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Demostración de la fórmula de Herón (parte 2)

Demostramos la fórmula de Herón para hallar el área de un triángulo solo teniendo la longitud de sus lados. Creado por Sal Khan.

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Transcripción del video

en el vídeo anterior mostramos que esta es la fórmula para el área de un triángulo que tiene lados de medidas a b y c y además afirme que esta fórmula era equivalente a la fórmula de heron lo que vamos a hacer en este vídeo es ver que efectivamente esto se reduce a la expresión sencilla que te mostré hace un par de vídeos y para esto vamos a utilizar el teorema de pitágoras y un poco de álgebra espeluznante pero no te preocupes al final va a ser muy satisfactorio ver como algo tan complicado se reduce a algo tan simple muy bien déjame empezar con este un medio de c este un medio d se lo voy a meter a esta raíz y para eso tengo que hacer lo siguiente tengo que notar que un medio de c es lo mismo es igual a la raíz cuadrada de c medios elevado al cuadrado la raíz y el cuadrado se cancelan y esto de aquí es igual a la raíz cuadrada de cea al cuadrado dividido entre 4 muy bien vamos a utilizar esto para reescribir esta expresión de esta forma tenemos que el área a ponerle nada más a es igual a y en vez de escribir la raíz por todas partes déjame simplemente poner aquí raíz raíz para poder meter lo demás en un paréntesis entonces área es igual a la raíz de y aquí dentro del paréntesis tengo que poner un medio de c pero aquí adentro o séase cuadrado entre 4 cuadrada entre 4 x esta expresión y esta expresión déjame marcarla en color verde para que el álgebra quede más bonita entonces sería al cuadrado menos se cuadrada más a cuadrada menos be cuadrada dividido entre dos veces c eso de ahí elevado al cuadrado y cerramos este paréntesis de acá y el paréntesis de la raíz muy bien ahora lo que voy a hacer es distribuir este ese cuadrado entre cuatro en este paréntesis de esta forma nos quedaría que el área es igual es igual a la raíz la raíz de sería se cuadrado entre 4 por cuadrada lo voy a poner en verde se cuadrada por a cuadrada dividido entre 4 eso es este por este menos menos se cuadrado entre 4 se cuadra da entre 4 / esta expresión déjame desarrollarla la voy a poner como el numerador al cuadrado se se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada eso de ahí elevado al cuadrado dividido entre 2 sea al cuadrado o sea 4 c cuadrado muy bien voy a cerrar el paréntesis de acá y vamos a simplificar un poco observa que se cuadrada se cancela con c cuadrada aquí está en el numerador y aquí en el denominador 4x4 es 16 pero en vez de poner 16 déjame ponerlo como 4 al cuadrado ahorita va a saber por qué entonces vamos a pasar este renglón nos quedaría que el área es igual a la raíz a la raíz de la raíz de y observa esto es una expresión al cuadrado esto es separa entre 2 al cuadrado entonces lo voy a poner así por a entre 2 al cuadrado y a eso le voy a restar y ve que esto de acá también es una expresión al cuadrado por eso puse 4 al cuadrado sería c cuadrada masa cuadrada menos b cuadrada entre 4 y todo eso elevado al cuadrado lo voy a apuntar por acá ese cuadrado de cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada dividido entre 4 y todo eso elevado al cuadrado al cuadrado muy bien déjame cerrar el paréntesis de la raíz y observemos que ahora tenemos la resta de dos cuadrados tenemos una expresión de la forma x al cuadrado menos y al cuadrado y eso es una diferencia de cuadrados que sabemos cómo factorizar x al cuadrado menos llega al cuadrado es igual a x + x x y entonces vamos a aplicar esta fórmula de hecho la vamos a utilizar repetidas veces así que tenga en mente aquí este sería x separa entre 2 y esta expresión dentro del paréntesis sería y de esta forma nos queda que esto es igual es igual igual a la raíz y aquí vamos a poner x + quedaría c por a dividido entre dos más se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada dividido entre cuatro y eso x x ya que sería separa dividido entre 2 - se cuadrada más a cuadrada menos b cuadrada entre 4 muy bien vamos a seguir trabajando con esta expresión lo que vamos a hacer ahora es efectuar esta suma y esta resta de fracciones vamos a hacerlo parte