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Contenido principal
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Resolución de problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción del video

nosotros ya sabemos que si tenemos dos triángulos en donde todos sus lados correspondientes tienen la misma longitud es decir que tienen sus tres lados lado lado lado iguales esto implica que el triángulo o que los triángulos van a ser congruentes congruentes lo que quiero hacer en este vídeo es explorar si existen otras propiedades entre triángulos que nos ayuden a demostrar que los triángulos son congruentes así que lado lado lado ya sabemos que funciona bueno qué tal funcionaría ángulo ángulo ángulo ángulo ángulo ángulo este no funcionaría imaginemos que tenemos un triángulo como este así más o menos un lado otro lado y otro lado y tenemos además otro triángulo hacia un lado otro lado otro lado más o menos así y si sabemos que este ángulo es congruente con este otro ángulo este ángulo de acá es congruente con este otro ángulo de acá y además sabemos que este ángulo de aquí también es congruente con este ángulo de acá podremos decir que ambos triángulos son congruentes la vista parece que si se cumple pero cuando tenemos ángulos correspondientes iguales en dos triángulos podríamos escalar uno de ellos haciéndolo quizás más grande por ejemplo yo puedo hacer este triángulo así y así de los ángulos internos este ángulo de acá es correspondiente con este ángulo de acá donde también este ángulo de aquí es igual a estos otros dos ángulos y también el ángulo de arriba este de acá sea también congruente con estos dos pero este triángulo de acá no es congruente con los otros dos porque es más grande el tamaño de sus lados no es el mismo que el de estos dos todos los lados de este último triángulo son mucho más grandes que los correspondientes a estos dos así que el ángulo ángulo ángulo no nos sirve esto no nos sirve para la congruencia prudencia no os podría servir para decir que son triángulos similares que tienen los mismos ángulos pero el tamaño puede ser diferente este sí nos podría servir para la similitud y litus pero no para la congruencia la palabra similar tiene un significado bastante específico en geometría las cosas similares tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño así que cualquier cosa que es congruente ya que tiene la misma forma y tamaño también será similar pero no cualquier cosa que sea similar será congruente también estos tres triángulos son similares entre sí pero solo estos dos son congruentes y sus lados correspondientes se miden lo mismo es decir que esté este lado tiene mide lo mismo que este lado este lado mide lo mismo que este lado y este otro lado me da lo mismo que este otro lado de acá pero ninguno es congruente con el más grande por la diferencia en el tamaño de sus lados por lo tanto no podemos tener un postulado de ángulo ángulo ángulo qué tal nos serviría un postulado de lado ángulo lado comencemos con un triángulo vamos a dibujar los lados de este triángulo de diferente color cada uno voy a dibujar así de color azul otro lado de color rosa y otro lado de color y digamos como siempre que tengo otro triángulo que tiene este lado azul igual va a medir lo mismo en este lado azul con este lado azul van a medir lo mismo tiene un ángulo congruente con el de este otro lado entonces este ángulo de acá también lo va a tener este extremo del lado azul este otro lado que comparte con el ángulo también va a ser igual al lado del primer triángulo entonces este lado tiene la misma longitud que este otro lado y como solo sabemos que dos de los lados correspondientes son iguales y que el ángulo intermedio también es igual pues podemos hacer cualquier cosa cuando este último lado el lado que dibujamos en morado podría yo dibujar este lado por acá por ejemplo para formar el triángulo lo que tenemos que hacer es conectar este lado con este otro extremo del lado azul y nos queda pues un triángulo congruente con este primer triángulo finalmente este lado va a ser igual a este lado de acá así pues para dos triángulos que tienen dos lados correspondientes congruentes y el ángulo intermedio en ellos también es congruente en este ejemplo tenemos nuestro lado azul que fue igual en ambos triángulos nuestro ángulo que lo dibujé en naranja intermedio nuestro ángulo en nuestro lado en rosa que también es igual entre ambos aquí y acá esto nos implica que vamos a tener triángulos congruentes entonces no se implica congruencia congruencia así que esto lo agregamos junto con nuestra herramienta del lado lado lado lado ángulo lado también nos sirve para probar congruencia vamos a tratar de analizar todas las posibles combinaciones de estos lados y ángulos para encontrar herramientas que nos ayuden a encontrar la congruencia me serviría ángulo lado ángulo dibujemos otro triángulo ahora voy a comenzar con un lado del triángulo en verde al lado del triángulo en verde otro lado en azul el tercer lado en rosa aquí está y tenemos un ángulo aquí arriba que voy a dibujar en naranja y otro ángulo aquí abajo que voy a dibujar en un tono morado si yo dibujara otro triángulo que tuviera un lado que me dé lo mismo que este lado verde voy a dibujar otro triángulo sé que tiene este mismo lado de acá la longitud de este lado y este lado son iguales y