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Curso: Geometría (todo el contenido) > Unidad 14

Lección 7: Ángulos inscritos

Problemas de desafío: ángulos inscritos

Resuelve dos problemas desafiantes que aplican el teorema del ángulo inscrito para determinar una medida o longitud de arco.

Problema 1

En la siguiente figura

∠ A B C

está inscrito en el círculo

P

. La longitud de

\overset{―}{P C}

12

unidades. La longitud del arco

\overset{⌢}{A C}

\frac{68}{15} π

¿Cuál es la medida del arco $∠ A B C$ ‍ en grados?

^{\circ}

Necesitamos encontrar la medida total de la circunferencia para determinar la medida del arco

\overset{⌢}{A C}

$\begin{aligned} Circunferencia & = 2 π r \\ = 2 π (12) \\ = 24 π \end{aligned}$ ‍

Sabemos la longitud de

\overset{⌢}{A C}

, así que podemos establecer una proporción para averiguar su medida de arco.

$\begin{aligned} \frac{longitud del arco}{circunferencia} & = \frac{medida del arco}{grados en un círculo} \\ \frac{(\frac{68}{15} π)}{24 π} & = \frac{medida del arco}{360^{\circ}} \\ medida del arco & = \frac{68}{15} π \cdot \frac{360^{\circ}}{24 π} \\ = 68^{\circ} \end{aligned}$ ‍

La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo que interseca. Si

m \overset{⌢}{A C} = 68^{\circ}

, entonces

m ∠ A B C = 34^{\circ}

La medida de $∠ A B C$ ‍ es $34^{\circ}$ ‍.

Problema 2

En la siguiente figura

∠ A B C

está inscrito en el círculo

P

. La longitud de

\overset{―}{P C}

4

unidades.

¿Cuál es la longitud de $\overset{⌢}{A C}$ ‍?
Escribe una respuesta exacta en términos de $π$ ‍, o usa $3.14$ ‍ para $π$ ‍ y escribe tu respuesta como un número decimal redondeado a la centésima más cercana.

unidades

Debemos determinar la longitud de la parte de la circunferencia de

P

que empieza en el punto

A

y termina en el punto

C

Primero calculemos la longitud de toda la circunferencia, para luego calcular la proporción de la longitud del arco de acuerdo a la medida del arco en radianes.

Sabemos que el círculo

P

tiene un radio de

4

unidades porque

\overset{―}{P C}

es un radio.

$\begin{aligned} Circunferencia & = 2 π r \\ = 2 π (4) \\ = 8 π \end{aligned}$ ‍

La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo que interseca. Si

m ∠ A B C = \frac{2}{5} π

, entonces

m \overset{⌢}{A C} = \frac{4}{5} π

Finalmente, podemos establecer una proporción para calcular la parte de la circunferencia que interseca ese ángulo.

$\begin{aligned} \frac{longitud del arco}{circunferencia} & = \frac{medida del arco}{radianes en un círculo} \\ \frac{longitud del arco}{8 π} & = \frac{(\frac{4}{5} π)}{2 π} \\ longitud del arco & = \frac{4 π}{5} \cdot \frac{8 π}{2 π} \\ = \frac{16}{5} π \end{aligned}$ ‍

La longitud de $\overset{⌢}{A C}$ ‍ es $\frac{16}{5} π$ ‍.

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Aracelli Rojas Rodriguez
Publicado hace hace 4 años. Enlace directo a la publicación “Los radianes de un circul...” de Aracelli Rojas Rodriguez
Los radianes de un circulo siempre sera 2
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alfonso.lara
Publicado hace hace un año. Enlace directo a la publicación “En... "¿Cuál es la medida...” de alfonso.lara
En... "¿Cuál es la medida del arco ∠ABC en grados?"
¿No será, más bien? "¿Cuál es la medida del ángulo ∠ABC, en grados?"?
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