por parte le voy a poner aquí raíz de y vamos primero con esta suma de fracciones de fracciones el denominador común es 4 tenemos que encontrar un denominador común para para para poder sumar la verdad entonces notamos que es 4 así que nos quedaría poner la rayita un poco más acá nos quedaría aquí el 4 para pasar esta fracción a cuartos hay que multiplicar el numerador por 2 sería dos veces sea más se cuadrada masa cuadrada menos b cuadrada muy bien y voy a hacer lo mismo con esta expresión también el denominador común es 4 multiplicamos este numerador por 2 nos quedaría 2 veces sea menos se cuadrada a que hay que tener cuidado - se cuadrada menos a cuadrada menos al cuadrado más b cuadrada b cuadrada excelente y aquí lo que tenemos que hacer es darnos cuenta que aparece una expresión especial estar acá 12 a más e cuadrada más a cuadrada esta expresión es más b al cuadrado a más elevado al cuadrado y está acá es algo parecido pero cuidando los signos sería menos - ce elevado al cuadrado si quieres puedes efectuar las operaciones para verificar que en efecto estas expresiones son estas dos que puse entonces nos quedaría que el área es igual a la raíz la raíz de y vamos a poner las expresiones con con estos cambios vale sería además b al cuadrado más b al cuadrado menos a perdona que además sea al cuadrado verdad qué bueno que me di cuenta además sea al cuadrado aquí también sería a más sea al cuadrado déjame borrarle para borrarle porque sería a más que bueno que me di cuenta porque si no luego no nos iba a salir entonces esa masa al cuadrado menos b al cuadrado dividido entre 4 x y voy a poner b cuadrada b cuadrada menos a menos sea al cuadrado a menos ea al cuadrado dividido entre 4 vale déjame cerrar el paréntesis y observa que una vez más aparecen estas expresiones diferencias de cuadrados aquí tenemos un cuadrado menos otro y aquí un cuadrado menos otro entonces podemos reescribir todo esto como la raíz la raíz de la siguiente expresión ya vamos a hacer todas las multiplicaciones voy a ponerlo de adentro con verde vamos a hacer las multiplicaciones 4 x 4 es 16 entonces aquí quedaría 16 pero fíjate lo voy a poner como 2 por 2 por dos por dos ahorita va a saber por qué entonces nos quedaría imagínate que este es x y este sería x + qué es simplemente cambie tantito el orden luego sería x x a más v x ahora es este con este verdad x + sería b b más o menos c x este menos éste ve - a menos eso es lo mismo que ve más menos a muy bien voy a extender tantito la línea de la fracción cerramos el paréntesis de la raíz y ahora sí vamos a separar cada uno de estos entonces nos quedaría que es igual a la raíz a la raíz de lo siguiente d entre 2 y que entonces es a b c entre 2 x ac - b entre 2 y se ve entre 2 x además ve - entre 2 b - c entre 2 y x b más c menos a entre 2 y esto ya se empieza a parecer un poco un poco más a la fórmula de geron vamos a hacer los siguientes cambios observa observa que esta expresión se ve también la podemos poner como a más ve más o menos dos veces ve ve - 2b - b de manera similar además bm se está más ve más c menos dos veces c y ve más o menos a es a b c menos dos veces a dos veces a saleh entonces vamos a reescribir utilizando estas expresiones nos quedaría que es igual el área es igual a la raíz la raíz de lo siguiente vamos a ver vamos a vamos a prepararnos es más ve más entre 2 a b c entre 2 vale esto lo voy a poner así entre paréntesis x y ahora vamos a poner esta expresión más se ha dividido entre dos menos dos veces b entre dos sería menos b - b de manera similar éste es más ve más c entre 2 menos a porque es 12 entre 2 - perdón menos c 1 c y estoy acá sería además menos a porque es 2a dividido entre dos o más b más dividido entre dos menos a y esto es exactamente la fórmula de heron solo que recuerda que para la fórmula de heron habíamos definido que ese era el semi perímetro la mitad del perímetro a más b más dividido entre 2 y claramente claramente haciendo la sustitución con esta variable nos queda que el área es igual a la raíz a la raíz de ese s voy así en color rosa está bien s x s b x s menos y x s menos s - ah y si recuerdas esto de aquí es exactamente la fórmula que di en el primer vídeo acerca de la fórmula de heron está padrísimo no crees bueno nos vemos en siguientes vídeos