Rotar figuras: centro ≠ (0,0)

el triángulo s m este es el triángulo s m se rota 270 grados alrededor del punto 4 - 2 este es el punto 4 menos 2 y dice traza la imagen de esta rotación utilizando la gráfica interactiva vamos a utilizar esta herramienta es una gráfica interactiva en la que podemos colocar puntos donde queramos por ejemplo aquí y si no lo quiero lo puedo quitar arrastrándolo al bote de basura y dice ahora la dirección de una rotación con ángulo positivo es en el sentido contrario a las manecillas del reloj entonces vamos a rotar 270 grados en el sentido contrario a las manecillas del reloj y para pensar en ello lo que hice fue copiar y pegar esta imagen del ejercicio en esta herramienta de dibujo aquí ya podemos dibujar ahora en el vídeo pasado ya había hablado sobre una rotación alrededor del origen en la que rotamos menos 270 grados alrededor del origen pero si estamos hablando de una rotación de 270 grados podemos pensar en que si tenemos aquí un punto si imaginas que tenemos ahí un punto esto sería rotar 90 grados esto sería rotar 180 grados y esto sería rotar 270 grados esta es una rotación de 270 grados y es en sentido contrario a las manecillas del reloj y ves que eso es equivalente a una rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj o lo que es lo mismo una rotación de menos 90 grados es más fácil pensar en una rotación de 90 grados entonces en lugar de pensar en una rotación en términos de 270 grados en la dirección positiva es decir en la que va en sentido contrario a las manecillas del reloj pensemos en una rotación de 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj es equivalente pero como hacemos eso bueno como lo he hecho ya en vídeos previos lo que haré es tomar cada punto de este triángulo voy a iniciar en este caso con el punto m y voy a construir un triángulo rectángulo entre el punto m y nuestro centro de rotación entonces la hipotenusa de nuestro triángulo rectángulo será precisamente el segmento que conecta al punto y el centro de rotación entonces aquí voy a construir la hipotenusa del triángulo rectángulo y aquí está un lado acá está el otro lado ahí ya tenemos nuestro triángulo rectángulo entonces ya que tenemos nuestro triángulo rectángulo ahora imagina rotar este triángulo rectángulo en un ángulo de menos 90 grados es decir en el sentido que giran las manecillas del reloj qué va a pasar con cada uno de los lados de este triángulo rectángulo una vez que los rotamos menos 90 grados primero veamos qué pasará con este lado entonces si yo roto este lado en un ángulo de menos 90 grados su posición quedará hacia arriba y cuántas unidades de largo tendrá bueno vamos a contar tiene 1 2 3 4 5 6 7 así que 7 1 2 3 4 5 6 y 7 entonces su posición quedará justo así es el lado al rotar lo menos 90 grados quedará así ahora veamos este otro lado del triángulo rectángulo que construye este que voy a colorear en color verde en este lado mide cuatro unidades de largo y aquí se forma un ángulo recto ahora si rotamos todo el triángulo 90 grados en el sentido que giran las manecillas del reloj entonces este lado irá 4 unidades en esta dirección ajá y entonces la imagen del triángulo rectángulo que construir el cual rotem en los 90 grados se mirará así aquí está la hipotenusa de ese triángulo entonces ahí ya quedó el triángulo pero qué fue lo que hice lo que hice fue tomar este triángulo tomé este triángulo rectángulo que construir y lo rote menos 90 grados para obtener este triángulo para obtener este triángulo de aquí y entonces tenemos que el punto m su imagen del punto m después de la rotación de menos 90 grados quedará justo aquí este punto que llamaré m prima entonces ahora falta hacer lo mismo pero para el punto a y para el punto s así que lo haré para el punto ai para el punto s después voy a conectar los puntos s prima a prima y m prima para obtener la imagen del triángulo s a m después de la rotación hagamos lo mismo para el punto a entonces voy a construir un triángulo rectángulo desde el punto a hasta el punto de rotación y bueno aquí sabemos que aquí irá la hipotenusa y puedo construir el triángulo rectángulo de dos maneras podría construirlo así y después de bajar pero lo haré de esta otra forma bajaré aquí y después el siguiente lado del triángulo rectángulo sería de aquí para acá