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Demostración: las alturas de un triángulo son concurrentes (ortocentro)

Transcripción del video

en este vídeo vamos a mostrar que si tomamos un triángulo cualquiera estoy aquí va a ser un triángulo arbitrario el que nosotros querramos entonces siempre podemos pensar a este triángulo como el triángulo medial de otro triángulo es decir podemos construir otro triángulo de tal forma que los puntos medios de sus lados sean estos tres vértices bueno para hacer esto vamos a empezar trazando una paralela a este segmento que pase por este vértice de acá más o menos no nos va a quedar algo de este estilo y eso siempre podemos hacerlo siempre podemos trazar la paralela a un segmento que pase por un punto dado bueno tan solo al trazar está paralela vemos que empiezan a suceder cosas interesantes con los ángulos por ejemplo este ángulo de acá y este ángulo de acá son alternos internos con estas paralelas y está transversal entonces deben de ser ángulos iguales y de manera similar este ángulo que voy a marcar con dos marquitas en color naranja es alterno interno con este de acá en esta transversal y estas dos paralelas de esta forma estos dos son ángulos iguales vale bueno déjame déjame nada más marcar aquí que estas son paralelas para que no se nos olvide y ahora lo que vamos a hacer es repetir la construcción de los otros dos lados entonces ahora déjame trazar déjame trazar una recta paralela a este segmento que pase por este punto de acá entonces más o menos nos va a quedar algo de este estilo más o menos algo así vale de tal forma que esa sea paralela a este segmento de aquí lo voy a indicar con dos flechitas con dos fechas y otra vez vamos a empezar a pasar ángulos entonces observa este ángulo naranja ahora es ángulo correspondiente de este ángulo de acá con esta transversal transversal de las paralelas azules de manera similar tenemos que este ángulo este ángulo es alterno interno con este de acá con las paralelas azules y esta transversal rosa bueno y además este ángulo que no he marcado que lo voy a poner tres marquitas en rosa es alterno interno con este de acá y por lo tanto son iguales es alterno interno considerando considerando las paralelas azules y esta transversal que ahorita está blanca bueno déjame terminar la construcción para el tercer lado entonces ahora vamos a tomarnos una paralela a este segmento que pase por este vértice de acá más o menos algo algo de este estilo vale y otra vez vamos a empezar a pasar ángulos esta de acá es paralela a esta de acá para estar acá de esta forma tenemos que este ángulo rosa este ángulo rosa es alterno interno considerando esta transversal y estas paralelas naranjas entonces sería igual a este ángulo de acá luego tenemos que este ángulo rosa es correspondiente con este ángulo rosa considerando la paralela azul las paralelas azules y la transversal naranja y finalmente déjame pasar déjame pasar el ángulo azul a algunos lados entonces este ángulo azul es alterno interno con este de acá considerando las paralelas azules y letras rosa y finalmente uff esto es muy cansado este ángulo es ángulo correspondiente de este de acá de este de acá considerando las paralelas rosas y la transversal naranja muy bien ya acabamos de pasar ángulos pero ahora vemos que sucede algo bien interesante al hacer esta construcción automáticamente nos construimos cuatro triángulos que tienen sus tres ángulos iguales entonces todos esos triángulos son semejantes entre sí eso es algo muy interesante y de hecho vamos a probar que no sólo son semejantes sino que además son triángulos congruentes por ejemplo déjame tomar el color naranja y ver este este triángulo de aquí con este triángulo de acá observemos que tienen el ángulo azul este lado naranja que comparten y el ángulo rosa ángulo azul lado naranja y ángulo rosa entonces por el criterio ángulo ángulo estos dos triángulos de aquí son congruentes bueno ahora vamos con estos dos de acá vamos a marcar con con dos rayitas así a esta longitud a la longitud del lado azul y veamos que también tienen ángulo rosa lado azul ángulo naranja en común aquí también es ángulo rosa lado azul ángulo naranja y por lo tanto estos dos triángulos son congruentes y finalmente podemos repetir el argumento aquí abajo es básicamente lo mismo es la misma idea otra vez tenemos ángulo azul lado rosa ángulo naranja ángulo azul lado rosa ángulo