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Resolución de problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción del video

vamos con la pregunta número 7 usa la demostración dada para responder la pregunta entonces nos dan que el ángulo 2 es congruente al ángulo 3 o sea básicamente que la medida de este ángulo es igual a la medida de este ángulo de acá y a partir de ahí queremos mostrar que el ángulo 1 es congruente al ángulo 4 queremos ver que este ángulo es congruente a este de acá bueno vamos a leer la demostración que nos dan el primer enunciado es que el ángulo 12 es congruente al ángulo 3 y la razón es que eso está dado claro ángulo 2 congruente al ángulo 3 y eso está dado muy bien el segundo enunciado es que el ángulo 1 es congruente al ángulo 2 y que el ángulo 13 es congruente al ángulo 4 vamos a marcar eso el ángulo 1 es congruente al ángulo 2 y el ángulo 13 es congruente al ángulo 4 y aquí tiene un signo de interrogación entonces yo creo que nos piden nos piden dar aquí la razón a ver qué razón se puede poner para justificar el enunciado 2 bajado justo queremos dar la razón que nos permite asegurar que el 1 es congruente al 2 y el 13 es congruente al 4 creo que eso en inglés se llama algo así como verticales pero ahorita no me acuerdo muy bien de la traducción déjame ver si alguna de las opciones me recuerda me recuerda cómo se dice saber entonces a los complementos de ángulos congruentes son congruentes no pues eso no es lo que estamos utilizando realmente ve los ángulos opuestos opuestos por un vértice son congruentes si eso suena mucho más a lo que queremos verdad el 1 y el 2 son opuestos por este vértice y entonces deben de ser congruentes déjame encerrar esto en una cajita para ponerlo como un buen candidato c los suplementos de ángulos congruentes son congruentes bueno es cierto pero pero no es lo que estamos usando y de ángulos correspondientes son congruentes no tampoco es eso ángulos correspondientes son por ejemplo el 1 y el 3 no el 1 y el 2 entonces yo me iría por la b pero para estar totalmente seguro déjame buscarlo en internet voy a abrir por acá voy abrir google está google y ahora déjame buscar déjame buscar ángulos los opuestos por el vértice que mira wikipedia es la primera página deja fija lo pasó aquí a la pantalla la pantalla ok esto dice wikipedia wikipedia dice en geometría euclidiana dadas dos rectas r&s del plano que se cortan en el punto p punto p dos ángulos se dicen opuestos por el vértice cuando los lados de uno son semi rectas opuestas a los lados del otro y mucha más tecnología terminología sofisticada vamos a ver el ejemplo mejor en la figura los ángulos hace hace y ve de bd son opuestos por el vértice de dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes y eso es justo lo que queremos verdad como hice eso es justo lo que sucede lo que sucede aquí en en nuestro problema con el ángulo el ángulo 1 y el ángulo 2 entonces si la opción es b los ángulos opuestos por un vértice son congruentes muy bien vamos a pasar al siguiente problema dice dice dos rectas en un plano siempre se intersectan en exactamente un punto ok cuál de las siguientes describe el mejor contra ejemplo para la afirmación previa vamos a pensar un poco antes de ver las opciones a ver entonces cuando sucede que dos rectas no se intersectan en exactamente un punto bueno pues un ejemplo que se me ocurre es tener dos rectas paralelas por ejemplo si esta recta es paralela a esta de acá entonces estas dos rectas no se intersectan esto es básicamente la definición de que dos rectas sean paralelas no que no se intersectan o bueno que tengan la misma dirección pero si tienen la misma dirección y no son la misma entonces en el plano no se intersecta va entonces ese sería un ejemplo y otro ejemplo que se me ocurre es tomar dos rectas encimadas una en la otra por ejemplo podemos tomar esa recta bueno a lo mejor para ti eso no son dos rectas eso puede estar a discusión pero pudiéramos tomar esas dos rectas y entonces no