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Contenido principal

Criterio de semejanza de triángulos ángulo-ángulo

Utiliza homotecias y transformaciones rígidas para mostrar por qué un par de triángulos con al menos dos pares de ángulos correspondientes congruentes deben ser semejantes.

¿Qué significa que triángulos sean semejantes?

Definición 1
¿Qué significa semejante en geometría?
Escoge 1 respuesta:
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Demostrar que triángulos son semejantes

Utilizando las propiedades de traslaciones, rotaciones y reflexiones, podemos demostrar que dos triángulos son congruentes cuando solo conocemos algunas de sus medidas. ¿Cuánta información necesitamos saber que dos triángulos son semejantes?

¿Dos pares de ángulos y dos pares de lados?

¿Cómo podemos justificar que triangle, A, prime, B, prime, C, prime es congruente a triangle, D, E, F?
Elige 2 respuestas:
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¿Qué tipo de transformaciones mapean triangle, A, prime, B, prime, C, prime a triangle, D, E, F?
triangle, A, prime, B, prime, C, prime es congruente a triangle, D, E, F, así que podemos mapear triangle, A, prime, B, prime, C, prime a triangle, D, E, F con solo
.

Completa la secuencia de transformaciones para justificar que triangle, A, B, C es semejante a triangle, D, E, F.
triangle, D, E, F es la imagen de triangle, A, B, C después de:
  1. Aplica homotecia con factor de escala
    con respecto al punto P.
  2. Traslada a lo largo del segmento dirigido de recta
    .
  3. Rota alrededor del punto
    por m, angle, C, start superscript, prime, prime, end superscript, E, F.
  4. Refleja a través de la recta
    .

¿Qué tan bajo podemos llegar?

De acuerdo con nuestras transformaciones anteriores, podemos estar seguros que dos triángulos son semejantes si tienen 2 pares de ángulos correspondientes congruentes y 2 pares de lados correspondientes con razones iguales. ¿Podemos demostrar que los triángulos son semejantes con menos información? ¿Cuánto menos?

¿Dos pares de ángulos y un par de lados?

Completa la justificación que triangle, G, H, I es semejante a triangle, J, K, L.
  1. triangle, G, prime, H, prime, I, prime es la imagen de triangle, G, H, I después de una homotecia con factor de escala
    .
  2. Podemos usar transformaciones rígidas para mapear triangle, G, prime, H, prime, I, prime a triangle, J, K, L, pues triangle, G, prime, H, prime, I, prime, \cong, triangle, J, K, L por congruencia
    .
  3. Podemos mapear triangle, G, H, I a triangle, J, K, L con una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias, así que triangle, G, H, I, \sim, triangle, J, K, L.

¿Solo dos pares de ángulos?

Completa la justificación que triangle, M, N, O es semejante a triangle, P, Q, R.
ProposiciónRazonamiento
1angle, M, \cong, angle, P y angle, N, \cong, angle, QDado
2Homotecia triangle, M, N, O con factor de escala
3angle, M, prime, \cong, angle, M y angle, N, prime, \cong, angle, NHomotecias preservan medidas de ángulos
4angle, M, prime, \cong, angle, P y angle, N, prime, \cong, angle, QPropiedad transitiva de congruencia
5M, prime, N, prime, equals
Homotecia definida así
6triangle, M, prime, N, prime, O, prime, \cong, triangle, P, Q, RCongruencia ángulo-lado-ángulo
7Hay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean triangle, M, prime, N, prime, O, prime a triangle, P, Q, R.Definición de
8triangle, M, N, O, \sim, triangle, P, Q, RHay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean triangle, M, N, O a triangle, P, Q, R.

¡Sí! Podemos demostrar que dos triángulos son semejantes, aun si todo lo que sabemos es que tienen dos pares de ángulos correspondientes congruentes .

Profundiza

Estas son algunas preguntas adiconales para profundizar tu pensamiento. Por favor, comparte tus respuestas en los comentarios.
  • ¿Cómo puedes demostrar el criterio de semejanza ángulo-ángulo (AA) con el criterio de congruencia ángulo-ángulo-lado (AAL) en lugar del criterio de congruencia ángulo-lado-ángulo (ALA)?
  • ¿Cuál es la diferencia entre el criterio de semejanza lado-lado-lado y el criterio de congruencia lado-lado-lado?
  • ¿Hay un criterio de semejanza para cuadriláteros que use solo ángulos?

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  • Avatar blobby green style para el usuario Estrella Alvarez
    Por favor menos complicado, gracias.
    (5 votos)
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  • Avatar leaf red style para el usuario Manuel Mauricio Martinez
    Se puede demostrar el criterio de semejanza AA, con un triángulo isósceles, usando el razonamiento de que las medidas de los dos ángulos de la base y las medidas de las patas de un triángulo isósceles son iguales.
    y dos triángulos isósceles serán semejantes, si un triángulo ABC que tenga 2 pares de ángulos correspondientes congruentes con un segundo triángulo DEF, después de aplicar una homotecia, usando el razonamiento de que son triángulos isósceles.

    Lo mismo aplica para un triángulo rectángulo.

    También se puede demostrar con las constante de proporcionalidad entre los segmentos de dos triángulos con dos pares de ángulos correspondientes congruentes, tal que si a un segmento AB se le aplica una homotecia para expandirlo y coincidir con un segundo segmento DE, los segmentos de sus lados serán congruentes, y ahí se puede usar el criterio AAL de congruencia.

    la semejanza LLL : Dice que la razón entre los 3 pares de lados correspondientes en dos triángulos semejantes es equivalente.
    la congruencia LLL: Dice que 2 triángulos son congruentes, si los 3 pares de lados correspondientes son congruentes.

    Puedo establecer un criterio de semejanza para cuadriláteros, que solo use ángulos pero no únicamente usando transformaciones rígidas y homotecias; tendría que usar dilataciones y estiramientos.
    (4 votos)
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  • Avatar blobby green style para el usuario ppenyaesteban
    En el ejercicio cuyo enunciado es :
    "Completa la justificación que △MNO es semejante a △PQR", hay un error.
    En el punto 7 se define "Hay una secuencia de transformaciones rígidas y homotecias que mapean △M′N′O′ a △PQR" como congruencia, cuando justamente, se está intentando que definamos lo que es la semejanza.
    ¿Podrían revisarlo para que no lleve a equívoco, por favor?
    (1 voto)
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  • Avatar blobby green style para el usuario Miruko01
    No se que escribir.... Lo siento
    (1 voto)
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