Demostración: diagonales de un paralelogramo

vamos a resolver otros dos problemas de demostraciones con paralelo gramos este dice lo siguiente tenemos que abc de es paralelogramo y queremos demostrar que las diagonales se edifican entre sí o sea que se cortan a la mitad vale bueno déjame ponerle un nombre al punto de intersección de las diagonales voy a ponerle que es el punto entonces lo que nos gustaría demostrar es que b es igual a la de ikea es igual a ese y para eso vamos a aprovechar los triángulos que hay aquí y vamos a intentar encontrar triángulos congruentes vale bueno para hacer eso vamos a vamos a observar primero este ángulo b a b b tenemos que ver es una línea transversal a la pareja de líneas paralelas a b c d entonces este ángulo de acá y este ángulo de acá son ángulos internos alternos y por lo tanto miden lo mismo lo voy a poner de este lado el ángulo a b y es igual al ángulo ángulo cd d de manera similar este ángulo es igual este ángulo porque ahora esta diagonal es una transversal a la pareja de rectas paralelas a b y c de ba entonces déjame déjame ponerlo con color digamos naranja o con color rojo y con color rojo entonces el ángulo b es congruente al ángulo de s b ángulo b es igual al ángulo al ángulo de es de s d muy bien y además además de estos dos hechos en el vídeo pasado demostramos que si algo es un paralelogramo entonces los lados opuestos miden lo mismo y por lo tanto podemos decir que ave es igual a cde entonces lo voy a escribir aquí abajo en color verde o sea además tenemos que ave ave mide lo mismo que de que se dé muy bien entonces juntando estos tres hechos podemos mostrar que a hebe el triángulo y el triángulo c y d son congruentes déjame ponerlo por aquí vamos a poner que estos tres hechos por criterio ala nos permiten concluir lo voy a poner así por criterio por criterio ala de congruencia de congruencia nos permiten concluir que el ave que el triángulo o ave ave es congruente congruente al triángulo se ve al triángulo de verdad tenemos este ángulo es igual este ángulo este lado es igual a este lado y este ángulo es igual este ángulo entonces tenemos justo el criterio ángulo lado muy bien y a partir de que los triángulos son congruentes ya tenemos un montón de información porque todas las demás parejas de elementos correspondientes también deben ser iguales en particular tenemos que v v es igual a ed lo voy a poner por acá tenemos v es igual a ed entre y también tenemos que ea es igual a s es igual a que si no voy a marcar así y así y si queremos podemos ponerle por aquí que es por la dos lados correspondientes correspondientes de triángulos congruentes de triángulos congruentes muy bien entonces con eso demostramos lo que queremos porque justo esto nos dice que es el punto medio dvd y que también es el punto medio de hace muy bien ya lo hicimos hacia un lado un paralelogramo que cumple que sus diagonales se cortan a la mitad vamos a ver que el regreso también es cierto que si tenemos un cuadrilátero en el cual ambas diagonales se cortan a la mitad entonces ese cuadrilátero es un paralelogramo y para eso voy a pasar al dibujo de aquí abajo es justo lo que dije ahora tenemos que las diagonales se cortan a la mitad déjame llamar otra vez a este de acá el punto entonces las diagonales se cortan a la mitad y tenemos que demostrar que a bs d es un paralelogramo ok ahora lo que vamos a aprovechar es este ángulo de acá estos dos el a b a b y el c cb y estos dos ángulos de acá son iguales son iguales porque ambos son opuestos por el vértice entonces déjalo escribo por acá tenemos que el ángulo ve a ángulo b es igual al ángulo ángulo de s al ángulo de s y esto le voy a poner que que es por opuestos al vértice vértice cuáles son ángulos opuestos al vértice y por lo tanto son iguales pero observa esto inmediatamente nos da un criterio de congruencia para los triángulos a b y c de por qué porque tenemos lado o sea comparten el lado con ese el ángulo y el lado b con ed entonces lo voy a escribir por acá que podemos concluir que el austrian que el triángulo v b es congruente al triángulo c y d el triángulo c y b por el criterio por criterio interior el l de congruencia de congruencia y como son triángulos congruentes entonces cualquier elemento correspondiente es igual al del otro triángulo entonces en particular tenemos que ave es igual a c d lo voy a poner por aquí déjame ponerlo con color amarillo entonces ave ave es igual a c d bueno ahí vamos verdad ya tenemos que éste es igual a este de acá ahora lo que vamos a mostrar es que bc es igual a la de entonces ahora vamos a hacer lo mismo pero ahora con los triángulos b c y d como le vamos a hacer una vez más tenemos que aquí tenemos un ángulo opuesto por el vértice con este de acá vale entonces tenemos que el ángulo de ese ángulo p s es igual al ángulo de e de e le voy a poner opuestos al vértice al vértice vértice y entonces de manera similar concluimos que los triángulos de ese triángulo b y c y el triángulo de a son congruentes triángulo de e son congruentes de nuevo por criterio criterio l el de congruencia de congruencia sí misma idea que antes coinciden en que es igual a efe en el ángulo en e y además de es igual a b y entonces por criterio l a l son congruentes a partir de aquí concluimos la otra igualdad que nos interesa que es igual a veces que a de ave es igual abc y como ya vimos en el vídeo anterior si tenemos que las parejas de lados opuestos son iguales o sea ésta es igual a ésta y ésta es igual a ésta entonces tenemos que el cuadrilátero es un paralelogramo bueno había otras formas de concluir también a partir de estas dos congruencia de la congruencia y déjame marcarlas con color blanco esta de acá y estar acá está de acá podemos concluir que el ángulo de ce es igual al de einstein es igual a este que el ángulo bueno y que el ángulo bc que este de acá es igual al ángulo de la idea entonces otra forma de concluir es decir es decir lo siguiente es decir que sabe es paralela hace de ave es paralela a cede porque por ángulos alternos internos por ángulos alternos internos y también tenemos que veces es paralela a de a por la misma razón vc es paralela a d por esta misma razón entonces le voy a poner así va bueno de cualquier forma concluimos finalmente a partir de que las diagonales se cortan en la mitad que el cuadrilátero abc de es un paralelogramo