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Geometría (CA): triángulos y paralelogramos

Transcripción del video

vamos a resolver ahora el problema 21 dice en la siguiente figura n es un número entero cuál es el menor valor posible para n a este problema está bien interesante tiene una idea que se aplica en muchos problemas y la idea es la siguiente si tenemos un lado en un triángulo entonces ese lado no le puede ganar a la combinación de los otros dos lados o sea a la suma para este problema podemos pensarlo de la siguiente forma si queremos hacer n lo más pequeño posible lo que tenemos que hacer es empezar a bajar y a bajar esta altura para que se vaya acercando a esta base piénsalo por ejemplo si tuviéramos si tuviéramos este lado de aquí y este lado de acá entonces hay claramente la n se hace más pequeña más pequeña acá acá y si éste sube muchísimo entonces la n se hace más y más grande entonces para analizarlo más pequeño que puede ser n lo que conviene es pensar qué sucede si este punto cae sobre esta base vale cae sobre esta base en este caso nos quedaría un triángulo apachurrado vamos a decir que es un triángulo degenerado vale es un triángulo degenerado porque no es un triángulo de adeveras todas el área la paramos en esta línea de acá pero bueno qué sucedería en este caso si a pachu ramos que apresuramos este punto hasta acá abajo entonces tenemos que esto vale n que esto vale n y por lo tanto en este caso n sería igual a 7.5 7.5 pero eso de ahí tiene dos problemas para empezar ni siquiera es un triángulo bueno es un triángulo degenerado es un triángulo apachurrado y otro problema es que en él no quedó entero pero bueno lo que sí podemos hacer es aumentar tantito n aumentar tanto n entonces n tiene que ser mayor que 7.5 que 7.5 aumentarlo hasta que llegue al primer entero para encontrar el menor valor posible y el primer entero que es más grande que 7.5 es 8 entonces el mínimo valor de n sería n igual a 8 vamos a ver si está en las opciones 117 no 8 aquí está la respuesta correcta es c y esta idea es súper importante vale si tenemos un triángulo entonces ninguno de los lados le puede ganar a los otros dos lados combinada bueno vamos a pasar al problema número 22 el problema 21 ya me gustó más que los otros que veníamos haciendo de hecho a lo mejor hasta me tenga que retractar había dicho que estos problemas no ayudan a desarrollar nada nada de la intuición pero en realidad del 21 pues sí sí ayuda un poquito a entender un poco más a los triángulos bueno entonces problema número 22 dice cuál de los siguientes conjuntos de números puede representar las longitudes de los lados de un triángulo misma idea tenemos que ver que un lado no le gané a la suma de los otros dos por ejemplo aquí 5 le gana 2 más 2 entonces no vamos a poder tener triángulos con la 2 225 podemos pensarlo por aquí con un poco más de calma o sea podemos tener ahí un lado 2 aquí otro lado 2 y la máxima distancia entre estas dos tache citas es cuando quedan alineadas con el punto o sea cuando queda como por acá por acá este lado que mide 2 este lado que mide 2 y entonces la máxima distancia que puede tener el tercer lado es 45 no vale entonces este no esta opción no es correcta b 3 3 y 5 pues aquí sí podemos tener un triángulo con medidas 3 3 y 5 3 y 3 le gana 5 5 y 3 le gana 3 entonces no hay ningún problema podemos verlo de la siguiente forma podemos tener un triángulo así con la 2 3 3 y este tan chiquito como querramos simplemente vamos haciendo este ángulo más y más pequeño y de ahí podemos pasar hasta los triángulos que son muy muy obtusos de lados 3333 digamos algo de este estilo y este tercer lado puede ser tan cercano como queramos está quedando un poco feo pero bueno este tercer lado puede ser tan cercano como queramos a 6 vale entonces pasamos desde lo más chiquito que se puede hasta lo más cercano a 6 y por lo tanto si existe un triángulo de medidas 3 3 y 5 este de acá no se va l 4 y 4 3 4 4 y 8 no porque misma idea podemos tener aquí 4 aquí 4 y lo máximo sería 8 08 no puede ser porque nos quedaría un triángulo de generado un segmento y finalmente de tampoco puede ser misma idea el 15 le gana a 55 entonces no hay triángulos de la 2 5 5 y 15 va entonces la opción correcta es ve el problema número 23 problema número 23 en el diagrama adjunto las rectas paralelas paralelas l&m son cortadas por la transversal que va entonces este es un problema clásico de paralelas con transversales pregunta cual enunciado acerca de los ángulos 1 y 2 debe ser cierto bueno antes de ver las opciones vamos a jugar un poquito con los ángulos a ver para dónde los podemos pasar tengo un vídeo de del juego de los ángulos entonces más o menos vamos a hacer eso entonces aquí tenemos este ángulo 1 este ángulo 1 es correspondiente con este de acá con este de acá porque este es una transversal a estas dos paralelas entonces éste la misma medida que el ángulo 1 ya me estoy aprendiendo las definiciones que ellos usan creo para entonces la medida de este ángulo es igual a la medida del ángulo 1 y por lo tanto ya podemos compararla con este ángulo de acá que es el 2 y observemos que este con este suman 180 grados y por lo tanto son ángulos suplementarios suplementarios varios