Geometría (CA): el teorema de Pitágoras, área

problema 36 del examen de geometría de california dice lo siguiente cuál es el área en unidades cuadradas del trapecio que se muestra ok aquí tenemos un trapecio perfecto este lado es paralelo a este estos de acá quién sabe cómo lo hacemos para encontrar su área a lo mejor puedes pensar en la fórmula del área del trapecio y así pero eso puede confundirte un poco mejor lo que vamos a hacer es dividir este trapecio en dos figuras en un rectángulo y en un triángulo y para eso vamos a trazar este segmento el que va de este punto y baja perpendicularmente va entonces con un poco de suerte esto nos va a permitir encontrar las dimensiones del rectángulo y del triángulo con eso sus áreas y sumarlas para encontrar el área total bueno pues si bajamos aquí perpendicularmente este punto está en x igual a 8 sí porque está coordenadas 8,5 va entonces cuando recorremos desde 0 hasta 8 pues 88 entonces la longitud de este lado del rectángulo es igual a 8 y luego cuanto recorremos de 8 hasta 12 pues recorremos otros 4 entonces esta longitud de acá es igual a 4 y bueno cuanto tenemos de altura en cada una de las figuras vamos de altura 0 hasta altura 5 entonces esto mide 5 esto mide 5 y esto mide 5 y dije que aquí vale todo perpendicularmente entonces pues ya tenemos un rectángulo y un triángulo rectángulo de los cuales podemos encontrar fácilmente sus áreas 5 x 8 es 40 el área de este rectángulo es 40 5 x 4 es 20 entre 12 10 el área de este triángulo es 10 y entonces el área total es 40 10 o sea 50 excelente problema número 37 a éste se le padre dice la siguiente figura es un cuadrado con 4 paralelogramo congruentes interiores 1-2-3-4 congruentes ok e interiores ok dice cuál es el área en unidades cuadradas de la región sombreada bueno pues la región sombreada consiste en tomar el área del cuadrado que es 12 al cuadrado o sea 144 144 y a eso restar de los cuatro para el logramos de los cuatro para le logramos pero bueno cada uno de esos paralelogramo tiene la misma área porque son paralelo gramos congruentes entonces basta encontrar el área de uno de ellos y la fórmula para el área de un paralelogramo es tomar la base y multiplicarla por la altura a lo mejor eso no es tan claro para ti si no lo has visto antes déjame decirte por qué de este lado entonces imagínate que tenemos aquí un paralelogramo más o menos de este estilo algo así ahí está entonces imagínate que nos dan que nos dan bueno es más vamos a tomar este de aquí que nos dicen que que la base es 5 esté acá mide 5 y que la altura desde esa base es 3 entonces esto de aquí mide 3 entonces yo digo que el área de este paralelogramo es 3 x 5 o sea 15 pero no no tienes por qué creérmelo así ciegamente una forma de ver a qué se debe eso es tomar este triangulito de acá que se obtiene también trazando un ángulo perpendicular un ángulo de 90 grados y pasando este triangulito para acá para acá entonces nos quedaría algo más o menos de este estilo nos quedaría este lado este lado donde cortamos este lado de acá este lado donde donde no habíamos cortado pero éste lo pasamos para acá entonces este este se convertiría en este de acá en este de acá en este de acá y con eso podemos ver que se completa un rectángulo con altura 3 y largo 5 que tiene área 15 y por lo tanto éste también tiene área 15 porque simplemente pase uno de los cachos al otro lado vale bueno entonces cada uno de estos paralelo gramos tiene área 15 15 y son 44 x 15 60 entonces a 144 tenemos que restarle 60 y eso es cuánto 144 menos 60 es 84 entonces el área que queda el área sombreada es 84 o sea que la respuesta es ve muy bien vamos aquí abajo vamos al siguiente problema cuál es el área en metros cuadrados del trapecio que se muestra otra vez tenemos un trapecio entonces el plan es encontrar las dimensiones de este triángulo este triángulo y este rectángulo y a partir de eso pues encontrar las áreas y sumarlas bueno entonces nos dicen que este rectángulo tiene este lado igual a 6 bueno si este lado es igual a 6 entonces este de acá también es 6 este 6 este 6 entonces esto de acá cuánto es cuánto es cada uno de estos lados bueno observa que estos dos triangulitos deben de ser deben de ser congruentes porque son triángulos rectángulos que tienen la misma hipotenusa que mide 5 metros y tienen este cateto igual porque son lados del rectángulo entonces por el teorema de pitágoras este tercer lado también va a ser el mismo vale entonces son congruentes por lo tanto si este lado mide x este de acá también mide x y entonces tenemos tenemos bueno estoy acá dije que mide 66 y entonces tenemos que x x 6 o sea 2 x lo voy a hacer de este lado 2 x + 6 es igual a 12 de aquí restando 6 de ambos lados tenemos que 2x es igual a 6 y dividiendo entre 2 x es igual a 3 claro esto hasta lo pudimos haber hecho