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Contenido principal
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El incentro y el círculo inscrito en un triángulo

Transcripción del video

tenemos aquí un triángulo a de c en el vídeo anterior ya empezamos a explorar algunas ideas de puntos que estaban sobre las bisectriz es de algunos ángulos lo que quiero hacer en este vídeo es ver qué sucede al aplicar esas ideas en el caso de un triángulo entonces déjame empezar visitando el ángulo b a c voy a trazar la bisectriz tiene que ser una recta que corte el ángulo justo a la mitad entonces va a quedar algo más o menos así vale entonces eso de ahí es una bisectriz entonces podemos decir que este ángulo de aquí es igual a este ángulo de acá y no sé a este punto en el cual corta a veces le vamos a llamar el punto de saleh entonces el ángulo b a d es igual al ángulo c a d ok ahora déjame dibujar la bisectriz del ángulo que está en b es decir el ángulo abs es a la voy a pintar con otro color digamos con color azul bueno con color verde mejor entonces voy a tomar ahora la bisectriz que sale desde v más o menos una recta silva a este punto en donde corta le voy a llamar el punto y como esto de aquí es una bisectriz entonces bishek está el ángulo y por lo tanto el ángulo ave y ave es congruente al ángulo cb y este de aquí es congruente a éste de acá muy bien ahora observemos que estas dos bisectriz es se cortan en un punto en el interior del triángulo entonces déjame marcar ese punto de ahí le voy a poner a este punto el nombre y y puede parecer un nombre muy loco o sea ponerle y es algo súper raro pero ahorita vamos a justificar por qué se llama vale por el momento vamos a ver algunas propiedades interesantes del punto i para empezar vamos a usar que está sobre la bisectriz del ángulo b hace por lo que vimos en el vídeo pasado eso quiere decir que y va a ser equidistante de los dos lados de los dos lados que definen este ángulo es decir iba a ser equidistante de ave y de ac así que déjame marcar esto de alguna forma entonces la distancia de y hace la distancia y aquí recuerda que para para marcar la distancia necesitamos bajar una perpendicular porque es la distancia más corta entonces esta distancia de acá va a ser igual a esta distancia de acá a esta distancia de acá vale entonces déjame ponerle algún nombre a este punto de aquí no sé vamos a llamarle quizás el punto f a donde en donde baja la perpendicular y a éste le vamos a llamar el punto g vale entonces aquí tenemos un punto que entonces tenemos que y es equidistante de ave y hace y por lo tanto f es igual a g lo voy a apuntar por aquí en algún lado tenemos que ir efe es igual a dije muy bien eso fue porque y estaba en esta bisectriz morada a la de v ac pero además y por cómo lo construimos está en la bisectriz del ángulo a bs entonces y también es equidistante de ave con bs ya tenemos la distancia de la ave que es esta de acá es ig ahora déjame marcar la distancia de y abc entonces ahora hay que bajar una perpendicular para acá una perpendicular para acá vale entonces tenemos que esta distancia es igual a ésta y también que esta distancia es igual a ésta vale como y esta en esta bisectriz también tenemos que y ge y ge es igual a le voy a llamar este punto h es igual a y h vale pero combinando estas dos igualdades concluimos o sea así efe es igual a y ge y ge es igual y h entonces podemos concluir que efe efe es igual a y h pero entonces sucede algo interesante tenemos que y es un punto que también equidista del lado b c y del lado hace porque aquí las distancias y h y de este lado la distancia es efe por lo tanto por el otro lado de la afirmación que vimos en el vídeo anterior obtenemos que y también está sobre la bisectriz del ángulo hace ve déjame escribir esto por acá tenemos que ir y la bisectriz en la bisectriz bisectriz actriz del ángulo de c dv le voy a poner a se ve entonces eso está muy interesante observa que y es un punto que lo tomamos en dos bisectriz es pero resulta que también está en la tercera déjame trazar esa tercer bisectriz digamos con color pues con este color naranja que estoy usando va que todavía no lo he puesto en la figura entonces tenemos tenemos que y también está en esa bisectriz y entonces eso es algo padre porque esto nos dice que las tres bisectriz es pasan por un mismo punto por este punto de aquí que es el punto y y eso es algo especial verdad o sea en general cuando tenemos tres rectas no tienen porqué interceptarse en un mismo punto si tenemos dos rectas pues sí o sea se intersectan en uno y sólo un punto pero que tres rectas pasen por un mismo punto es algo realmente especial de hecho eso es algo pues también especial que pasaba con las media tristes te acuerdas también habíamos visto que las tres media tristes pasaban por un único punto al cual le llamábamos el círculo centro era un punto especial y aquí también tenemos que y es un punto bien especial verdad es una intersección rectas entonces sería bueno ponerle un nombre pues resulta que ya tiene un nombre va a este punto y que es el punto de la intersección de las tres bises tristes se le conoce como el in centro de ave se lo voy a apuntar de este lado y se le conoce como el in centro el in centro de el triángulo abc y ahorita vamos a ver por qué se llama así de hecho en unos 15 segundos vamos a ver por qué se llama así entonces y ese link centro de abs antes cuando teníamos a o el circo un centro pues ese era el centro de una circunferencia que pasaba por ave hice una circunferencia circunscrita al triángulo pero ahora éste se va a llamar un centro porque va a ser el centro de una circunferencia inscrita o sea una circunferencia que está por dentro del triángulo abc y de hecho va a ser una circunferencia que están gente a los tres lados del triángulo bueno y como ya hacemos entonces para construir esta circunferencia bueno pues ya mostramos que dije que es igual a h que es igual a efe entonces cómo estás estas tres longitudes son iguales digamos a una cierta longitud r tenemos que al trazar una circunferencia con centro y radio r es la circunferencia va a pasar por estos tres vértices pero estos tres puntos son los más cercanos en cada uno de los lados hay esa circunferencia justo va a ser tangente a cada uno de los lados déjame ver si puedo dibujarla decentemente con la herramienta de circunferencias entonces voy a agarrar pues el color blanco está bien entonces vamos a ver qué pasa entonces quedaría algo más o menos así vale para entonces quedó decente aquí debe ser tangente en el punto f de este lado debe ser tangente en el punto g y aquí están gente en el punto h bueno pues a esta circunferencia que está inscrita a b y c se le conoce de dos formas déjalo a punto por aquí lo voy a poner en otro color con este color azul que está bonito entonces aquí está el centro a la circunferencia a la circunferencia que tiene el centro y que tiene esto como radio esta distancia como radio se le conoce como la como la circunferencia inscrita déjame ponerlo así circunferencia circunferencia inscrita inscrita o bien también se le conoce como el círculo en sí un círculo círculo de abs un triángulo a bs entonces podrías encontrarte de estos dos nombres en la literatura sale y a este radio el radio que tiene la circunferencia inscrita a r se le conoce como el radio el radio y la radio del triángulo a veces muy bien entonces antes teníamos una circunferencia circunscrita con un circo un centro y un círculo radio pero ahora donde se intersectan las bisectriz es es un un centro y a partir de ese centro y elin radio que es la distancia de los lados podemos construir la circunferencia inscrita o bien un círculo