor del punto
por m, angle, C, start superscript, prime, prime, end superscript, E, F.
Refleja a través de la recta
.

[¿Cómo podemos estar seguros que A'C'=FD?]

¿Qué tan bajo podemos llegar?

De acuerdo con nuestras transformaciones anteriores, podemos estar seguros que dos triángulos son semejantes si tienen 2 pares de ángulos correspondientes congruentes y 2 pares de lados correspondientes con razones iguales. ¿Podemos demostrar que los triángulos son semejantes con menos información? ¿Cuánto menos?

¿Dos pares de ángulos y un par de lados?

Corriente

Completa la justificación que triangle, G, H, I es semejante a triangle, J, K, L.

triangle, G, prime, H, prime, I, prime es la imagen de triangle, G, H, I después de una homotecia con factor de escala
.
Podemos usar transformaciones rígidas para mapear triangle, G, prime, H, prime, I, prime a triangle, J, K, L, pues triangle, G, prime, H, prime, I, prime, \cong, triangle, J, K, L por congruencia
.
Podemos mapear triangle, G, H, I a triangle, J, K, L con una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias, así que triangle, G, H, I, \sim, triangle, J, K, L.

¿Solo dos pares de ángulos?

Corriente

Completa la justificación que triangle, M, N, O es semejante a triangle, P, Q, R.

	Proposición	Razonamiento
1	angle, M, \cong, angle, P y angle, N, \cong, angle, Q	Dado
2	Homotecia triangle, M, N, O con factor de escala
3	angle, M, prime, \cong, angle, M y angle, N, prime, \cong, angle, N	Homotecias preservan medidas de ángulos
4	angle, M, prime, \cong, angle, P y angle, N, prime, \cong, angle, Q	Propiedad transitiva de congruencia
5	M, prime, N, prime, equals	Homotecia definida así
6	triangle, M, prime, N, prime, O, prime, \cong, triangle, P, Q, R	Congruencia ángulo-lado-ángulo
7	Hay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean triangle, M, prime, N, prime, O, prime a triangle, P, Q, R.	Definición de
8	triangle, M, N, O, \sim, triangle, P, Q, R	Hay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean triangle, M, N, O a triangle, P, Q, R.

¡Sí! Podemos demostrar que dos triángulos son semejantes, aun si todo lo que sabemos es que tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes .

Profundiza

Estas son algunas preguntas adiconales para profundizar tu pensamiento. Por favor, comparte tus respuestas en los comentarios.

¿Cómo puedes demostrar el criterio de semejanza ángulo-ángulo (AA) con el criterio de congruencia ángulo-ángulo-lado (AAL) en lugar del criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo (ALA)?
¿Cuál es la diferencia entre el criterio de semejanza lado-lado-lado y el criterio de congruencia lado-lado-lado?
¿Hay un criterio de semejanza para cuadriláteros que use solo ángulos?

¿Quieres unirte a la conversación?

Inicia sesión

Ordenar por:

Estrella Alvarez
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Por favor menos complicad...” de Estrella Alvarez
Por favor menos complicado, gracias.
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “Por favor menos complicad...” de Estrella Alvarez
(7 votos)
Respuesta
Manuel Mauricio Martinez
Publicado hace hace 2 años. Enlace directo a la publicación “Se puede demostrar el cri...” de Manuel Mauricio Martinez
Se puede demostrar el criterio de semejanza AA, con un triángulo isósceles, usando el razonamiento de que las medidas de los dos ángulos de la base y las medidas de las patas de un triángulo isósceles son iguales.
y dos triángulos isósceles serán semejantes, si un triángulo ABC que tenga 2 pares de ángulos correspondientes congruentes con un segundo triángulo DEF, después de aplicar una homotecia, usando el razonamiento de que son triángulos isósceles.

Lo mismo aplica para un triángulo rectángulo.

También se puede demostrar con las constante de proporcionalidad entre los segmentos de dos triángulos con dos pares de ángulos correspondientes congruentes, tal que si a un segmento AB se le aplica una homotecia para expandirlo y coincidir con un segundo segmento DE, los segmentos de sus lados serán congruentes, y ahí se puede usar el criterio AAL de congruencia.

la semejanza LLL : Dice que la razón entre los 3 pares de lados correspondientes en dos triángulos semejantes es equivalente.
la congruencia LLL: Dice que 2 triángulos son congruentes, si los 3 pares de lados correspondientes son congruentes.

Puedo establecer un criterio de semejanza para cuadriláteros, que solo use ángulos pero no únicamente usando transformaciones rígidas y homotecias; tendría que usar dilataciones y estiramientos.
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(4 votos)
Respuesta
ppenyaesteban
Publicado hace hace 5 meses. Enlace directo a la publicación “En el ejercicio cuyo enun...” de ppenyaesteban
En el ejercicio cuyo enunciado es :
"Completa la justificación que △MNO es semejante a △PQR", hay un error.
En el punto 7 se define "Hay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean △M′N′O′ a △PQR" como congruencia, cuando justamente, se está intentando que definamos lo que es la semejanza.
¿Podrían revisarlo para que no lleve a equívoco, por favor?
Botón que navega a la página de registroBotón que navega a la página de registro
(3 votos)
Respuesta
Miruko01
Publicado hace hace 9 meses. Enlace directo a la publicación “No se que escribir.... Lo...” de Miruko01
No se que escribir.... Lo siento
Botón que navega a la página de registroComentar en la publicación “No se que escribir.... Lo...” de Miruko01
(1 voto)
Respuesta

¿Sabes inglés? Haz clic aquí para ver más discusiones en el sitio en inglés de Khan Academy.