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Geometría (CA): el teorema de Pitágoras, construcciones con compás

Transcripción del video

problema número 51 a continuación se muestra un diagrama que viene de una demostración del teorema de pitágoras y aquí ponen el diagrama ok que he enunciado no se va a usar en la demostración del teorema de pitágoras ok me imagino que lo que quieren que hagamos es dar la demostración clásica en la cual encontramos el área de este cuadrado grande de dos formas distintas entonces vamos a hacer esa y luego vemos si eso concuerda con las opciones que nos dan bueno la demostración dice así aquí tenemos cuatro triángulos rectángulos congruentes 1 2 3 y 4 sale como son triángulos rectángulos congruentes entonces este lado me debe hasta aquí este mide a ésto me debe este mide a etcétera vale bueno y además este ángulo este ángulo es el complemento de este de acá digamos si éste es xy éste y los dos son complementarios suman 90 grados este de acá es x x con 10 90 grados y por lo tanto este que marcan de 90 de adeveras es de 90 entonces la figura central de adeveras es un cuadrado vale cuatro ángulos iguales y cuatro lados iguales muy bien entonces la idea ahora es calcular el área del cuadrado grandote una forma de hacerlo es elevar su lado al cuadrado es decir tomar a b y elevarlo al cuadrado esto es un binomio al cuadrado así que nos queda a cuadrada más dos veces saben más b cuadrada esa es una forma otra forma es sumar el área de estos cuatro triángulos rectángulos y luego el área de este cuadrado de aquí bueno estos triángulos rectángulos tienen todos base y altura b entonces el área de cada uno de ellos de cada triángulo lo voy a poner así es igual a un medio de a por b la mitad de la base por la altura entonces el área de los cuatro de los cuatro triángulos es dos veces a por b es cuatro veces esto de aquí arriba que es dos veces a por b entonces el área del cuadrado grandote es igual a esta expresión que al mismo tiempo es igual al área de los cuatro triángulos chiquitos de estos cuatro triángulos chiquitos más el área del cuadrado central este cuadrado de acá vale y bueno cuánto tiene este cuadrado de área pues como es un cuadrado es su lado al cuadrado esta hipotenusa me desde entonces el lado del cuadrado s de esta forma que hay que sumarse al cuadrado entonces tenemos esta igualdad de aquí vale está ya la probamos encontrando el área de dos formas distintas y ahora en esta igualdad podemos restar dos sabes de ambos lados y concluimos que a cuadrado más b cuadrada es igual a c cuadra muy bien esa es la demostración del teorema de pitágoras vamos a ver qué opciones nos dan para los enunciados que no se utilizan a ver a el área de un triángulo es igual a un medio de la base por la altura estoy aquí si lo utilizamos ve los cuatro triángulos son congruentes esto también lo utilizamos verdad para justificar que este ángulo de adeveras fuera de 90 y para simplemente multiplicar el área de uno de los triángulos por cuatro va a ser el área de el cuadrado interior es igual a la mitad del área del cuadrado grande no esto suena que no lo utilizamos entonces me imagino que la respuesta es c pero vamos a ver la de a ver qué dicen de el área del cuadrado grande es igual a la suma de las áreas del cuadrado pequeño y los cuatro triángulos congruentes claro que usamos esto esto fue la parte fundamental de nuestra prueba entonces ab y de si las utilizamos y se no de hecho dudo que se sea cierta en general porque este cuadrado puede ser muy grandote si los triángulos tienen mucha diferencia entre la base y la altura pero bueno vaya a la respuesta es si se no se utiliza en la demostración muy bien vamos al problema 52 dice la hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 5 y un cateto mide 2 cuánto mide el otro cateto o sea básicamente nos están preguntando si no sabemos el teorema de pitágoras entonces voy a dibujar aquí el triángulo nos dicen que la hipotenusa mide 55 y que un cateto mide 2 y nos preguntan nos