Problema de demostración geométrica: segmentos congruentes

Al ver este diagrama sabemos que la longitud del  segmento AB es igual a la longitud del segmento   AC, por lo que AB -que es la longitud de todo este  lado- es igual a la longitud de todo este otro   lado; y también sabemos que el ángulo ABF es igual  al ángulo ACE, puedes ver que miden lo mismo,   lo que quiere decir que sus medidas son iguales  o que son congruentes, así que este ángulo de   aquí es congruente con el ángulo de acá, miden  lo mismo. Ahora, lo primero que quiero intentar   probar es si BF tiene la misma longitud que  CE, así que intentemos responder a esto. Ya   conocemos algunas cosas que podemos expresar  mejor en dos columnas. Permíteme hacerlo así,   sólo para que veas cómo se hace en caso de que te  pidan demostrar esto en clase y lo puedas hacer   de manera más formal. En esta columna tenemos  el enunciado y en esta otra columna tenemos   la justificación. Voy a reescribir esto de manera  formal en estas dos columnas: tenemos que AB = AC,   este es el primer enunciado y es algo que nos dan,  el segundo enunciado es que el ∠ ABF = ∠ ACE y   nuevamente esto está dado. Ahora, algo interesante  es que tenemos un ángulo y un lado en cada uno   de estos triángulos, y podemos ver que los dos  triángulos -y me refiero a los triángulos ADF y   ACE- ambos triángulos comparten el mismo vértice  A, el punto A forma parte de ambos triángulos,   por lo que podemos decir que el ∠ BAF = ∠ CAE.  Esto deja más claro que tenemos dos triángulos   diferentes aquí, pero en realidad es el mismo  ángulo, este ángulo es igual a sí mismo. Éste es   nuestro tercer enunciado y podríamos decir que es  obvio. Algunas personas llamarían a esto propiedad   reflexiva, es obvio que un ángulo es igual a  sí mismo, incluso si lo etiquetamos de manera   diferente este ángulo va a medir lo mismo, así que  tenemos algo interesante: tenemos un ángulo, un   lado y un ángulo, un ángulo, un lado y un ángulo,  por lo que por ángulo, lado, ángulo tenemos   que el triángulo BAF -este es nuestro cuarto  enunciado- el ∆BAF, que estoy resaltando en azul,   y algo importante en estos problemas es ubicar el  triángulo correcto, así que comenzamos con este   ángulo, luego pasamos al ángulo anaranjado  a través de este lado E que sabemos que es   congruente con ese lado de allí, y luego pasamos  al lado donde el ángulo no está etiquetado, es   el triángulo BAF. Entonces sabemos que el ∆BAF ≅  con el triángulo que comienza en el ángulo blanco,   luego va al ángulo anaranjado y luego va al  ángulo sin etiquetar, va a ser congruente con   el ∆CAE. Este dibujo está medio desordenado, pero  puedes darte una idea de que es congruente con el   ∆CAE: el ángulo blanco, el ángulo anaranjado y  el ángulo no etiquetado forman este triángulo,   y la justificación es ángulo, lado, ángulo,  ALA, este es el lado intermedio y estos son   los dos ángulos y eso viene en los enunciados 1,  2 y 3. Y como estos triángulos son congruentes,   sabemos que los lados correspondientes van a ser  congruentes, y este será nuestro quinto enunciado,   el quinto enunciado es que BF = CE, y  esto viene directamente del enunciado 4,   o podríamos decir que los lados correspondientes  son congruentes. Ahora vayamos a otro nivel,   veamos si podemos demostrar que ED = DF,  así que sigamos desarrollando esto y veamos   si podemos probar que ED = DF. Pongo un signo de  interrogación allí porque aún no lo he demostrado,   quiero demostrar que este pequeño segmento  de recta ED = DF, así que veamos si podemos   demostrar esto aquí mismo. Algo interesante y que  no es tan obvio es cómo averiguamos si hay algún   