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Curso: Geometría (todo el contenido) > Unidad 14

Lección 7: Ángulos inscritos

Demostración del teorema del ángulo inscrito

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Demostración de que un ángulo inscrito es la mitad de un ángulo centra que subtiende al mismo arco.

Para empezar

Antes de iniciar la demostración asegurémonos entender algunos términos sofisticados relacionados con círculos.

He aquí un pequeño ejercicio, para ver si puedes relacionar los términos por ti mismo:

Utiliza la imagen para relacionar las variables con los términos.

1

¡Excelente trabajo! Usaremos estos términos en el resto del artículo.

Lo que vamos a demostrar

Demostraremos que algo interesante sucede cuando un ángulo inscrito

(ψ)

y un ángulo central

(θ)

intersecan al mismo arco: la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito.

θ = 2 ψ

Resumen de la demostración

Para demostrar que

θ = 2 ψ

para todo

θ

ψ

(como las definimos antes), debemos considerar tres casos independientes:

Caso A	Caso B	Caso C
En el caso A se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto que pasa por el centro y el segundo punto está etiquetado como psi.	En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.	En el caso C se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.

Estos tres casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan al mismo arco.

Caso A: el diámetro es un rayo del ángulo inscrito $ψ$ ‍.

Paso 1: encuentra el triángulo isósceles.

Los segmentos

\overset{―}{B C}

\overset{―}{B D}

son radios, así que tienen la misma longitud. Esto significa que el triángulo

△ C B D

es isósceles, lo que también significa que los ángulos de su base son congruentes:

m ∠ C = m ∠ D = ψ

Paso 2: encuentra el ángulo llano.

El ángulo

∠ A B C

es un ángulo llano, as;i que:

\begin{aligned} θ + m ∠ D B C & = 180^{\circ} \\ m ∠ D B C & = 180^{\circ} - θ \end{aligned}

Paso 3: escribe una ecuación y encuentra el valor de $ψ$ ‍.

Los ángulos interiores de

△ C B D

son

ψ

ψ

(180^{\circ} - θ)

, y sabemos que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman

180^{\circ}

\begin{aligned} ψ + ψ + (180^{\circ} - θ) & = 180^{\circ} \\ 2 ψ + 180^{\circ} - θ & = 180^{\circ} \\ 2 ψ - θ & = 0 \\ 2 ψ & = θ \end{aligned}

Genial. Hemos completado nuestra demostración para el caso A. ¡Solo nos faltan dos casos más!

Caso B: el diámetro está entre los rayos del ángulo inscrito $ψ$ ‍.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, dividamos a

ψ

ψ_{1}

ψ_{2}

, y a

θ

θ_{1}

θ_{2}

como sigue:

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

En nuestro nuevo diagrama el diámetro parte al círculo en dos mitades. Cada mitad tiene un ángulo inscrito con un rayo en el diámetro. Esta es la misma situación que el caso A, y sabemos que:

(1) θ_{1} = 2 ψ_{1}

(2) θ_{2} = 2 ψ_{2}

dado lo que aprendimos en el caso A.

Paso 3: suma las ecuaciones.

\begin{aligned} θ_{1} + θ_{2} & = 2 ψ_{1} + 2 ψ_{2} & Suma (1) y (2) \\ (θ_{1} + θ_{2}) & = 2 (ψ_{1} + ψ_{2}) & Agrupa las variables \\ θ & = 2 ψ & θ = θ_{1} + θ_{2} y ψ = ψ_{1} + ψ_{2} \end{aligned}

El caso B está completo. ¡Solo nos falta un caso!

Caso C: el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, generemos dos ángulos nuevos:

θ_{2}

ψ_{2}

, como sigue:

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

Hemos creado un diagrama que nos permite utilizar lo que aprendimos en el caso A, tal como hicimos en el caso B. A partir de este diagrama sabemos lo siguiente:

(1) θ_{2} = 2 ψ_{2}

(2) (θ_{2} + θ) = 2 (ψ_{2} + ψ)

Paso 3: sustituye y simplifica.

\begin{aligned} (θ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & (2) \\ (2 ψ_{2} + θ) & = 2 (ψ_{2} + ψ) & θ_{2} = 2 ψ_{2} \\ 2 ψ_{2} + θ & = 2 ψ_{2} + 2 ψ \\ θ & = 2 ψ \end{aligned}

¡Y con esto terminamos! Demostramos que

θ = 2 ψ

en los tres casos.

Un resumen de lo que hicimos

Proponíamos demostrar que la medida de un ángulo central es el doble de la medida de un ángulo inscrito, cuando ambos ángulos intersecan al mismo arco.

Empezamos la demostración al establecer tres casos. Estos casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan el mismo arco.

Caso A	Caso B	Caso C
En el caso A se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto que pasa por el centro y el segundo punto está etiquetado como psi.	En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.	En el caso C se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.

En el caso A identificamos un triángulo isósceles y un ángulo llano. A partir de esto definimos unas ecuaciones con

ψ

θ

. Con un poco de álgebra demostramos que

θ = 2 ψ

En los casos B y C introdujimos inteligentemente el diámetro:

Caso B	Caso C
En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. También hay un punto en el círculo que forma un segmento de recta que pasa por el centro hasta el tercer punto como un diámetro. El ángulo theta uno está hacia la izquierda y theta dos está hacia la derecha del diámetro donde estaba theta. El ángulo psi uno está hacia la izquierda y el ángulo psi dos está hacia la derecha del diámetro ubicado donde estaba psi.	Hay tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. Hay un punto en el círculo con un segmento de recta que lo conecta a través del centro hasta el tercer punto y forma un diámetro. El ángulo desde el nuevo punto hasta el centro hasta el primer punto está etiquetado como theta dos. El ángulo formado por el punto central, el tercer punto y el primer punto está etiquetado como psi dos.

Caso B

Caso C

Esto hizo posible utilizar el resultado del caso A, como hicimos. En los casos B y C escribimos ecuaciones que relacionaban las variables en los diagramas, lo que fue posible por lo que ya habíamos aprendido en el caso A. Con las ecuaciones definidas y un poco de álgebra demostramos que

θ = 2 ψ

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eduardo OH
Publicado hace hace 10 meses. Enlace directo a la publicación “se me hace un poco compli...” de eduardo OH
se me hace un poco complicado siento que la demostración no es muy clara en los casos b y c
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Para empezar

Lo que vamos a demostrar

Resumen de la demostración

Caso A: el diámetro es un rayo del ángulo inscrito ψ‍ .

Paso 1: encuentra el triángulo isósceles.

Paso 2: encuentra el ángulo llano.

Paso 3: escribe una ecuación y encuentra el valor de ψ‍ .

Caso B: el diámetro está entre los rayos del ángulo inscrito ψ‍ .

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

Paso 3: suma las ecuaciones.

Caso C: el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

Paso 3: sustituye y simplifica.

Un resumen de lo que hicimos

¿Quieres unirte a la conversación?

Caso A: el diámetro es un rayo del ángulo inscrito $ψ$ ‍.

Paso 3: escribe una ecuación y encuentra el valor de $ψ$ ‍.

Caso B: el diámetro está entre los rayos del ángulo inscrito $ψ$ ‍.