al centro de rotación ahí tenemos ya un triángulo rectángulo y este lado si lo rotamos menos 90 grados en lugar de estar en posición horizontal estará vertical y va a estar sobre este lado que ya habíamos dibujado ahora cuántas unidades de largo bueno pues podemos podemos contar entonces estaría estaría 1 2 3 4 5 6 7 8 9 unidades de largo así que aquí empezamos en igual a menos 2 y agregamos 9 va a llegar hasta igual a 7 tenemos que agregar 22 de igual a 7 hasta aquí muy bien ahora vamos con el siguiente lado vamos con este lado que voy a colorear con verde aquí se forma un ángulo recto aquí se forma un ángulo recto entonces acá también se va a formar un ángulo recto notemos ese lado menos 90 grados y cuántas unidades de largo bueno pues hay que contar entonces este tiene 1 2 3 4 5 unidades de largo entonces va una dos tres cuatro cinco unidades de largo hasta aquí llega después de la rotación y justo ahí está el punto a prima aquí está el punto a prima después derrotarlo aquí queda el punto a prima entonces pongo a prima y ahora ya podemos completar este triángulo colocando aquí esto es la hipotenusa del triángulo que construimos y así se mirará el triángulo después de haberlo rotado menos 90 grados así que después de la rotación ya sabemos dónde está la imagen del punto m y también sabemos dónde está la imagen del punto a después de la rotación y se ve claramente cómo estos triángulos que hemos construido los rotamos 90 grados en dirección que giran las manecillas del reloj ahora sólo nos falta hacer esto para el punto s y ya tendríamos así los tres puntos para la imagen del triángulo rotado así que hagamos eso para ese entonces desde ese voy a construir la hipotenusa que va hasta el centro de rotación este sería otro lado del triángulo y este otro lado ahora desde este lado si yo lo roto menos 90 grados este lado que voy a colocar en color naranja al rotar lo menos 90 grados es decir 90 grados en el sentido que giran las manecillas del reloj esta horizontal entonces va a quedar totalmente vertical ajá y mide va desde menos 3 a 4 así que mide 7 unidades de largo entonces va a quedar 7 unidades de largo pero en posición vertical hasta aquí así que va a quedar así ahora vamos con este otro lado del triángulo rectángulo que construimos este lado que voy a colorear con azul ahora aquí se forma un ángulo recto como puedes ver aquí tenemos un ángulo recto ese ángulo recto yo al rotar este lado ese ángulo recto se mantiene y como aquí baja tres unidades entonces al rotarlo va a estar tres unidades pero a la izquierda entonces aquí tenemos un ángulo recto aquí tenemos al punto s prima que es la imagen del punto s y aquí tenemos ya entonces la hipotenusa de este nuevo triángulo que es la imagen del triángulo anterior ahora todo esto puede parecer algo muy complejo pero solo observa que rotamos todo menos 90 grados entonces este triángulo que construye este triángulo se mapea a este otro así que este triángulo que yo construí simplemente al rotar lo menos 90 grados se mapea a este triángulo después de la rotación de menos 90 grados pero ahora ya tenemos en nuestra imagen a los puntos s prima a prima y m prime entonces podemos conectarlos entonces los voy a conectar s prima a prima los conecto a prima m prima y m prima s prima y tal vez después de todo esto parezca algo complejo lo que hicimos y no veas dónde está el triángulo original que teníamos al inicio era éste éste era el triángulo original que teníamos al inicio pero observa que lo que hice simplemente fue rotar todo menos 90 grados o lo que es lo mismo 270 grados entonces hacemos la rotación del triángulo sm para mapear lo en este nuevo triángulo y así tenemos que la imagen del triángulo s m es justo este triángulo de aquí el triángulo s prima a prima y m prima ahora que ya tenemos esto sólo nos falta ingresar los datos al ejercicio entonces veamos las coordenadas de los puntos s prima a prima y m prima entonces 8,5 es la coordenada del punto m prima esta sería la imagen del punto m m prima aquí está ahora el punto a está en 97 entonces colocó un punto en 97 97 aquí 97 ahora nos falta el punto s prima s prima está en 15 entonces colocó un punto en 15 y conecto ahí está el triángulo y listo rotamos en un ángulo de 270 grados o lo que es equivalente un ángulo de menos 90 grados