naranja así que de nuevo por el criterio ángulo lado ángulo estos dos de aquí estos dos de aquí son triángulos congruentes entonces todos los triángulos son congruentes al central y por lo tanto todos son congruentes entre sí pero eso nos permite pasar un montón de longitudes por ejemplo tenemos esta que marque así con tres rayitas pero esta es correspondiente con esta de acá en estos dos triángulos congruentes y por lo tanto estas dos longitudes son iguales de manera similar estos dos triángulos son congruentes y por lo tanto este segmento es congruente con este y este también mide tres rayitas así que ya empiezan a suceder cosas más interesantes todavía este punto que todavía no había nombrado digamos y resulta ser el punto medio de este segmento que se forma por estos vértices no sé déjame llamarles y f para entonces ya nos conseguimos que a fuera a punto medio d efe bueno de manera similar este punto ve este punto b va a ser el punto medio de que digamos efe de df de cómo le hacemos para ver eso pues esta longitud es congruente a esta longitud porque son longitudes correspondientes en estos triángulos congruentes esta miden dos rayitas de manera similar ésta mide dos rayitas por la convivencia de estos dos y así ve es el punto medio de fd y finalmente a este punto de acá que le voy a llamarse también lo vamos a poder pensar como un punto medio aquí hay que pasar las longitudes naranjas esta es correspondiente con esta en los triángulos congruentes y ésta es como un respondiente con esta de acá en los triángulos congruentes de modo que es de c es igual a c y así se es punto medio de d muy bien entonces esto prueba la afirmación que dije al inicio la afirmación que yo dije es que siempre que tenemos un triángulo dado un triángulo dado un triángulo abc siempre podemos encontrar otro triángulo lado abc podemos podemos encontrar encontrar digamos un triángulo d efe triángulo d efe de modo de modo que que el triángulo abc abc es triángulo medial medial medial de el triángulo de efe entonces esto está bien interesante por sí mismo pero a lo mejor tú tienes ganas de saber más y de decir bueno esto está padrísimo y luego que bueno luego viene algo todavía más padre ahí te va la siguiente idea ahora imaginemos que tomamos las alturas del triángulo a b c vale entonces vamos a tomarnos vamos a tomarnos esta altura de acá aquí llega a un ángulo ángulo recto más o menos algo de este estilo vamos a tomarnos esta de acá y vamos a tomarnos de esta de acá bueno si te das cuenta ahorita las dibuje y todas pasan por un mismo punto estas son alturas y dibujé las dibuja de tal forma que todas pasarán por un mismo punto pero eso es algo que todavía no hemos demostrado no sabemos si realmente las tres alturas pasan siempre por un mismo punto bueno pues vamos a utilizar este hecho que probamos al inicio del vídeo para mostrar que en efecto las alturas de un triángulo siempre pasan por un mismo punto o sea las tres pasan por un mismo punto vale bueno pues vamos a hacer lo siguiente lo que vamos a hacer es pensar en esta altura en la altura por a y cómo interactúa con el triángulo d efe observa que aquí tenemos un ángulo recto pero ya habíamos dicho que las dos rectas rosas serán paralelas entonces estoy aquí es un ángulo recto que es alterno interno con este de acá con este de acá y éste también está eternizando con este de acá de esta forma la altura del triángulo es perpendicular al lado efe pero y esto es la cosa que es muy importante no solo es perpendicular sino que además pasa por el punto medio de efe entonces esta altura es una media triz df eso está padrísimo porque de manera similar tenemos que esta altura tiene estos ángulos rectos entonces es es una línea perpendicular a de que pasa por su punto medio así que es la media actriz y finalmente tenemos que esta altura es perpendicular y pasa por el punto medio así que también es media triz así logramos convertir las alturas del triángulo abc en las media trizas del triángulo de ef y como en df sabemos que las media tristes concurren entonces las alturas de abc tienen que ocurrir vale entonces el argumento está padrísimo como ya hacemos para ver que las tres alturas de un triángulo cual cualquier triángulo concurre bueno pues simplemente trazamos estas paralelas construimos el triángulo de ef esas alturas se transforman en media atrices y ya sabemos que las media triz es de cualquier triángulo concurren