Problema desafiante de semejanza

aquí tenemos un problema bien interesante dado este diagrama de aquí debemos determinar la longitud dcf y al parecer este problema tiene que ver con triángulos semejantes porque parece que los triángulos a b y c efe son semejantes y asimismo parece que los triángulos de eb y cfb también son semejantes bueno entonces vamos a ver que en efecto esos triángulos que dije son semejantes y bueno una vez que tengamos eso podremos usar las razones de los triángulos para determinar la longitud dcf vale bueno vamos a empezar mostrando que el triángulo a b es semejante al triángulo c efe observa que tienen este ángulo recto en común aquí tenemos este ángulo recto y aquí también así que bastaría encontrar un ángulo más para concluir que son semejantes porque podríamos utilizar el criterio ángulo ángulo pero ve aquí en también tenemos este ángulo en común si entonces este ángulo en e pues es ángulo común para ave y para cf en uno es el ángulo b y en otro es el ángulo fs y entonces ya concluimos que ave es semejante a cf porque tienen dos ángulos correspondientes que son congruentes vale entonces déjame apuntar esto por acá arriba tenemos que el triángulo y es semejante al triángulo hay que ser cuidadosos verdad vamos de aquí al ángulo recto y luego al ángulo azul entonces vamos de aquí al alce al ángulo recto efe y finalmente el ángulo azul muy bien entonces ahí tenemos estos dos triángulos semejantes vamos a ver ahora que este pequeño triángulo el cfv es semejante al triángulo d b es decir este triángulo pequeño de acá déjame lo marcó un poco más claro este de acá es semejante al grande vale y cómo le hacemos pues misma idea este ángulo de aquí a recto ahora este ángulo de acá es recto verdad de este lado porque es rector del de la derecha entonces una vez más tenemos que los ángulos rectos pues son iguales y además ahora comparten este ángulo de acá el ángulo en b vale entonces los triángulos cfb i d y b también son semejantes déjame apuntarlo por entonces el triángulo el triángulo de v d b es semejante al triángulo cfb al triángulo c efe ve muy bien entonces ya que tenemos estas semejanzas podemos utilizarlas para ver que los lados correspondientes tienen la misma proporción y vamos a utilizar eso para resolver el problema pero al parecer tenemos muy poca información no más tenemos que este mide 9 y este mide 12 y eso justo es lo que hace que este problema sea tan desafiante pero bueno no hay que rendirnos y para eso lo que vamos a hacer es poner un nombre a algunas de las longitudes que nos interesan entonces déjame poner que el lado b me deje vamos a ponerle esa medida y a lo mejor con un poco de suerte podremos terminar el problema utilizando eso vale entonces aquí déjame ponerle ya y además parece ser que sería bueno tener esta longitud de vf entonces a esa déjame ponerle x entonces aquí le voy a poner que esto me dé esto mide x también va a ser útil tener efe le podríamos poner una tercera letra como z pero como todo esto ya me deje y esto mide x entonces podemos concluir que f efe mide y de menos x vale porque las dos tienen que sumar que bueno entonces ahí tenemos x y yemen os x y ahora con estas variables y estos números vamos a ver qué nos dicen las semejanzas vamos a empezar poniendo pues hace efe en algún lado vale porque es importante que se f aparezca entonces vamos a hacer cf vamos a utilizar esta semejanza vale entonces vamos a poner a cf / ave entre vea que son los lados correspondientes de esta semejanza entonces tenemos que cf cf / ave entre ave que es 9 que es 9 es igual a gm x lo voy a poner en color verde gm x dividido entre el lado correspondiente que tendría que ser este de acá el b y el bm vale entonces sería menos x entre ella y eso sale a partir de la semejanza de este triángulo vamos a ver si podemos obtener algo similar con la semejanza de acá entonces una vez voy a utilizarse una vez más voy a utilizarse efe que es lo que nos interesa entonces voy a poner voy a poner efe efe / ahora el lado correspondiente es de que mide 12 12 esto de aquí es igual a y entonces ahora como está ahora tenemos a x verdad ahora este es el lado de este triángulo pequeño entonces sería igual a x entre y una vez más el lado grande mide a x entre y bueno aquí parece que las cosas están complicando porque tenemos dos ecuaciones y tenemos tres variables cf y equis entonces parece ser que pues puede que no lo podamos resolver pero no hay que preocuparnos vamos a seguir desarrollando algebraica mente aquí a ver si sucede algo interesante va entonces déjame poner que cf cf entre 9 es igual a y lo que voy a hacer aquí es separar la fracción y / y es igual a 1 entonces es igual a 1 - menos x entre y menos x x / g / g y eso está muy padre porque aquí tenemos el valor de x / y entonces déjame seguir la igualdad de este lado entonces esto es igual a 1 menos cf entre 12 c entre 12 y observa que tenemos una igualdad entre el primer término y el último de esta forma efe entre 9 es igual a 1 menos cf entre 12 y esto ya suena muy bien porque es una ecuación en una variable y justo es la variable que nos interesa entonces vamos a seguir lo que vamos a hacer es sumar cf entre 12 de ambos lados entonces nos quedaría que s efe entre 9 más cf entre entre 12 es igual a 1 es igual a 1 y ya casi terminamos verdad ya nada más tenemos que sumar esta fracción y despejarse efe entonces un buen denominador común sería me parece que 36 entonces vamos a ponerlo por acá vamos a poner el denominador común 36 eso de ahí va a ser igual a 1 y haber 9 por cuántos 36 pues nueve por cuatro entonces aquí tendríamos cuatro veces cf y luego pues doce por cuántos 36 pues por por tres verdad 12 por 336 aquí hay que sumar tres veces cf y entonces que obtenemos a partir de esto cuatro cf3 cf6 siete cf entonces siete cf entre 36 entre 36 es igual a 1 es igual a 1 y ya está verdad ya nada más hay que multiplicar por el recíproco de 736 ambos de los dos lados entonces multiplicamos por 36 entre 7 por 36 entre 7 esto se cancela es el chiste y tenemos que cf cf es igual a 36 sobre 7 36 sobre 7 vale entonces con esto con esto terminamos el problema y en realidad es este problema está bien padre porque nos dice algo muy interesante imagínate que a b y d son postes o paredes o no sé qué es lo que sea que son ha sido unas cosas verticales y que amarramos un hilo de aaee y otro hilo de de ave vale o sea desde arriba de un poste hasta abajo del otro y desde arriba de un poste hasta abajo del otro entonces este problema lo que nos dice es que no importa qué tan lejos estén los postes verdad porque aquí tenemos una longitud que nunca utilizamos no importa qué tan lejos sean que estén entonces la altura del punto en el cual se cruzan las cuerdas siempre va a ser igual a 36 séptimos eso a mí me parece súper interesante espero que a ti también y espero que te haya gustado este problema de semejanza