vale dos ángulos son suplementarios cuando suman 180 grados aquí suman 180 grados porque estos dos combinados forman la línea m el ángulo en la línea m va entonces son ángulos suplementarios vamos a ver este que sucede aquí el ángulo 1 es congruente al ángulo 2 no pues quién sabe verdad este no tiene por qué ser congruente a éste ve el ángulo 1 es el complemento del ángulo 2 esto suena un poquito a lo que dijimos pero complemento es otra cosa complemento querría decir que el ángulo 1 con el ángulo 2 suman 90 grados entonces esto tampoco es lo que queremos el ángulo 1 es el suplemento el suplemento del ángulo 2 si esto es exactamente lo que dije son ángulos suplementarios entonces el 1 es el suplemento del 2 y viceversa entonces la opción correcta sería c y d ángulo 1 y ángulo 2 son rectos no esto no tiene nada que ver hasta está medio tonto aquí no hay nada de ángulos rectos entonces pues ya está la respuesta correcta es el problema número 24 vamos avanzando le a buen ritmo qué valores de a&b hacen que el cuadrilátero mn sea un paralelogramo mn o sea un paralelogramo esta queda paralela a esta que está queda paralela a esta de acá bueno pues como platicábamos antes en un paralelogramo los lados opuestos los lados opuestos son congruentes de hecho te reto a que intentes dibujar un paralelogramo en el cual los lados opuestos no sean congruentes no se va a poder porque de hecho se prueba que si los pares de lados opuestos son congruentes pero bueno con eso en mente podemos establecer algunas ecuaciones con y algunos números por ejemplo de la congruencia de mn con o p obtenemos que 3 a 3 a -2 b -2 b es igual a 13 es igual a 13 y con la congruencia de mp con n obtenemos que 4 a 4 + b es igual a 21 a 21 entonces ahora tenemos un sistema de ecuaciones lineales en dos variables con este con dos cuestiones entonces básicamente este es un problema de álgebra disfrazado vamos a resolverlo déjame multiplicar la ecuación de aquí abajo por 2 por 2 con la idea de cancelar las veces entonces nos quedaría ochoa + 2 b es igual a 42 y ahora déjame sumar esta con esta estas dos las vamos a sumar y vamos a poner lo que queda aquí abajo entonces 3 a con 8 a 11 al menos 2 b con dos veces cancela es fuera la idea entonces son sea es igual a 13 42 o sea a 55 dividiendo entre 11 de ambos lados obtenemos que es a cinco puestos y ya entonces ya tenemos el valor de a que se lo podemos sustituir aquí arriba en la que queramos para obtener el valor de b lo voy a sustituir lo voy a sustituir pues en esta de aquí en la primera va entonces tres por cinco o sea 15 3 es 15 menos dos veces b es igual a 13 vamos a pasar el 3 restando y el menos dos [ __ ] ya sumando entonces nos quedaría 2 es igual a 2 b y dividiendo entre 2 de ambos lados nos queda que b es igual a 1 entonces ya tenemos la respuesta la respuesta es igual a 5 b igual a 1 si está a 5 b igual a 1 la respuesta es ve muy bien el problema número 2525 el cuadrilátero bsd es un paralelogramo si los ángulos adyacentes son congruentes cual enunciado debe ser cierto aunque hay déjame dibujar un paralelogramo un poco más bonito con la herramienta de línea recta bueno a lo mejor no quede tan paralelogramo pero pero más o menos se entiende la idea verdad va a ser para trabajar aquí entonces dice el cuadrilátero abs de b es de es un paralelogramo si los ángulos adyacentes adyacentes son congruentes no dice cuáles adyacentes pero bueno si estos dos son adyacentes este todos van a ser congruentes ahorita vemos por qué cual enunciado debe ser cierto entonces lo que nos están diciendo es que este ángulo digamos que mide x y este ángulo que mide digamos miden lo mismo o sea que x es igual hay déjame ponerlo aquí que éste también tienen medida x bueno lo que vamos a hacer es prolongar para pensarla como una transversal de adén ibc o sea déjame prolongar para acá ade para cada vez e íbamos a prolongar por acá ab vale vamos a prolongarlo por acá entonces la idea la idea es utilizar esta transversal lo que vamos a hacer es pasar este ángulo x para acá y eso lo podemos hacer porque son ángulos alternos internos en las paralelas este ángulo es congruente a este de acá vale pero qué sucede entonces aquí tenemos un ángulo equis y aquí también tenemos ese mismo ángulo x que juntos están haciendo esta línea por lo tanto son suplementarios y así tenemos que 2x es igual a 180 grados y por lo tanto x es igual a 90 grados entonces todos los ángulos del paralelogramo son de 90 grados y por lo tanto es un rectángulo vamos a ver qué opciones nos dan a el cuadrilátero a veces d es un cuadrado pues no sólo vimos que es un rectángulo y no hay nada que nos diga que sus cuatro lados son iguales entonces pues no quién sabe quién sabe si es un cuadrado b el cuadrilátero abc d es un rombo pues otra vez no tenemos la nada que nos permita concluir que sus lados son iguales entonces rombo quién sabe se el cuadrilátero abc d es un rectángulo pues si eso es justo lo que probamos verdad todos los ángulos son de 90 grados entonces es un rectángulo la respuesta correcta es si finalmente a veces es un trapecio isósceles nada que ver nada que ver vale muy bien entonces con esto terminamos este vídeo vamos a continuar con el problema 26 en el siguiente