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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:12:30

Transcripción del video

ya sabemos calcular el área de un triángulo equilátero lo que vamos a hacer en este vídeo es hallar el área de lo que y no sé si lo pronuncia bien pero lo voy a decir cómo se lee de lo que es el copo de nieve de coche éste se construye poniendo un triángulo equilátero y cada uno de sus lados los partimos en tres segmentos iguales de cada uno de esos segmentos trazamos un nuevo triángulo equilátero y esto lo hacemos una vez más con cada uno de los lados yo creo que ya tienes la idea general de cómo se resuelve o más bien cómo se construye lo que vamos a hacer es demostrar que tiene un área finita a pesar de que en vídeos anteriores ya vimos que tiene un perímetro infinito lo cual es bastante interesante si si te pones a pensarlo así que iniciamos con un triángulo equilátero vamos a suponer que tiene una medida s una medida de s y como es equilátero éste tiene todos sus lados de igual medida y que suponemos que es ese vamos a guardar registro de cuántos lados vamos construyendo a lo largo de los pasos de de construir el copo de nieve ok y también vamos a hacer cuenta de cuánta área vamos sumando déjenme borrar todo esto porque al parecer creo que vamos a necesitar mucho espacio así que guardamos registro de los lados del número de lados y del área que vamos sumando ok así que vamos a empezar tenemos tres lados muy bien así que vamos a anotarlo en nuestro registro y ya sabemos por vídeos anteriores cómo encontrar el área de este triángulo equilátero el cual es raíz de 3 raíz de 3 por s al cuadrado sobre 4 muy bien ahora vamos a hacer una división de cada uno de los lados en tres partes iguales dividimos en tres partes iguales y después vamos a tomar el segmento central del cual vamos a trazar un nuevo triángulo equilátero va a aparecer de esta forma si queremos saber cuántos lados nuevos vemos en donde había un lado del triángulo original lo que tenemos que ver es que tenemos 44 nuevos chequeamos uno dos tres cuatro lados ok si hacemos esto a cada paso vamos a tener de cada lado anterior cuatro nuevos lados ok ya yo creo que ya puedes ir lo imaginando vamos a trazar los tres triángulos nuevos y por lo tanto vamos a tener un total de tres por cuatro lados que son dos vamos a contarlos este es 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 lados muy bien ahora cuál es el área bueno vamos a calcular que es el del triángulo amarillo original y tres de los nuevos triángulos que son azules cuál es el área de cada uno de ellos eso es tres veces lo que valga su área y usamos la fórmula que ya conocemos que es raíz de 3 s al cuadrado en donde ahora ese es un tercio del lado original que era ese ok así que ahora éstos tienen longitud s sobre 3 s sobre 3 todos porque dijimos que eran equiláteros muy bien s sobre 3 y ahora esto lo sustituimos por s sobre 3 al cuadrado sobre todo eso sobre 4 muy bien vamos a hacer otro paso vamos a poner triángulos equiláteros de la misma forma tomamos cada uno de los lados dividimos entre 3 y nos tomamos el de enmedio muy bien ahora cuántos lados tenemos en esta ocasión bueno lo que vamos a tener es 4 veces 12 lados que teníamos en la ocasión anterior ok entonces si teníamos 12 basta con multiplicar por 4 que nos da 48 y van a ser el número de nuevos lados que obtenemos ahora cuántos nuevos triángulos hemos obtenido bueno en realidad lo que queremos sumar ahora es el área del triángulo amarillo los del área de los triángulos azules y el área de los triángulos naranja así que vamos a tener 12 nuevos 12 nuevos triángulos naranja ok pues sí vamos a escribirlo de esta forma 12 y después vamos a tener que multiplicar por el área de cada uno de esos que es raíz de 3 por ahora lo que mide cada uno de los lados de ese triángulo naranja que en este caso será ese sobre 9 al cuadrado y eso entre 4 muy bien ahora vamos yo creo que ya estamos en un buen momento para determinar cuál es el patrón que vamos a estar siguiendo ok ya que hemos movido un poquito la pantalla vamos a cambiar ahora de colores y hagamos un nuevo paso ok entonces el número de triángulos que vamos a tener es el número de lados que teníamos en el caso anterior muy bien que lo multiplicamos por raíz de 3 por lo que mide ahora el lado que es ese entre 27 al cuadrado sobre 4 muy bien y vamos a seguir agregando una infinidad de números para obtener la verdadera área del copo de nieve de coche así que vamos a seguir haciendo esto una y otra vez el el truco realmente es encontrar qué significa esta suma ok así que vamos a hacerlo para darnos cuenta de ello a simplificar esta expresión ok vamos a escribirlo de