se intersectan en exactamente un punto sino en toda la recta pero bueno vamos a ver si alguno de estos dos ejemplos está está aquí en las opciones rectas coplanar es no ves rectas paralelas y este es el que estoy diciendo aquí arriba verdad rectas paralelas se de rectas perpendiculares no y de rectas intersectan test pues puede ser un poco esto pero creo que ve es un mejor contra ejemplo vale rectas paralelas entonces la respuesta sería ve ahora vamos al problema número nueve dice si un par de lados opuestos de un cuadrilátero son paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo otra vez muchos términos creo que se ve un patrón verdad al parecer en estas preguntas les gusta les gusta mucho pues hablar de definiciones entonces vamos a vamos a platicar un poco de cuadrilátero cuadrilátero simplemente es una figura de cuatro lados y de paralelogramo paralelogramo es una figura en la cual los pares de lados opuestos son paralelos y van a es un cuadrilátero entonces sería más o menos algo así tendríamos ese lado este lado de acá en este lado de acá lo voy a hacer un poco más largo y finalmente este lado de acá quizás debía haber hecho un poco más largo este como por ahí sale entonces ahí tenemos un paralelogramo porque esta es paralela a estar acá esta línea es paralela esta línea y esta es paralela a esta de acá y bueno si este paralelogramo tuviera sus cuatro lados iguales entonces se llamaría se llamaría un rombo pero bueno vamos a ver vamos a ver qué dice cuál figura puede servir como contraejemplo para la conjetura previa esta de aquí arriba pues vamos a pensarlo otra vez antes de ver las opciones que necesitamos necesitamos una figura que tenga un par de lados opuestos paralelos pero que no sea un paralelogramo y que además sea un cuadrilátero bueno pues a mí se me ocurre algo de este estilo podemos poner aquí un lado podemos poner aquí arriba a un lado paralelo a este de aquí abajo y podemos unir este este extremo con este y este extremo con este y listo tenemos un cuadrilátero en el cual este lado es paralelo a este pero este no es paralelo a este y por lo tanto no es un paralelogramo ya una figura así se le llama trapecio aprecio trapecio vamos a ver si está en las opciones rectángulo no rombo no cuadrado no trapecio aquí está trapecio muy bien de hecho a veces no son contra ejemplos porque tanto los rectángulos como los rombos como los cuadrados son paralelo gramos el rectángulo tiene todos los ángulos de 90 grados entonces los lados opuestos son paralelos el rombo tiene sus cuatro lados iguales y se puede ver que a partir de eso éste los lados son paralelos los lados opuestos y el cuadrado pues es un rectángulo un rectángulo en el cual los cuatro lados son iguales y por lo tanto también es paralelogramo entonces éstas no nos sirven muy bien vamos a vamos a pasar ahora el problema 10 dice dado que tr es un trapecio isósceles con diagonal srp y thea cuál de las siguientes debe ser ciertas otra vez más terminología tenemos un trapecio isósceles yo creo que eso se refiere a un trapecio en el cual en el cual los lados que no son la base y la parte de arriba miden lo mismo es decir este lado y este lado que no son paralelos me den lo mismo en realidad hace mucho que no veo la definición de trapecio isósceles pero para no buscar en internet vamos a suponer que es eso de hecho es una buena habilidad una buena habilidad de eso de poder descubrir a qué se refieren cuando cuando hablan de una cierta figura bueno entonces en el trapecio isósceles este lado mide lo mismo que éste y este de acá es paralelo a este de acá nos dicen que rp y tea son las diagonales entonces aquí le voy a poner r quiero va a poner mejor t que iba a poner r por acá a la caja y finalmente por aquí nos dicen que te hay cierre y rp son las diagonales las voy a pintar ok entonces aquí ya está nuestra figura y de aquí podemos empezar a pensar algunas cosas que nos preguntan entonces cuál de las siguientes debe ser cierta o sea siempre es cierta a ver rp es perpendicular