tipo de congruencia aquí, pero ya tenemos algo  de información. Sabemos que BAF ≅ CAE, y también   sabemos que este lado de aquí, el segmento AE que  es parte de CAE, va a ser igual al segmento AF,   estos dos lados son congruentes y la razón es  porque son lados correspondientes de triángulos   congruentes: AF es el lado opuesto al ángulo  blanco del triángulo BAF y AE es el lado opuesto   al ángulo blanco del triángulo CAE, que sabemos  que son congruentes. Entonces sabemos que AE = AF,   y una vez más esto proviene del enunciado  4, e incluso podríamos decir que los lados   correspondientes son congruentes, la misma razón  que vimos aquí. Ahora, lo que es interesante aquí   es que aunque esto de aquí ni siquiera es un  triángulo, pero por lo que sabemos estos dos   segmentos son congruentes, y esto nos ayuda  con esta parte de aquí, porque sabemos que el   segmento AB es igual al segmento AC, eso nos fue  dado. El enunciado 7 es que sabemos que BE = CF.   ¿Y cómo sabemos que BE = CF? Bueno, sabemos que la  longitud de BE es igual a la longitud de AB - AE,   que, con base en lo que vimos acá, es igual a AC  - AF, porque AB = AC. Y ya demostramos que AE es   lo mismo que AC - AF, y AC - AF es lo mismo que  CF, esto lo sabemos por el enunciado 1 y por el   enunciado 6. Entonces sabemos que este lado es  igual a ese lado, que esta pequeña parte es igual   a esta parte, y si restas la parte grande menos la  parte pequeña esto de aquí va a ser igual a esto   de aquí. Esto es todo lo que estamos demostrando:  este lado amarillo es igual a este lado amarillo   justo aquí. Ahora, la otra cosa que sabemos, y  esto viene de los ángulos verticales, es que el   ángulo EDB va a ser congruente con el ángulo FDC.  Voy a escribirlo como el enunciado 8: sabemos que   el ∠ EDB va a ser igual al ∠ FDC, y esto viene de  que los ángulos verticales son congruentes o sus   medidas son iguales. Y ahora, de repente, tenemos  algo interesante de nuevo: tenemos el ángulo   anaranjado, el ángulo blanco y el lado, en esta  otra parte tenemos el ángulo anaranjado, el ángulo   blanco y el lado, por lo que estos dos triángulos  más pequeños son congruentes. Ahora el enunciado 9   es que sabemos que el ΔBED, que estoy remarcando  aquí, es congruente con el triángulo... Recuerda   que queremos usar el ángulo blanco, el lado  amarillo y el ángulo anaranjado, entonces B es   el ángulo blanco, E es el ángulo sin etiquetar  y D es el ángulo anaranjado: comenzamos con C,   luego sigue el ángulo sin etiquetar y después el  ángulo anaranjado que forman el triángulo CFD,   y esto viene directamente de ángulo, ángulo, lado,  de la congruencia del ángulo anaranjado, el ángulo   blanco y el lado. Y ahora que demostramos que este  triángulo es igual a este triángulo, sabemos que   sus lados correspondientes son iguales, ya  estamos por terminar. Ahora que sabemos que   estos dos triángulos son congruentes, sabemos  que ED = DF porque son lados correspondientes,   vamos a escribirlo: ED = DF, y una vez más la  razón aquí es igual que aquí arriba, conocemos el   enunciado 9, lo que significa que son congruentes  y los lados correspondientes son congruentes. Con   esto terminamos. Este fue un problema bastante  complicado, pero hay que resolverlo paso a paso,   sólo intenta obtener la mayor información de cada  triángulo y finalmente lo obtienes. Pero la parte   difícil no es darte cuenta de qué enunciado usar  o cómo aplicarlos, sino ubicar el triángulo y   encontrar la información que tiene; darte cuenta  de que puedes encontrar BE al restar AE de AB,   y ver que hay dos triángulos superpuestos en  esta estrella sin brazos o como quieras llamarlo.