una forma distinta por lo que vamos a observar primero que podemos factorizar factorizar un raíz de 3 entre 4 raíz de 3 entre 4 por s cuadrada ok todo eso lo podemos factorizar de todos los términos al factorizar el primer término será un 1 y el segundo si factor izamos raíz de 3 entre 4 y la s cuadrada ok y la s cuadrada entonces sólo vamos a tener 3 por un tercio al cuadrado que es lo único que nos resta el único ok y bueno lo estamos poniendo de esta forma sin simplificarlo para ver si hay alguna emergencia de patrones ok ahora vamos con el siguiente termino vamos a poner este 12 escrito de la forma 3 por 4 3 por 4 y como ya factor izamos el raíz de 3 el 4 y la s cuadrada lo único que nos va a restar es poner un noveno pero vamos a escribirlo como un tercio al cuadrado y luego eso lo elevamos al cuadrado ok ok ahora ya terminamos con el término naranja vámonos ahora con el término rosa ok el 48 vamos a escribirlos como 3 por 4 al cuadrado porque cada vez vamos a multiplicar por cuatro el término anterior el coeficiente del término anterior en cada una de las iteraciones qué es estar contando el número de lados de ahí salió ahora ya que hemos factor izado el raíz de 3 entre 4 por s cuadrada lo único que nos resta es poner ahora un tercio al cubo que es 1 entre 27 al cuadrado y así seguimos sumando de por vida y así seguiremos sumando de por vida de por vida hasta que acabemos bueno realmente lo que hacemos en cada paso es multiplicar por 4 y bueno podemos pensarlo de esta forma en realidad estamos sumándole un exponente cada vez en este primer término es 4 a la 0 que es 14 a la 1 y 4 al cuadrado etcétera y por otro lado también estamos elevando el exponente del un tercio solo un exponente más en cada término lo que vamos a hacer es calcular esta suma infinita como una serie geométrica si fueran el mismo exponente del 3 y del 4 entonces podríamos hacerlo más fácil así que vamos a sumar un exponente del todo 4 pero para hacer esto voy a multiplicar por 4 en cada uno de los términos y al mismo tiempo para que no se altere la suma voy a dividir entre 4 muy bien entonces dividimos entre 4 esto divide entre 4 a toda la serie después vamos a multiplicar por 4 toda la suma muy bien entonces este 1 se vuelve un 4 aquí multiplicamos por un 4 acá de este lado se vuelve un 4 al cuadrado aquí 4 al cubo etcétera ahora ya tenemos que los cuatros tienen el mismo exponente que el un tercio el problema es que el un tercio a la n se está elevando al cuadrado en todos los términos pero bueno eso no nos va a causar problema porque en general si uno tiene uno entre tres a la n iv luego lo elevamos al cuadrado esto es lo mismo que uno entre 3 a la 2 n verdad porque solo basta con multiplicar los exponentes cuando uno está elevando a una potencia lo que ya tiene elevado a una potencia así que esto simplemente será 1 entre 3 al cuadrado a la n así que ya tenemos todas las de la ley para poder intercambiar nuestros exponentes ahora vamos a reescribir todo esto y permítanme que lo haga como raíz de 3 por s cuadrada entre 16 que multiplica todo lo de adentro quiero hacer varios detalles aquí así que déjenme ponerlo como 4 más y vamos a escribir 3 por 4 a la 1 en realidad es haber hecho nada y luego lo que vamos a hacer es reescribir este tercio al cuadrado como simplemente 1 entre 3 al cuadrado que es un noveno y elevándolo todo eso a la primera potencia solo lo ponemos como un noveno a la 1 muy bien ahora continuamos con la parte naranja que es 3 por 4 al cuadrado por un tercio al cuadrado al cuadrado que en realidad es un noveno al cuadrado y ahora terminemos con la parte rosa que es 3 por 4 al cubo y que multiplica a un tercio al cubo al cuadrado que en realidad esto es un 27 ago al cuadrado pero vamos a utilizar la fórmula que ya demostramos hace hace unos momentos y esto es 1 entre 3 al cubo al cuadrado será lo mismo que 1 entre 3 al cuadrado al cubo qué es lo que ya mostramos en esta parte esto será equivalente entonces a un noveno al cubo más todos los términos que dijimos que que nos falta va a ser muy bien ahora vamos a hacer un paso más para terminar este vídeo esto será igual a raíz de tres por s al cuadrado entre 16 que multiplica 4 más y vamos a sumar 3 por 4 novenos más el siguiente término será 3 por 4 novenos al cuadrado y el siguiente término lo que vamos a hacer es multiplicar a tres por cuatro novenos al cubo y vamos a seguir sumando los demás términos que nos faltan y si observamos bien lo que estamos haciendo es tomar potencias cada vez más grandes de cuatro novenos lo que haremos en el siguiente vídeo será recordar todas esas herramientas que tenemos para calcular series infinitas geométricas pero ahí mismo vamos a repasar lo