a tea el segmento de rp es perpendicular al segmento tea bueno aquí como lo dibujé pues podría ser que si no o sea uno podría decir que parece que son perpendiculares pero será eso siempre cierto pues yo creo que yo creo que no porque por ejemplo pudiéramos acercarte r hacia pea dejándolo así paralelo éste lo vamos moviendo hacia abajo y hacia abajo y hacia abajo y como no nos dicen cuál es la altura pues observemos que este ángulo que es igual esté acá porque son opuestos por el vértice como ya aprendimos se va haciendo cada vez más y más flaco entonces aunque aquí sea de 90 esta recta este ángulo se va a ser más y más chiquito y entonces no siempre tenemos que las diagonales son son perpendiculares entonces éste no déjame tacharlo esta opción no ve rp es paralela atea rp es paralela tea no eso es ridículo son diagonales se intersectan en un punto y por lo tanto no pueden ser paralelas entonces éste tampoco es a ver rp es congruente ate a rpp es congruente ate a estos dos segmentos miden lo mismo eso se ve mucho más prometedor verdad por la simetría de esta figura si trazáramos por aquí una línea vertical más o menos algo de este estilo entonces tenemos simetría éste con respecto a esta línea y pues suena muy razonable que éste sea igual a este perdón que éste sea igual a éste que éste sea igual a éste y entonces que las diagonales me dan lo mismo pero a lo mejor sería bueno dar un argumento un poco más un poco más formal déjame borrar la línea de simetría y lo vamos a hacer de la siguiente forma esta es una prueba clásica y por eso me sale tan rápido lo que voy a hacer es bajar bajar perpendiculares desde r ap entonces aquí es perpendicular aquí es perpendicular como t es paralela a pea entonces aquí es perpendicular aquí es perpendicular y aquí adentro también entonces si este se llama xy este se llama y tenemos que te x r es un rectángulo y como es un rectángulo tenemos que este lado de acá es igual a este lado de acá miden lo mismo te x es congruente aire y pero entonces ahora los triángulos txp y r ambos son rectángulos tienen la misma hipotenusa porque el trapecio es isósceles y tienen este cateto compartido tienen este lado que mide igual a este lado por lo tanto tenemos que el triángulo el triángulo t xp es congruente al triángulo r el rey estoy aquí estoy aquí es por criterio por criterio el de ángulo rectángulo se llama de triángulo rectángulo se llama recto lado hipotenusa vale bueno pero a partir de esta congruencia a partir de esta congruencia se puede concluir que el ángulo t px escurre es congruente al correspondiente o sea el ere h congruente a este de acá y ahora lo que vamos a hacer es fijarnos en otros dos triángulos déjame marcar los vamos a fijarnos en el t p a este de aquí y ese es el o vamos a comparar con con el r r muy bien o se observa que ahora estos dos triángulos tienen el lado tp igual al lado r a tiene en el lado pea igual a sí mismo y además tienen estos dos ángulos morados congruentes y este ángulo morado es el ángulo entre el pp y el pea y el área y el ape entonces ahora por criterio por criterio lado ángulo lado tenemos que son congruentes tenemos voy a poner aquí el triángulo t que es congruente al área p el triángulo r por criterio lado ángulo lado muy bien y eso está padre porque a partir de esta congruencia podemos concluir que las diagonales las diagonales del trapecio que son estos lados correspondientes en la congruencia de triángulos tea y erp son iguales vale bueno entonces eso prueba que ese es la opción correcta pero finalmente vamos a ver qué dice d vamos a ver qué dice de nada más para no dejarla y abandonada de nos dice rp be seca rp y seca atea pues no verdad incluso en este trapecio que dibuje se ve clarito que este segmento de acá mide mide distinto que este segmento de acá entonces las diagonales no se dice que vale las diagonales no se cortan a la mitad entonces de es incorrecta muy bien vamos a dejarle aquí nos vemos en el próximo vídeo para continuar con el problema número 11