Suma de los ángulos internos de un polígono

sabemos que la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180 entonces si la medida de este ángulo es de este b y de este c sabemos que a más ve más c es igual a 180 pero qué sucede cuando tenemos polígonos con más de tres lados qué pasa ahí vamos a ver qué sucede con un polígono de cuatro lados así que voy a dibujar aquí un cuadrilátero un cuadrilátero lo voy a seguir regular entonces bueno solo para mostrarte que sea lo que sea que hagamos aquí aplica a cualquier cuadrilátero entonces esto es general no no tiene que cumplir ciertas características como que tenga ángulos rectos o lados paralelos no es general ahora cómo podemos pensar en esto en el cuadrilátero sabemos que la suma de los ángulos internos para un triángulo es de 180 entonces por qué no dividir este este cuadrilátero en dos triángulos así voy a dibujar esta línea ya tenemos aquí dos triángulos ahora si sabemos que la media de este ángulo está de este es ven y éste mide c sabemos que a más es igual a 180 y si llamamos a este ángulo x a este ya este zeta sabemos que x + gemma z es igual a 180 entonces si queremos la suma de todos los ángulos interiores todos los ángulos interiores serán de maceta serán unos de ellos cierto entonces tenemos este y este de maceta y ahora esos son dos ángulos de este polígono ahora tenemos a más x bueno más bien este todo ese ángulo es a más x ajá es todo este ángulo de aquí a más x y también tenemos temas de todo este ángulo ese margen entonces se mantiene y sabemos que sabemos que a más ve más cm es igual a 180 y sabemos que se está más x más y es igual a 180 también entonces más 180 y eso es igual a 360 grados entonces bueno creo que ya tu ves aquí la idea general solo tenemos que averiguar cuántos en cuántos triángulos podemos dividir algún polígono el que sea y multiplicar la cantidad por 180 ahora hagamos otro ejemplo después haremos una versión general de él de todo esto y veremos en cuántos triángulos podemos cuántos triángulos pueden caber en algún polígono el que sea no ahora voy a dibujar un pentágono un pentágono irregular parece una casita y bueno ahí está tenemos aquí entonces voy a dibujar tres triángulos en este pentágono ahí quedaría uno y por ende otra línea está aquí ya tenemos tres triángulos ahora bien sabemos que cada uno de los triángulos tendrá que la suma de sus ángulos internos será de 180 y también sabemos otra cosa sabemos que la suma de todos esos ángulos en los triángulos será la suma de los ángulos en el pentágono como un todo ahora claramente este ángulo interno es uno de los ángulos en el polígono también este pero cuando tomas la suma de este ángulo y este entonces su total será uno de los ángulos internos del polígono también acá este más este es uno de los ángulos internos del polígono ahora cuando sumas este y este y éste también obtiene ese ángulo interior entonces si tomas la suma de todos los ángulos interiores lo que estás haciendo es encontrar la suma de los ángulos interiores del polígono en este caso tenemos un triángulo dos triángulos tres triángulos tres triángulos por 180 grados es igual a que a 300 más 240 son 140 grados ahora vamos a generalizar esto para hacer debemos darnos cuenta que sólo para obtener nuestros primeros dos triángulos tuvimos que usar cuatro lados entonces tuvimos que usar cuatro de los cinco lados de los cinco lados en este pentágono aquí tenemos 12 34 ahora cuatro lados te dan dos triángulos y parece que por cada lado que incremento obtengo otro triángulo así que vamos a experimentar un poco con un hexágono ahora ahora aunque entonces sólo quiero ver cuántos triángulos puede puede obtener puedo obtener con el hexágono entonces aquí yo tengo un hexágono un hexágono uno dos tres cuatro cinco seis lados y ok puede obtener un triángulo a partir de estos dos lados ajá y también obtener otro triángulo a partir de estos dos lados parece también que puedo obtener dos triángulos por estos dos lados restantes entonces aquí sería un triángulo y después se forma otro así que tenemos cuatro triángulos ahora en general parece que parece que bueno a ver hagamos algo digamos que yo tengo un polígono de cinco lados entonces tengo aquí un polígono de cinco lados y veamos qué pasa para esto voy a asumir que ya hicimos bueno de hecho ya hay signos para el caso de cinco lados cuatro lados cinco lados y seis lados entonces podemos asumir que ese es mayor que 4 y supongamos que yo tengo un polígono de ese lado y quiero saber cuántos triángulos caben en él sin que sin que sin que unos estén encima de otros vaya que quepan perfectamente en el polígono así que cuántos caben luego voy a multiplicar ese número de triángulos por 180 para averiguar la suma de los triángulos internos de ese polígono así que hagámoslo una vez más cuatro de los lados nos sirven para formar dos triángulos entonces yo aquí tengo dos lados ya que tengo otros dos lados ahora no voy a poner aquí el resto de los lados porque son ese lados pueden ser una infinidad de lados puede ser esto infinito entonces bueno no lo puedo dibujar ni me voy a preocupar por eso ahorita pero puedo dibujar un triángulo un triángulo formado a partir de estos dos lados aquí está uno acá está otro triángulo entonces cuatro lados usados para dos triángulos y no importa cuántos lados queden no no importa ya usé cuatro de sus lados pero después de eso si yo tengo un polígono medio alocado así como como que van así después así así así bueno mejor lo voy a dibujar un poco algo mejor porque ok entonces bueno algo así será nuestro polígono y bueno tal parece que por cada al lado incrementado obtengo otro triángulo así que aquí tenemos un triángulo o otro triángulo otro más y otro más entonces bueno por ejemplo esta figura que dibuje es un polígono muy irregular de de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 lados es correcto 6 7 8 efe 10 entonces es un descargo no irregular y entonces bueno en este descargo no cuatro de los lados fueron usados para dos triángulos dos triángulos y los restantes por cada por cada lado incrementado tengo un triángulo baja entonces 55 triángulos está bien esto porque si conté bien el número del lado tengo a ver 2 3 4 5 6 7 8 9 y 10 y de hecho si entonces que estoy haciendo mal que estoy haciendo mal o ya creo que ya había aquí está aquí aquí falta otra línea así si ves aquí falta otra línea entonces forman dos triángulos de ese de esos dos lados entonces tengo estos dos triángulos de los cuatro lados y de los seis lados restantes obtengo un triángulo por cada uno entonces 2 más 6 es igual a 8 triángulos en total y podemos pensar en esto de una manera general los cuatro lados nos dan dos triángulos entonces lo voy a escribir aquí 2 bueno no mejor a número de triángulos es igual a 2 ya use cuatro lados más de los lados restantes obtengo un triángulo por cada uno entonces tengo ese menos 4 y eso nos da un total entonces número del triángulo es igual a 2 más s menos 4 es igual a ese menos 2 si yo tengo entonces un polígono de ese lado puedo obtener ese menos dos triángulos que perfectamente cubren el polígono y que no se solapan unos con otros lo cual es bueno lo cual nos dice que si un polígono de este lados tiene ese menos dos triángulos entonces la suma de los ángulos internos parece polígono será de s menos 2 por ciento ochenta grados lo cual es un resultado muy fantástico si por ejemplo alguien te dice ok perfecto tienes un polígono de 102 lados así que ese es igual a 102 y tú dices ok perfecto que yo que entonces el número de ángulos interiores será de 102 menos 2 eso es cien por ciento ochenta grados lo cual es igual a 180 con otros dos ceros entonces serían 18.000 grados a la suma total de los ángulos interiores de este polígono de 102 lados