Área del copo de Koch (parte 2)

en el último vídeo llegamos tan lejos como pudimos tratando de encontrar la fórmula para el área del copo de nieve de coche este ya dijimos tiene un perímetro infinito pero aseguramos que tiene una área finita y esperemos encontrar ese valor vamos a hacer todo lo que está en nuestras manos para simplificar esta cosa de acá arriba muy bien así que esto es por lo que vamos a empezar vamos a centrarnos en esto que hemos puesto entre paréntesis y vamos a tratar de encontrar un valor para esta serie geométrica infinita muy bien así que vamos a reescribir lo como 3 x 4 novenos muy bien más 4 novenos al cuadrado más 4 novenos al cubo más perdón al cubo más todos los demás términos de aquí hasta el infinito lo que estamos sumando son todas las potencias de cuatro novenos y por suerte como ya dijimos es una serie geométrica en fin vamos a encontrar la forma de hacer el cálculo de esta serie muy bien y bueno vamos a hacerlo en esta ocasión para para el caso particular de cuatro novenos así que vamos a llamarle ese a esta suma a la suma s le vamos a llamar a la suma de todas las potencias de cuatro novenos empezando por cuatro novenos más cuatro novenos al cuadrado más cuatro novenos al cubo más todos los demás términos digamos ahora que vamos a multiplicar a s por 4 novenos sale ok entonces si multiplicamos a s por 4 novenos del lado izquierdo como nos queda bueno del lado izquierdo queda 4 novenos por s y del lado derecho vamos a tener la multiplicación de todos esos términos por 4 novenos ok que vamos a obtener aquí pues vamos a obtener 4 novenos al cuadrado si multiplicamos a 4 novenos ahora del segundo término vamos a tener 4 novenos al cubo y eso lo vamos sumando de aquí hasta el infinito ahora esto es interesante cuando multiplicamos a 4 novenos por eso en realidad obtenemos toda la serie de los otros números excepto por el primer término esta es la magia de las series geométricas y qué es lo que vamos a utilizar para poder llegar al resultado ok entonces vamos a restar estas dos dos series y si son expresiones iguales entonces tendremos simplemente que restar la rosa de la verde del lado izquierdo que tenemos tenemos ese menos cuatro novenos de ese déjenme ponerlo con estos colores no mejor regresemos al al rosa tenemos cuatro novenos de ese y esto a que va a ser igual bueno si se dan cuenta cuatro novenos al cuadrado se va o se cancela con el de abajo cuatro novenos al cubo y así se cancelan todos los términos hasta el infinito así que del lado derecho simplemente nos quedó el primer término que es cuatro novenos muy bien ahora lo que es del lado izquierdo vamos a tener que agrupar lo que incluye a las eses aquí tenemos nueve novenos de ese que es uno menos cuatro novenos de ese en ese sentido si hacemos la resta simplemente nos va a quedar sin de ese va a ser igual a cuatro novenos resolviendo la ecuación para ese ahora tenemos que si multiplicamos de ambos lados por nueve quintos por nueve quintos multiplicamos ya ambos lados del lado izquierdo se cancelan y del lado derecho simplemente nos va a quedar cuatro quintos ahora eso es sensacional porque entonces toda esta suma infinita simplemente vale cuatro quintos así que todo lo que dejamos en este paréntesis va a equivaler a tres por cuatro quintos todo esto de este paréntesis va a equivaler a 12 que es 3 por 4 sobre 5 fácil muy bien ahora vamos a nuestra expresión original para que no perdamos la línea de qué es lo que estamos haciendo teníamos raíz de 3 por s cuadrada entre 16 x y ahora tenemos este 4 que estaba aquí más todo lo que valía este paréntesis que al simplificar lo nos quedó 12 quintos ahora si sumamos estos dos este 4 lo podemos escribir como 20 quintos 20 quintos para que podamos hacer la suma de las fracciones ok ahora si sumamos esto en realidad nos queda que este paréntesis déjenme escribirlo por acá abajo todo este paréntesis en realidad vale 32 quintos esto esto ya está bastante emocionante porque estamos encontrando el área de algo que tenía un perímetro infinito así que esto si seguimos con las cuentas va a ser raíz de 3 por s cuadrada sobre 16 que multiplica a 32 sobre 5 muy bien ahora vamos a dividir 32 es de este numerador por el 16 y aquí simplemente nos queda 12 y eso simplemente ya nos queda el área del copo de nieve de coche donde empezamos con un triángulo equilátero de medida de cada uno de sus lados s así fue como empezamos la construcción de nuestro copo de nieve y eso va a ser simplemente su área dos veces la raíz de 3 2 veces la raíz de 3 por s al cuadrado sobre bueno si ya usamos el 2 raíz de 3 y ese cuadrado sólo nos falta poner en el denominador un 5 ahora por ejemplo si hubiéramos empezado con un triángulo equilátero de longitud de cada uno de sus lados 1 entonces el área de esta cosa loca que tiene un perímetro infinito sería simplemente dos veces la raíz de 3 sobre 5 de cualquier forma esto es algo sensacional