preguntan por la medida del otro cateto bueno aplicando el teorema de pitágoras aquí tenemos que x al cuadrado más 2 al cuadrado es igual a 5 al cuadrado entonces x al cuadrado más 4 es igual a 25 restando 4 de ambos lados x al cuadrado es igual a 21 y sacando raíz x es igual a raíz de 21 o menos raíz de 21 pero como x es el lado de un triángulo debe ser positivo entonces x es igual a raíz de 21 opción b muy bien vamos al problema 53 a este tiene un dibujo padre dice una nueva tubería se está construyendo para redirigir el flujo de petróleo alrededor de una reserva natural aquí está el dibujo me imagino que este triángulo de adentro es la reserva natural le voy a poner por ahí un lago un lago muy bien entonces a continuación se muestra el mapa con la tubería vieja y nueva ok aproximadamente cuántas millas extra extra recorrerá el petróleo con la nueva ruta muy bien entonces tenemos que encontrar pues cuántas millas recorre ahora las millas que recorre ahora son 60 más 32 o sea 92 o sea con la nueva ruta nueva ruta recorremos 92 92 millas bajas 60 32 y queremos ver qué tanto es eso comparado con la tubería vieja pero la tubería vieja no nos la dan vamos a ponerle x y entonces una vez más tenemos un triángulo rectángulo hay que hacer el teorema de pitágoras hay que utilizarlo vale entonces nos quedaría x al cuadrado es igual a 32 al cuadrado más 60 al cuadrado 32 al cuadrado chin es un número muy grande aquí podré factorizar algo no sé si factor hizo un 4 me queda 8 y 15 creo que creo que eso no mejora mucho las cosas mejor voy a hacer las cuentas entonces 32 al cuadrado 32 al cuadrado haber 32 por 30 y 22 por 32 de 64 3 por 32 396 entonces nos queda 42 llegamos 10 10 1024 entonces x al cuadrado es igual a 1024 más 60 al cuadrado 6 x 6 es 36 y hay que poner dos ceros más 3600 muy bien entonces x al cuadrado es igual a 1024 3600 o sea es igual a 4 mil 624 vale ahora cuál será la raíz de 4.624 para encontrar el valor de x no sé a lo mejor las opciones nos dan alguna pista a ver 24 al cuadrado pues es menos que 30 al cuadrado y 30 al cuadrado es 900 entonces éste no alcanza éste no alcanza 68 está muy cerquita de 70 70 al cuadrado es cuatro mil novecientos éste se ve prometedor y además ocho por ocho es 64 entonces éste al cuadrado termina en cuatro a ver vamos a probarlo 68 x 68 8 x 8 64 llevamos 6 6 x 8 48 y 6 que llevamos 54 si 8 x 8 64 llevamos 66 846 por 8 48 llevamos 4 6 por 6 36 y 4 que llevamos 40 44 y 8 12 llevamos 11 y 56 a mira si justo es 68 vale entonces x x es igual a 68 y ahora lo que tenemos que hacer es encontrar aquí pasó algo interesante o sea yo no sé para qué utilice estas opciones si estas opciones son para la diferencia queremos las millas extra pero casualmente en las opciones me encontré me encontré el valor de la longitud de la tubería vieja a lo mejor es de esos trucos que utilizan para para hacernos tener la pregunta mal por no leerla bien pero creo que le salió al revés a los que hicieron el examen más bien nos ayudaron a encontrar el valor de la tubería vieja pero pero bueno vamos a hacer lo que nos piden entonces lo que nos piden son las millas extra entonces tenemos que ver cuánto es de 68 a 92 92 68 92 68 es igual a 24 aja entonces son 24 millas extra opción a va eso estuvo un poco truculento bueno quizás no truculento pero pero interesante bueno problema 54 wendy está usando regla y compás para hacer la construcción mostrada ok que descripción encaja mejor con lo que wendy está tratando de hacer y nos dan algunas opciones bueno pues vamos a ver vamos a ver qué está haciendo buen día al parecer el punto p es dado y en la recta él es dada esta recta de acá vamos a ponerle n se puede construir con regla haciendo que pase por p y podemos construir este punto vaya como la intersección luego al parecer éste con la punta metálica aquí wendy trazo este arco y observo donde cortaba aquí y aquí y luego y luego pues como que marcó este arco de acá que es la longitud entre estos dos puntos entonces para ir marcando cosas este