sé que además tiene un ángulo en este extremo que es igual al ángulo naranja de aquí y tiene otro ángulo aquí abajo que es el mismo ángulo que el que tenemos en este primer triángulo este triángulo este segundo triángulo será concurrente necesariamente vamos a razonar lo un poco estas no son pruebas formales solo tratamos de encontrar postulados razonables que podamos tener en nuestra caja de herramientas para poder probar otras cosas así que en este ejemplo tenemos nuestro ángulo que es nuestro primer ángulo es moradito ángulo nuestro lado que es el lado verde el que tenemos en común lado y nuestro otro ángulo que lo tenemos en naranja aquí coincide sin importar o restringir los lados que faltan del triángulo excepto que cumplan con esta longitud de ángulos vamos a dibujar los otros lados el otro lado que dibuje en este lado es el rosa vamos a tomarlo acaba con cumplir con el ángulo la abertura pero puede tener una longitud muy diferente otra es lo mismo este lado de aquí abajo el azul debe de cumplir con la longitud de este ángulo pero puede tener cualquier longitud puedo dibujarlo si se me ocurre así pero para formar un triángulo sólo puedo tener estos dos extremos conectados así que este triángulo que queda sin importar la longitud porque finalmente al unirse los extremos la longitud va a quedar fija y me va a forzar a tener un triángulo congruente con este primer triángulo así que mi enunciado de ángulo lado ángulo este también me implica congruencia si se cumple con esto entonces ambos triángulos serán congruentes otra herramienta más a nuestra caja ya tenemos otra combinación más ahora va a ser ángulo ángulo lado quizás si ustedes tuvieran que memorizar esto para un examen pues podrían recordar lado lado lado pues tiene cierta lógica evidente pero al lado ángulo lado y los demás quizá no tanto yo no soy entusiasta de la memorización aunque quizás sirva para cuando tenemos presión de tiempo pero es mejor razonar para inferir y ver si estas opciones nos sirven o no es mejor tratar de encontrar el sentido lógico para recordar nuestros postulados de congruencia así pues probemos ángulo ángulo lado ángulo ángulo lado dibujemos nuestro triángulo ahora vamos a dibujar el triángulo con un lado de esta forma el lado es en azul es este lado el que voy a tener aquí de una vez lo pongo en color va a tener dos ángulos permiten dibujar estos otros lados voy a dibujar otro lado aquí en morado de este triángulo así y otro lado que lo voy a dibujar en verde que va a estar así los dibujos porque me interesa marcar los ángulos el ángulo que está aquí junto al lado azul este ángulo lo voy a poner en rosa y este otro ángulo que voy a poner en un azul más oscuro este ángulo de acá es este otro ángulo que estoy marcando entonces es ángulo ángulo lado lo dibujo acá este lado no me están restringiendo la longitud de este otro lado simplemente que cumpla con este ángulo y finalmente la otra condición es tener otro ángulo igual a éste lo puedo tener a lo mejor aquí y se arme así la línea por ejemplo o puedo tener este ángulo más arriba lo puedo tener acá siempre y cuando lo que nos piden es que se cumpla que este tamaño del ángulo la medida del ángulo sea la misma pero si queremos formar un triángulo realmente solo hay una manera de hacer tenemos que unir los extremos tenemos que unir este extremo con este otro con la longitud o la medida más bien de este ángulo de aquí si estos dos se cumplen pues entonces por lo que estamos viendo nos va a generar congruencia nos implica que estos dos triángulos serán congruentes así que esto ángulo ángulo lado también nos va a implicar congruencia congruencia también lo agregamos a nuestra caja de herramientas hagamos un análisis más para contemplar todas las situaciones ahora vamos a ver la opción de lado lado ángulo nuevamente dibujamos un triángulo con lados en colores diferentes voy a dibujar este azul el otro lado va a ser naranja otro lado vamos a ponerlo en un tono morado qué pasa si sabemos que existe otro triángulo que tiene dos lados iguales a este y un ángulo igual tenemos otro triángulo que tiene un lado igual a este este otro lado que es igual también pero aquí no estamos restringidos por el ángulo que puede haber entre estos dos lados incluso puedo dibujar el lado este morado más junto con un ángulo más pequeño que en el original aunque la longitud de estos lados sea la misma y finalmente nos piden que el ángulo que esté en este extremo este ángulo sea el mismo que esté acá a primera vista pareciera que podemos dibujar un triángulo que no es congruente en este ejemplo hice este ángulo entre los lados azul y morado más pequeño en el segundo triángulo que en el primero y estoy conservando este otro ángulo original como en el primer triángulo lo que me va a causar que cuando dibuje este lado de acá sea un lado mucho más pequeño que en el triángulo original así que en este enunciado donde tenemos un lado igual o otro lado igual y un ángulo igual esto no necesariamente no necesariamente necesariamente es congruente no necesariamente es congruente y tampoco similar porque aquí no es como en el primer ejemplo de ángulo ángulo ángulo donde no tenemos congruencia pero si una similitud los ángulos internos si eran los mismos y coincidían aunque en el tamaño no aquí puede que no coincida en mi los ángulos ni los tamaños de todos los lados