Área de triángulos generados con una diagonal

digamos que aquí tenemos un rectángulo más o menos algo así en el cual vamos a trazar sus dos diagonales entonces esta de acá es una de las diagonales algo así y esta de acá es la otra diagonal vale entonces ahí tenemos las dos diagonales del rectángulo y supongamos que también conocemos la altura de este rectángulo y que mide digamos h lo voy a marcar por aquí entonces esta altura mide h y que también conocemos el largo del rectángulo y ese largo mide wv entonces esta longitud de acá mide w vale w ok entonces lo que quiero mostrar en este vídeo es que estos cuatro triángulos que quedan divididos aquí adentro del rectángulo por las diagonales tienen la misma área vale ahora se ve medianamente razonable que este triángulo de aquí abajo que voy a sombrear con naranja y este de acá tiene la misma área que el de arriba ahorita los hombre o el de arriba entonces este de abajo tiene la misma área que este de acá y el argumento pues en realidad no está tan difícil porque si te das cuenta a ambos de ángulos ambos triángulos tienen como base a w aquí abajo es este lado acá arriba es este lado y ambos triángulos tienen tienen como altura la mitad de la altura del rectángulo si nos vamos de aquí para acá nos queda un medio de h un medio de h y si nos vamos de aquí para acá también nos queda un medio de h porque el rectángulo es una figura bien simétrica sale un medio b h bueno eso se puede probar un poco más formalmente viendo que estos dos triángulos son congruentes pero bueno creo que ahorita más o menos nos la creemos y de por si ahorita lo vamos a probar vale y por otro lado también es más o menos evidente o pues más o menos creíble que este triángulo de acá que este triángulo de la izquierda tiene la misma área que este triángulo de la derecha que este triángulo de acá de la derecha y es más o menos el mismo argumento pero ya no lo voy a repetir lo que voy a hacer ahorita es ver lo que no es tan obvio que es que los triángulos verdes tienen la misma área que los triángulos naranjas saleh bueno para hacer esto lo que vamos a hacer es calcular las áreas de los diferentes triángulos vamos a empezar con los naranjas pero primero déjame poner por acá la fórmula de área para un triángulo vale bueno tenemos que el área de un triángulo es igual a un medio un medio multiplicado por su base multiplicado por su altura vale entonces vamos a utilizar esta fórmula de aquí en los triángulos naranjas entonces digamos este triángulo naranja tiene área área igual a un medio multiplicado por la base la base del triángulo sería wv el largo del rectángulo un medio por w x la mitad de la altura la mitad de la altura ustedes le voy a poner un medio de h de h vale otra vez la idea es que estos dos triángulos quedan congruentes y por lo tanto tienen la misma altura la misma altura de aquí y aquí para acá y de acá para acá bueno vamos a hacer las cuentas para ver qué nos queda esto de aquí es igual a un medio por un medio es igual a un cuarto entonces nos quedaría un cuarto x w x h muy bien ese es el área de cada uno de estos triángulos naranjas ahora vamos con las áreas verdes jaja con las áreas verdes hasta parece reserva ecológica pero bueno los triángulos que tienen área verde que tienen área verde ahora su área es igual a un medio un medio de la base y ahora hay que ser cuidadosos la base de estos triángulos es la altura del rectángulo espero que eso no sea confuso pero observa tenemos que está este lado de aquí que mide h es uno de los lados del triángulo y a ese lo vamos a pensar como la base entonces el área sería igual a un medio de h&h voy a tomar el color para que sea más claro de h x y ahora tenemos que encontrar la altura de este triángulo y para calcular la altura simplemente nos vamos de aquí para acá saleh nos damos cuenta que miden lo mismo que aquí para cada otra vez por el argumento de triángulos congruentes y entonces cada una de estas alturas es igual a la mitad a la mitad de w vale entonces este de aquí es un medio de w un medio de w y por lo tanto a que hay que multiplicar por un medio de w de w bueno entonces con eso tenemos que el área es igual a haciendo las cuentas es igual a un medio por un medio que es un cuarto x pues voy a poner primero está w x w x h x h va otra vez aquí fue un poco confuso porque la base del triángulo era la altura del rectángulo pero bueno creo que se ve la idea y listo con esto terminamos tenemos que el área de cada uno de los triángulos no importa si es naranja o si es verde es un cuarto por w por h y si lo piensas eso tiene todo el sentido del mundo porque como son cuatro triángulos de la misma área cada uno debe tener un cuarto del área del rectángulo y el área del rectángulo es w por h