mide lo mismo que éste porque son este son radios de un círculo el círculo que dibuje el compás y este de acáp quién sabe cuánto mide pero tiene cierta meditaba bueno y luego al parecer este arco lo copió aquí arriba entonces éste también mide dos rayitas aquí encontró un punto que parece ser un punto interesante donde éste mide lo mismo que esté otra vez son radios del círculo que se trazó y finalmente hizo este trazo verdad este de acá y es que al parecer resultó de copiar el de acá o sea copiar esta longitud de medida 3 de medida 3 rayitas entonces pues bueno y logró construir este triángulo congruente a éste pero aquí no hay nada de congruencias pero observa como estos dos triángulos son congruentes este ángulo no se de medida alfa es lo mismo que este ángulo de medida alfa vaya miden lo mismo y entonces está recta estos dos puntos p y el que acabamos de construir si no me está quedando derecho a ver si ahí sale ahí está esta recta resulta paralela a él entonces esta es una construcción para trazar una recta digamos n paralela a él que pase por p vamos a ver si eso está en las opciones una recta x p paralela a la recta l sí sí eso es exactamente lo que hicimos entonces la respuesta es ah y las otras dicen p qué interfecta a l nos están la interfecta congruente perpendicular no pues se me hace que es eso una recta por p paralela a l muy bien problema 55 dado el ángulo cuál es el primer paso para construir su bisectriz bueno aquí nos ponen un diagrama lo que yo haría para construir la bisectriz a ver si me acuerdo de cómo es es empezar en a y tomar cualquier apertura con el compás podría hacer esa pero al parecer aquí se la tomaron hasta bs vale entonces con eso podemos construir b y c eso es lo primero que hacemos luego con esa misma apertura y tomamos de a quien ve la circunferencia de la circunferencia con ese radio más o menos algo así más o menos bueno quizás no es el mismo radio porque ya no tu cuenta y luego en ce también de forma que se traza en estos dos arcos que estaban indicados en el diagrama original y de ahí nos va a dar un punto y se puede ver que ese punto está sobre sobre la bisectriz pero bueno no nos vamos a meter mucho en eso son muchos detalles básicamente va a salir de qué ave de abed y hace de son triángulos congruentes pero bueno te dejo para que lo pienses tantito esa es la idea de hacer la construcción vamos a ver cuáles nos proponen como el primer paso para ver para ver qué elegimos a dibujar el rayo ave no pues primero hay que construir de osea a de si dibuja la la bisectriz pero pues primero hay que hay que construir de y antes de eso hay que construir b&c entonces no la opción a no no es de dibujar un segmento que conecte p y c que conecte viste no pues eso no sirve de nada no a lo mejor el arco conecta abc pero el segmento pues no lo utilizamos para nada entonces ésta tampoco es sé de los puntos b y c dibujar arcos iguales que se intersectan en d pues eso fue lo que hicimos pero en el segundo paso entonces ya estamos acercándonos al primer paso pero todavía no es de del punto dibujar un arco que intersecte los lados del ángulo en puntos b y c sí eso es justo lo primero que hicimos verdad tomamos el compás aquí acuérdate un compás es más o menos un compás es más o menos algo así es un instrumento que tiene una punta metálica y tiene un lado así y luego hay otro lado donde puedes poner el lápiz algo de este estilo buena gran chiste del compás también tiene aquí como una no sé como un soporte para darle vueltas pero el chiste del compás es que permite tratar el otro lado el del lápiz permite trazar este círculos vale entonces sí o sea justo lo primero que hicimos fue utilizar el compás ponerlo con la punta metálica aquí trazar un círculo y fijarnos donde cortaba para construir puntos beige y vale bueno entonces la respuesta es de de es el primer paso que se hace para construir la bisectriz de un ángulo creo que ya me pasé muchísimo el tiempo le voy a dejar aquí nos vemos en el siguiente vídeo para continuar con el 56