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Geometría - Preparación Educación Superior
Curso: Geometría - Preparación Educación Superior > Unidad 4
Lección 6: Resolución de problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos- Congruencia de segmentos equivale a tener la misma longitud
- Preparación para congruencia
- Congruencia de ángulos equivale a tener la misma medida
- Uso de triángulos semejantes y congruentes
- Problema desafiante de semejanza
- Congruencia y semejanza. Ejemplo básico
- Congruencia y semejanza. Ejemplo más difícil
- Propiedades de congruencia e igualdad
- Geometría (CA): triángulos semejantes 1
- Utiliza triángulos semejantes
- Figuras congruentes y transformaciones
- Figuras no congruentes y transformaciones
- Determinar congruencia de triángulos
- Demostrar congruencia de triángulos
- Calcular medidas de ángulos para verificar congruencia
- Partes correspondientes de triángulos congruentes son congruentes
- Criterio de congruencia de triángulos
- ¿Por qué LLA no es un postulado/criterio de congruencia?
- Demostrar los criterios ALA y AAL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demostrar el criterio LAL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demostrar el criterio LLL de congruencia de triángulos mediante transformaciones
- Demuestra semejanza de triángulos
- Demuestra teoremas usando semejanza
- Congruencia y transformaciones
- Repaso de congruencia de triángulos
- Demostración: diagonales de rombos son bisectrices perpendiculares
- Geometría (CA): más sobre triángulos congruentes y similares
- Geometría (CA): más demostraciones
- Geometría (CA): demostración por contradicción
- Justificar la congruencia de triángulos
- Determina triángulos congruentes
- Demuestra congruencia de triángulos
- Demuestra propiedades de triángulos
- Demuestra propiedades de paralelogramos
- Justifica construcciones
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Congruencia de segmentos equivale a tener la misma longitud
Dos segmentos de recta son congruentes si y solo si tienen la misma longitud.
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Transcripción del video
Lo que tenemos aquí son algunas definiciones que
serán útiles para una demostración que vamos a hacer, que conecta la noción de congruencia
de segmentos de línea con la idea de que los segmentos tienen la misma longitud. Para empezar
tenemos el concepto de transformaciones rígidas, de las que hemos hablado en otros videos, pero
sólo como recordatorio, éstas son transformaciones que preservan la distancia entre puntos.
Por ejemplo, si tengo los puntos A y B, una transformación rígida podría ser una traslación,
porque después de trasladarlos, observa que la distancia entre los puntos sigue siendo la misma,
podría ser así; también puede ser una rotación: digamos que giramos sobre el punto A como centro
de rotación, esto no cambiará la distancia entre los puntos A y B, incluso podríamos crear la
imagen reflejada, una vez más eso no va a cambiar la distancia entre A y B. ¿Qué cosa no es una
transformación rígida? Bueno, podemos pensar en expandir, escalar hacia arriba o hacia abajo, eso
va a cambiar la distancia entre los puntos. Las transformaciones rígidas son las transformaciones
que preservan la distancia entre puntos. Ahora, otra idea es la congruencia, y en el contexto de
este video vamos a ver la siguiente definición de congruencia: dos figuras son congruentes si y sólo
si existe una serie de transformaciones rígidas que mapeen una figura en la otra. Puedes tener
otras definiciones de congruencia en tu vida, pero esta es la definición de congruencia con
respecto a transformaciones rígidas que usaremos. Y vamos a usar estas dos definiciones para
demostrar lo siguiente: decir que dos segmentos son congruentes es equivalente a decir que tienen
la misma longitud. Déjame mover esto para tener un poco de espacio. Primero voy a demostrar que si
el segmento AB es congruente con el segmento CD, entonces la longitud del segmento AB, que sólo
denotaremos como AB sin la línea de arriba, es igual a la longitud del segmento CD. ¿Cómo
hacemos eso? Bueno, lo primero que debemos notar es que si AB es congruente con CD, entonces AB
puede ser mapeado en CD con transformaciones rígidas, eso surge de la definición de
congruencia. Y entonces podríamos decir: "Debido a que las transformaciones son rígidas,
se conserva la distancia", y eso implicaría que la distancia entre los puntos va a ser la misma, la
distancia entre los puntos A y B o la longitud del segmento AB es igual a la longitud del segmento
CD. Eso puede parecer demasiado intuitivo, pero es de lo que estamos hablando. Ahora,
veamos si podemos demostrarlo de otra manera. Veamos si podemos demostrar que si la longitud del
segmento AB es igual a la longitud del segmento CD, entonces el segmento AB es congruente con
el segmento CD. Y voy a dibujarlos justo aquí. Digamos que tenemos el segmento AB y dibujaré
otro segmento que tiene la misma longitud que se ve así, llamemos a este CD. Entonces, para
demostrar esto tengo que mostrar que si tengo dos segmentos con la misma longitud siempre hay un
conjunto de transformaciones rígidas que mapearán un segmento en el otro, lo que significa,
por definición, que son congruentes. Así que permítanme construir esas transformaciones.
La primera transformación rígida que podría hacer es trasladar y subrayaré el nombre de la
transformación, trasladaré el segmento AB de modo que el punto A esté sobre el punto C, es decir,
que A esté mapeado en C. Podrás ver que siempre se puede hacer eso. Lo trasladamos y por supuesto
B terminaría así, después de esta traslación A va a estar aquí y B va a estar justo aquí. Ahora,
el segundo paso que haré es rotar AB sobre A, de modo que A sea el centro de rotación, lo voy
a rotar para que el punto B quede en el rayo CD. ¿Qué hace esta transformación? Bueno,
como el punto A es el centro de rotación, A se mantendrá a mapeado en C a partir de nuestra
primera traslación; pero ahora que B rota, B queda sobre el rayo que comienza en C, pasa por D y
continúa. ¿Y dónde estará B en ese rayo? Bueno, ya que la distancia entre B y A es la misma que la
distancia entre B y C y A y C son el mismo punto, ahora que B se encuentra en ese rayo se sitúa
justo encima de D, debido a que AB es igual a CD, B será mapeado en D. Y así hemos demostrado que
si las longitudes de los segmentos son iguales siempre hay un conjunto de transformaciones
rígidas que mapearán un segmento en el otro. Por lo tanto, dado que A y B se han mapeado en
C y D, sabemos que el segmento AB es congruente con el segmento CD. Y hemos terminado, hemos
demostrado lo que propusimos en ambos sentidos.