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Demostración sobre rectas paralelas y ángulos correspondientes

Demostración por contradicción de que la equivalencia de un ángulo correspondiente implica líneas paralelas. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

sabemos que si tenemos dos líneas que son paralelas la línea l y la línea m paralelas entonces sabemos que si son cortadas por una transversal está en rosa una transversal entonces los ángulos correspondientes que se forman son iguales este lo nombró x éste lo nombró y entonces sabemos que si l es paralela a m entonces x es igual al miden lo mismo esos ángulos en este vídeo quiero probar el recíproco esto es lo que sabemos sabemos esto de aquí yo quiero probar que si x es igual a ye entonces l es paralela a m podemos partir de cualquier lado si son paralelas entonces los ángulos correspondientes son iguales si los ángulos correspondientes son iguales entonces las líneas son paralelas y lo voy a hacer por contradicción pongamos esto a un lado esta es nuestra meta con todo esto que ya tenemos voy a asumir que esto no es verdad entonces lo que voy a asumir es que x es igual a ye y él no es paralela a m ahora pensemos en qué tipo de realidad esto va a crear si tenemos dos líneas que son distintas y no son paralelas entonces en algún punto se van a cortar de acuerdo entonces voy a dibujar a mis rectas aquí está la recta l y la recta m corta la recta l porque no son paralelas entonces por definición se van a cortar en algún punto ahora aquí voy a poner esta transversal entonces aquí tenemos el respectivo equis y acá tenemos allí pero es x entonces esos dos ángulos miden lo mismo dada entonces esta realidad en cualquiera de los casos estamos asumiendo que esta distancia es no nula aquí hay una distancia por ende acá también hay una distancia en este segmento por lo tanto tenemos aquí el punto a y el punto b estamos diciendo que la distancia del segmento ave es mayor que 0 asumiendo eso en cualquier caso también aquí tenemos que la distancia del segmento ave es mayor que 0 cuando asumimos que estas dos líneas se cortan nos estamos formando un lindo triángulo si lo ven está lindo ajá y está formado por tres segmentos uno de ellos ave y aquí nombre a este punto c entonces el otro segmento bc y el otro hace ahora recuerda sabemos mucho acerca de encontrar los ángulos de un triángulo entonces podemos aplicar lo que ya sabemos primeramente este ángulo tenemos que este ángulo es suplementario con este de aquí o sea que la suma de ambos se 180 por lo tanto este de abajo mide 180 menos x y que sabemos sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 entonces nombró a este ángulo z y la suma de los tres ángulos va a ser igual a 180 por lo tanto pongo aquí lo siguiente escribo x más 180 menos x más z es igual a 180 x x se va y puedo restar a ambos lados 180 entonces tengo que z es igual a 0 es decir si tenemos a x igual ayer y l no paralela a m entonces tenemos esta rara situación donde la intersección de esas dos rectas forman un ángulo de medida cero se está igual a cero grados entonces tendríamos aquí algo muy raro ni siquiera se formaría un triángulo tendríamos que el segmento ave tiene medida cero entonces tendríamos algo así como un triángulo degenerado un triángulo que no se abre es una línea entonces l&m con la misma recta por lo tanto no tenemos un triángulo que se forme esto nos lleva a una contradicción la contradicción de que el segmento ave tiene medida cero es como si no existiera pero eso es una contradicción porque a ve el segmento ave es mayor que cero o decir que la recta l y la recta deben ser la misma ya que la apertura entre ellas es igual a cero es una contradicción de ambas formas llegamos a una contradicción es decir si asumes que x es igual a ye y él no es paralela a m esto te lleva a algo que no tiene sentido en absoluto esto prueba que si x es igual ayer entonces l es paralela a m porque demostramos que si x es igual ayer no hay manera de que l y m sean líneas distintas y sean no paralelas quedó probado entonces si l y m son paralelas los ángulos correspondientes son iguales y si los ángulos correspondientes son iguales lm son paralelas