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Contenido principal
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Resolución de problemas que involucran la congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción del video

Lo que tenemos aquí son algunas definiciones que  serán útiles para una demostración que vamos a   hacer, que conecta la noción de congruencia  de segmentos de línea con la idea de que los   segmentos tienen la misma longitud. Para empezar  tenemos el concepto de transformaciones rígidas,   de las que hemos hablado en otros videos, pero  sólo como recordatorio, éstas son transformaciones   que preservan la distancia entre puntos.  Por ejemplo, si tengo los puntos A y B, una   transformación rígida podría ser una traslación,  porque después de trasladarlos, observa que la   distancia entre los puntos sigue siendo la misma,  podría ser así; también puede ser una rotación:   digamos que giramos sobre el punto A como centro  de rotación, esto no cambiará la distancia entre   los puntos A y B, incluso podríamos crear la  imagen reflejada, una vez más eso no va a cambiar   la distancia entre A y B. ¿Qué cosa no es una  transformación rígida? Bueno, podemos pensar en   expandir, escalar hacia arriba o hacia abajo, eso  va a cambiar la distancia entre los puntos. Las   transformaciones rígidas son las transformaciones  que preservan la distancia entre puntos. Ahora,   otra idea es la congruencia, y en el contexto de  este video vamos a ver la siguiente definición de   congruencia: dos figuras son congruentes si y sólo  si existe una serie de transformaciones rígidas   que mapeen una figura en la otra. Puedes tener  otras definiciones de congruencia en tu vida,   pero esta es la definición de congruencia con  respecto a transformaciones rígidas que usaremos.   Y vamos a usar estas dos definiciones para  demostrar lo siguiente: decir que dos segmentos   son congruentes es equivalente a decir que tienen  la misma longitud. Déjame mover esto para tener un   poco de espacio. Primero voy a demostrar que si  el segmento AB es congruente con el segmento CD,   entonces la longitud del segmento AB, que sólo  denotaremos como AB sin la línea de arriba,   es igual a la longitud del segmento CD. ¿Cómo  hacemos eso? Bueno, lo primero que debemos notar   es que si AB es congruente con CD, entonces AB  puede ser mapeado en CD con transformaciones   rígidas, eso surge de la definición de  congruencia. Y entonces podríamos decir:   "Debido a que las transformaciones son rígidas,  se conserva la distancia", y eso implicaría que la   distancia entre los puntos va a ser la misma, la  distancia entre los puntos A y B o la longitud del   segmento AB es igual a la longitud del segmento  CD. Eso puede parecer demasiado intuitivo,   pero es de lo que estamos hablando. Ahora,  veamos si podemos demostrarlo de otra manera.  Veamos si podemos demostrar que si la longitud del  segmento AB es igual a la longitud del segmento   CD, entonces el segmento AB es congruente con  el segmento CD. Y voy a dibujarlos justo aquí.   Digamos que tenemos el segmento AB y dibujaré  otro segmento que tiene la misma longitud que   se ve así, llamemos a este CD. Entonces, para  demostrar esto tengo que mostrar que si tengo   dos segmentos con la misma longitud siempre hay un  conjunto de transformaciones rígidas que mapearán   un segmento en el otro, lo que significa,  por definición, que son congruentes. Así que   permítanme construir esas transformaciones.  La primera transformación rígida que podría   hacer es trasladar y subrayaré el nombre de la  transformación, trasladaré el segmento AB de modo   que el punto A esté sobre el punto C, es decir,  que A esté mapeado en C. Podrás ver que siempre   se puede hacer eso. Lo trasladamos y por supuesto  B terminaría así, después de esta traslación A va   a estar aquí y B va a estar justo aquí. Ahora,  el segundo paso que haré es rotar AB sobre A,   de modo que A sea el centro de rotación, lo voy  a rotar para que el punto B quede en el rayo CD.   ¿Qué hace esta transformación? Bueno,  como el punto A es el centro de rotación,   A se mantendrá a mapeado en C a partir de nuestra  primera traslación; pero ahora que B rota, B queda   sobre el rayo que comienza en C, pasa por D y  continúa. ¿Y dónde estará B en ese rayo? Bueno,   ya que la distancia entre B y A es la misma que la  distancia entre B y C y A y C son el mismo punto,   ahora que B se encuentra en ese rayo se sitúa  justo encima de D, debido a que AB es igual a CD,   B será mapeado en D. Y así hemos demostrado que  si las longitudes de los segmentos son iguales   siempre hay un conjunto de transformaciones  rígidas que mapearán un segmento en el otro.   Por lo tanto, dado que A y B se han mapeado en  C y D, sabemos que el segmento AB es congruente   con el segmento CD. Y hemos terminado, hemos  demostrado lo que propusimos en ambos sentidos.