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Problema desafiante sobre el perímetro

Transcripción del video

vamos a resolver este problema que está bien interesante es un problema de perímetro de la american invitational mathematics examination del año 2000 el problema dice lo siguiente el diagrama muestra un rectángulo que ha sido dividido en nueve cuadrados que no se enciman ahí tenemos 123456789 cuadrados ok luego dado que el largo y la altura del rectángulo son enteros positivos con máximo común divisor igual a uno determina el perímetro del rectángulo entonces esto de que el largo y la altura tengan máximo común divisor o igual a uno quiere decir que no hay ningún entero que los divida o sea que cuando nos fijamos en la fracción que forman es una fracción que no se puede simplificar por ejemplo si tuviéramos un rectángulo de lados no se digamos 5 y 15 entonces este rectángulo no cumple con lo que dicen porque el 5 divide a 5 y divide a 15 la fracción 5 entre 15 se puede simplificar entonces el rectángulo que más bien deberíamos tener es el rectángulo de la 2 1 y 3 si porque tienen la misma proporción 5 a 15 1 a 3 es lo mismo pero aquí ningún entero divide y a3 al mismo tiempo bueno entonces esta es la idea tenemos que determinar el perímetro si quieres puedes ahorita detener el vídeo para pensarlo por tu cuenta ahorita ya voy a empezar a resolverlo va ok bueno para pensar en cómo resolver este problema vamos a empezar con este cuadrado central vamos a ponerle algún valor a su lado no sabemos cuánto es pero digamos que es x conociendo el lado de este cuadrado podemos conocer su largo y su alto porque los cuatro lados son iguales para ahora tan solo con esto no podemos continuar necesitamos ponerle algún valor a otro lado de los cuadrados entonces vayamos con el siguiente más chiquito con este de acá y vamos a poner que el alto o largo o lado pues es un cuadrado de este cuadrado es igual a ye vale entonces tenemos que es un cuadrado del lado y yo digo que con esta información ya podemos determinar todos los lados de los cuadrados porque observa si queremos calcular el lado de este cuadrado basta sumar este lado con este lado sería x + y entonces ahora esto sería un cuadrado del lado x más así que lo voy a apuntar aquí adentro a lo mejor no es una anotación no es una anotación muy usual para poner el lado de un cuadrado pero va a ser pues muy limpios y para seguir apuntando los demás lados bueno vamos ahora este cuadrado de acá para este cuadrado tenemos que sumar este alto con este alto pero sabemos que este es x más y que éste es x entonces aquí sería 2 x más y vale más y muy bien vamos con el cuadrado de aquí arriba tenemos que sumar 2 x más que es este lado con x más que este lado de acá nos queda igual a 3 x más 2 2 y con esto podemos irnos a la izquierda aquí tenemos 3 x + 2 con 2 x más entonces nos quedaría igual a 5 x 5 x + 3g + 3g y vamos haciendo progreso verdad cada vez sabemos más medidas de lados ahora vamos con este de aquí abajo observa que este cuadrado no está formado por dos lados sino por tres hay que tener cuidado con esta x que sigue participando vale entonces ahora y da la medida de este cuadrado el lado de este cuadrado sería 5 x 2 x x sea 8 x + 3g más 3 es igual a 4 4 oye muy bien ahora vamos con este de acá también tiene tres lados este este y este y aquí tenemos que la altura sería 3 x + x o sea 4x y ahora sumamos las dos yemas que es igual a 4 y ya casi terminamos vamos con este cuadrado de aquí abajo el largo tiene 4 x 4 x y además tiene 4 yemas y que sería igual a 5 y más 58 muy bien entonces ya tenemos los lados de los 9 cuadrados con estos lados de los 9 cuadrados podemos encontrar las dimensiones del rectángulo recordemos que tenemos un rectángulo verdad un rectángulo vamos a calcular las entonces de este lado tenemos 5 x más 8 x que sería igual a 13 + 3g 4g que sería igual a 7 y 7 y ahora déjame calcular la altura pero de este lado debería dar lo mismo verdad porque es un rectángulo pero a lo mejor nos encontramos con una sorpresa entonces de este lado tenemos 4 x más 4 x o sea igual a 8 x 8 x ya eso tenemos que sumar 4 ya con 5 y