mentalmente verdad a 12 le quitamos 6 los seis que quedan se reparten este entre estos dos entonces cada uno de estos mide 3 entonces éste mide 3 éste mide 3 muy bien entonces observa ya tenemos dos pequeños triángulos que son rectángulos déjame copiarlo por aquí tenemos dos triángulos dos triángulos que son triángulos rectángulos en los cuales sabemos que un lado mide tres que la hipotenusa mide cinco y queremos determinar este otro lado bueno pues es fácil simplemente tenemos que utilizar el teorema de pitágoras incluso a lo mejor hasta conozcas este triángulo pero bueno vamos a hacerlo nos quedaría aquí le voy a poner ya porque ya usé x entonces nos quedaría que llega al cuadrado más 3 al cuadrado y es igual a 5 al cuadrado 5 al cuadrado osea cuadrada más 9 es igual a 25 o sea que llegue cuadrada es 25 9 o sea 16 entonces es igual a 4 muy bien ya es igual a 4 entonces estos lados que marcamos que miden lo mismo cada uno de ellos miden miden 4 y eso está fantástico porque con esto ya podemos determinar el área de este rectángulo 6 por 4 24 entonces el área de este rectángulo es 24 metros cuadrados y también podemos encontrar el área de cada uno de estos triangulitos este sería un medio de la base por la altura 3 x 4 es 12 entre 2 y 6 entonces aquí quedaría 6 y de este lado también quedaría 6 6 muy bien entonces el área es 24 + 12 o sea que es igual a 36 entonces la respuesta es ve muy bien ese es el problema 38 vamos al problema 39 problema 39 cuál es el área en pulgadas cuadradas y del triángulo que se muestra a este de aquí se ve interesante observa esto en triángulo equilátero en realidad es lo que vamos a hacer funciona para cualquier triángulo equilátero creo que ya hasta lo hicimos en un en un rombo que teníamos arriba pero vamos a volver a hacerlo la idea es la siguiente como este de aquí es un triángulo equilátero entonces al bajar la altura llega justo llega justo al punto medio entonces esto mide 5 pulgadas y estoy acá también mide 5 pulgadas estos segmentos va pero al hacer eso al hacer eso se forman sin ahí está al hacer eso se forman dos triángulos congruentes este y este de acá y esos triángulos son rectángulos y conocemos la hipotenusa y uno de los lados entonces podemos aplicar el teorema de pitágoras por ejemplo el triángulo rectángulo para intentar encontrar la medida de x cómo le hacemos lo hacemos de este lado nos quedaría x al cuadrado más 5 al cuadrado es igual a 10 al cuadrado osea x al cuadrado más 25 es igual a 100 restando 25 de ambos lados x al cuadrado es igual a 75 entonces x es igual a raíz de 75 y raíz de 75 lo podemos pensar de la siguiente forma 75 es igual a 25 por 3 entonces x es igual a raíz de 25 por raíz de 3 y entonces x es igual a 5 raíz de 3 entonces eso nos da nos da la medida x nos da esto de aquí va entonces eso que acabo de marcar mide 55 raíz de 3 y eso justo es la altura de este triangulito de la derecha entonces ahora ya podemos determinar el área de este triángulo de la derecha haciendo un medio de la base que 5 por la altura que 5 raíz de 3 de 3 entonces nos quedaría que el área de este triángulo es 25 por raíz de 13 entre 2 entre 2 y el área del otro triángulo que también tenemos que considerar para encontrar el área total pues es la misma verdad porque los dos triángulos son congruentes entonces tenemos dos veces esta área dos veces esta área el dos se cancela con el dos y nos queda 25 raíz de 3 opción b 25 raíz de 3 muy bien vamos a hacer un último problema vamos a hacer este problema que dice que es el problema 40 vale entonces los perímetros de dos cuadrados están en razón 4 a 9 bueno entonces déjame tomar aquí un cuadrado saca otro cuadrado vamos a poner que este tiene el adobe x entonces todos estos son x el perímetro es 4x y de este lado vamos a poner que el lado s entonces tiene perímetro 4 y lo que nos dice el enunciado es que la razón de los perímetros es 49 o sea 4x entre 4 y es igual a 4 entre 9 va pero observa que este 4 y este 4 se pueden cancelar entonces o sea x entre jet también es igual a 4 entre 9 bueno luego nos pregunta cuál es la razón entre las áreas de ambos cuadrados bueno pues el área de este cuadrado es ex al cuadrado el área de este al cuadrado entonces nos piden determinar x al cuadrado entre g al cuadrado esto es lo mismo que esto es lo mismo que x entre y elevado al cuadrado y aquí tenemos el valor de x entre iu y x entre 64 entre 94 entre 9 y eso hay que elevarlo al cuadrado y esto es igual a 10 6 entre 81 entonces x al cuadrado / llega al cuadrado es igual a 16 entre 81 y por lo tanto la razón entre las áreas de los cuadrados es 16 16 y 81 la opción de fantástico a lo mejor hasta cabe otro problema vamos a ver si no este sería un poco largo y ya me pase de los 10 minutos sabes que le vamos a dejar hasta aquí y en el siguiente vídeo continuamos con el 41