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Geometría - Preparación Educación Superior
Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 4
Lección 6: Resolución de problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos- Congruencia de segmentos equivale a tener la misma longitud
- Preparación para congruencia
- Congruencia de ángulos equivale a tener la misma medida
- Uso de triángulos semejantes y congruentes
- Problema desafiante de semejanza
- Congruencia y semejanza. Ejemplo básico
- Congruencia y semejanza. Ejemplo más difícil
- Propiedades de congruencia e igualdad
- Geometría (CA): triángulos semejantes 1
- Utiliza triángulos semejantes
- Figuras congruentes y transformaciones
- Figuras no congruentes y transformaciones
- Determinar congruencia de triángulos
- Demostrar congruencia de triángulos
- Calcular medidas de ángulos para verificar congruencia
- Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes
- Criterio de congruencia de triángulos
- ¿Por qué LLA no es un postulado/criterio de congruencia?
- Demostrar los criterios ALA y AAL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demostrar el criterio LAL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demostrar el criterio LLL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demuestra semejanza de triángulos
- Demuestra teoremas usando semejanza
- Congruencia y transformaciones
- Repaso de congruencia de triángulos
- Demostración: diagonales de rombos son bisectrices perpendiculares
- Geometría (CA): más sobre triángulos congruentes y similares
- Geometría (CA): más demostraciones
- Geometría (CA): demostración por contradicción
- Justificar la congruencia de triángulos
- Determina triángulos congruentes
- Demuestra congruencia de triángulos
- Demuestra propiedades de triángulos
- Demuestra propiedades de paralelogramos
- Justifica construcciones
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Congruencia de ángulos equivale a tener la misma medida
Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen la misma medida.
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Transcripción del video
Lo que vamos a hacer en este video es demostrar
que los ángulos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida, y para la definición
de congruencia usaremos la definición de transformación rígida que nos dice que dos
figuras son congruentes si y sólo si existe una serie de transformaciones rígidas que
mapea una figura en la otra. Ahora bien, ¿qué son las transformaciones rígidas? Las
transformaciones rígidas son transformaciones que preservan la distancia entre los puntos
y la medida de los ángulos. Así que manos a la obra. Empecemos con dos ángulos que son
congruentes y queremos demostrar que tienen la misma medida, por lo tanto, empezaremos con
dos ángulos congruentes entre sí. Ahora bien, según la definición de congruencia dada por
una transformación rígida esto significa que existe una serie de transformaciones rígidas
que mapea el ángulo ABC en el ángulo DEF. Y por la definición de transformaciones rígidas se preserva la medida de los ángulos. Así que, si somos capaces de mapear el ángulo
de la izquierda en el ángulo de la derecha con transformaciones rígidas que preserven la medida
del ángulo, entonces los ángulos deben tener la misma medida; por lo tanto, ya sabemos que la
medida del ángulo ABC es igual a la medida del ángulo DEF, y con esto hemos demostrado este
enunciado verde en este sentido, es decir, demostramos que los ángulos son congruentes si
tienen la misma medida. Ahora demostrémoslo en el sentido inverso. Empecemos con la idea de
que la medida del ángulo ABC es igual a la medida del ángulo DEF. Para demostrar que estos
ángulos son congruentes, mostraremos que siempre existe una serie de transformaciones rígidas
para mapear el ángulo ABC en el ángulo DEF. Para ayudarnos con esto, vamos a visualizar estos
ángulos. Voy a trazar este ángulo rápidamente: este será el ángulo ABC -y recordemos: un ángulo
está definido por dos rayos que parten de un punto en común, ese punto es el vértice-, entonces aquí
tenemos el ángulo ABC, y dibujemos el ángulo DEF, se va a ver algo así, DEF. Y lo que haremos
ahora es realizar nuestra primera transformación rígida. Primero trasladar el ángulo ABC de tal
forma que el punto B se mapee en el punto E. Si hacemos esa traslación, el ángulo ABC se
va a ver algo así: el punto B está mapeado en el punto E, y aquí es donde se mapea A y
por acá es donde se mapea C. Algunas veces escucharás como notación A'C', y aquí es donde se
mapea B, entonces sería B'. Ahora, la siguiente cosa que haremos es rotar el ángulo ABC sobre
su vértice, sobre B, de tal forma que el rayo BC coincida con el rayo EF. Entonces rotaremos
todo el ángulo de esta forma para que ahora el rayo BC coincida con el rayo EF. Y, bueno, tal
vez estés diciendo: "Oye, C no necesariamente cae sobre F porque puede que estén a distancias
distintas del vértice". Y eso es cierto, el rayo se puede definir por cualquier punto que
esté sobre él, pero si ahora hacemos esta rotación y el rayo BC coincide con el rayo EF, entonces
estos dos rayos serán equivalentes, y dado que la medida del ángulo ABC es igual a la medida del
ángulo DEF, entonces esto nos dice que el rayo BA ahora coincide con el rayo ED. Y con esto hemos
realizado una serie de transformaciones rígidas que siempre funcionan. Si primero trasladamos uno
de los ángulos, entonces sus vértices se mapean uno en el otro; después, si rotamos hasta que
el rayo inferior de uno de los ángulos coincida con el rayo inferior del otro ángulo, entonces
podemos afirmar que el rayo superior de los dos ángulos también coincidirá, debido a que los dos
ángulos tienen la misma medida, y justo por esta razón ahora los ángulos coinciden completamente.
Por lo tanto, ahora sabemos que el ángulo ABC es congruente al ángulo DEF. Y hemos acabado,
hemos demostrado ambas partes de este enunciado: si son congruentes tienen la misma medida y si
tienen la misma medida entonces son congruentes.