eso de ahí es igual a 9 y observa entonces tenemos que por un lado la altura es 13 x 13 x + 7 y + 7 y pero por otro lado es 8 x + 9 y pero como es un rectángulo esto tiene que ser igual a esto y eso nos da una restricción verdad nos da una igualdad que dice lo siguiente 3 x + 7 es igual a 8 x 8 x + 9 y 9 y déjame intentar simplificar esto un poco pasando las x de un lado y las yes de otro lado entonces voy a pasar este 8x restando nos queda 5 x es igual a y este 7 yo lo voy a pasar restando o sea voy a restar 710 de ambos lados entonces 5x es igual a 2 y 2 muy bien y de aquí obtenemos la relación x x es igual a dos quintos de dividiendo a ambos lados de esta igualdad entre 5 muy bien vamos a ver si obtenemos una restricción similar para el largo vamos a ver cuánto nos queda aquí sería 5 x 3 x 4 x son 12 x entonces aquí tenemos 12 x ya eso tenemos que sumar tres más dos más cuatro y tenemos que sumar nueve y entonces el largo es 12 x + 9 y vamos a ver qué pasa abajo tenemos 8 x 4x que también es 12 x y a eso hay que sumar 4 yemas 5 g que también es 99 y entonces en realidad esto no nos da ninguna otra restricción verdad este tiene que ser igual a este pero pues claro que lo son porque miden exactamente lo mismo entonces al parecer tenemos que resolver el problema a partir de esta información vamos a ver qué más nos dicen dicen además que son que el largo y la altura son enteros positivos con máximo común divisor igual a 1 que sucedería si xy si tuvieran un divisor en común bueno si algo divide a equis y allí entonces dividiría a 13 x + 7 y verdad porque divide a esta parte y a esta parte y de manera similar si pues pues o sea se divide a xy divide a ye dividiría a esta expresión entonces es imposible que haya un divisor común de x y porque si no ese divisor común sería un divisor común de los lados del rectángulo contradiciendo que el máximo común divisor es igual a 1 bueno eso de qué nos sirve regresando a esta igualdad tenemos que x pues casi casi es un múltiplo de y entonces parece ser que es casi imposible evitar que el máximo común divisor sea más bien lograr que el máximo común divisor sea igual a 1 como es la única forma en la cual podemos salvar esto pues justo poniendo h con un valor que se cancele con este 5 para que ese valor no aparezca en la expresión de x bueno si estoy diciendo algo muy complicado pero básicamente estoy sugiriendo que debemos intentar con igual a 5 ya igual a 5 es un muy buen valor para intentar porque el 5 se cancelaría con este 5 con este denominador y entonces ya no tendrían ningún múltiplo en común vamos a ver qué sucede vamos a ver si éste llegó a las 5 funciona si ya es igual a 5 entonces x sería igual a 2 verdad sustituyendo aquí ya igual a 5 aquí tenemos 5 se cancela y x es igual a 2 y que nos quedarían los lados bueno pues 13 x sería igual a 26 26 para eso tendríamos que sumar 7 y 7 por 5 es 35 entonces este lado sería 26 35 o sea 61 tendríamos que este lado es 61 y acá tendríamos 12 x 12 x sería igual a 24 24 sumado con 9 y 9 por 5 es 45 entonces aquí tendríamos que sumar 45 y de este lado nos quedaría 24 45 que es igual 69 69 y esto está excelente porque 61 y 69 son números con máximo común divisor igual a 1 puedes verificar que que no hay ningún número que divida a ambos al mismo tiempo vale entonces eso está fantástico ya igual a 5 funciona entonces las medidas de los lados son 61 y 69 y ya casi acabamos ya nada más tenemos que encontrar el perímetro verdad eso es lo que nos pedían desde el principio entonces el perímetro sería igual a sumar la longitud de los cuatro lados entonces tendríamos que hacer 61 más 69 más 61 más 69 y eso cuánto nos queda pues 61 69 60 y 60 son 120 1 y 9 son 10 entonces aquí son 130 y acá tenemos otros 130 130 de esta forma déjame ponerlo con un color brillante tenemos que el perímetro del rectángulo es igual a 260 260 y entonces no fue un problema tan espantoso vale el gran chiste del problema fue empezar desde adentro e ir calculando los lados tanto de los cuadrados como del rectángulo en términos de estos pequeños lados que propusimos al inicio bueno le voy a dejar hasta aquí nos vemos en el próximo vídeo