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Tiempo actual: 0:00Duración total:6:41

Resolver un ángulo con la ley de los cosenos

CCSS.Math:
HSG.SRT.D.10
,
HSG.SRT.D.11

Transcripción del video

supongamos que estás estudiando una pequeña colina o formación rocosa como la que tenemos aquí y de alguna manera has podido calcular las dimensiones sabes que esta línea a nivel del suelo mide 60 metros este lado más inclinado de esta roca o esta saliente como quieras llamarlo mide 20 metros mientras que este lado este lado menos inclinado mide 50 metros de longitud pudiste medir todo eso y ahora lo que quieres hacer es aplicar sus conocimientos de trigonometría para que con esa información calcular cuál es la inclinación de este lado cuál es la elevación que tiene con respecto al suelo en pocas palabras queremos saber cuánto mide este ángulo que vamos a llamar theta te invito a que le pongas pausa el vídeo y pienses por un momento cómo resolverías el problema bien aquí podemos recordar que si conocemos los tres lados de un triángulo y queremos calcular un ángulo podemos usar la ley de cosenos vamos a escribir la ley de cosenos antes de que lo intentemos aplicar para resolver el problema que tenemos en este triángulo la ley de seno se establece qué se cuadrada es igual a cuadrada más be cuadrada menos 2 ave coseno de teta en esta fórmula a b y c representan los lados del triángulo donde se es el lado opuesto al ángulo teta esto lo podemos ver mejor en este triángulo si en este triángulo este es el ángulo theta el lado opuesto a theta que es este que tenemos aquí es el lado c mientras que es indistinto cuál es o cuáles d ya que si te fijas bien juegan el mismo papel en la ley de cosenos de hecho puedes intercambiar las puedes decir que este es el lado b y este es el agua realmente esto no afecta a la fórmula apliquemos entonces la ley de cosenos para encontrar el ángulo theta que nos interesa para esto identifiquemos cuáles son los valores correspondientes en la fórmula este es el lado ce el lado a o b es indiferente cual tomamos digamos que este es el lado a mientras que este de aquí va a ser el lado b ya podemos entonces aplicar la ley d se nos hagámoslo por acá tenemos que se al cuadrado que es 20 al cuadrado es igual a al cuadrado que es 50 al cuadrado más b al cuadrado más 60 al cuadrado menos 2 veces menos 2 veces el producto de a por de menos 2 veces el producto de 50 por 60 y eso multiplicado por el coche no de teta lo cual está perfecto pues nos están dando todos los valores excepto la incógnita que es el ángulo teta veamos cómo despejar teta aquí tenemos 20 al cuadrado que es 400 eso es igual a 50 al cuadrado que es 2500 + 60 al cuadrado que son 3600 - dos veces 50 por 60 2 por 50 son 100 por 60 esto es 6 mil vamos a simplificar esta expresión tenemos del lado izquierdo 400 que es igual a 2500 más 3600 esto es 2 mil 3 mil 5000 6.100 deja de ponerlo con otro color vamos a sumar entonces 2.500 más 3600 que es 6.100 está bien 2000 3000 5500 más 600 mil 100 si seis mil 100 y eso tenemos que restarle 6000 que multiplica a coseno de teta y ahora podemos restar 6.100 a ambos lados de la ecuación restamos 6.100 al lado izquierdo y al lado derecho pues queremos despejar coseno beteta entonces que nos queda del lado izquierdo 400 menos 6 mil 100 esto nos va a dar igual a menos 5.700 veamos 5.700 más 400 es 6.100 si fuera 6 mil 100 menos 400 sería 5.700 pero como el negativo de 6.100 nos queda menos 5.700 si muy bien estos 6.100 se cancelan y esto es igual a menos 6 mil que multiplica a jose no detecta ahora dividimos ambos lados entre menos 6.000 dividimos ambos lados entre menos 6.000 aquí tenemos que estos menos 6.000 se cancelan de tal manera que la ecuación ahora nos queda coseno de teta es igual a veamos aquí podemos dividir entre -100 el numerador y el denominador así es que estos signos menos se hacen más y nos quedaría coseno beteta es igual a 57 dividido entre 60 y todavía podemos simplificar más esto a ver si dividimos entre 3 57 entre 33 19 si esto sería igual jose no detecta es igual a 19 sobre 20 esta última simplificación quizá no era necesaria pues vamos a sacar la calculadora sin embargo un resultado simplificado es mucho más elegante y facilita las matemáticas y ahora podemos tomar coseno inverso a ambos lados para obtener que teta es igual a coseno inverso o el ángulo cuyo coste no es 19 sobre 20 el ángulo cuyo coste no es 19 sobre 20 para obtener este valor sacamos la calculadora entonces vamos a calcular el coste no inverso de 19 sobre 20 y 19 sobre 20 y esto es igual esto es igual a 18.19 4 y verificamos que nuestra calculadora esté en grados si efectivamente nuestro valor está bien merecemos un redoble de tambores de tal manera que el valor del ángulo theta el valor del ángulo theta es aproximadamente 18 punto 2 grados si lo aproximamos a décimas hemos obtenido así una buena estimación de qué tan inclinado está este lado de la colina