If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:7:58

El incentro y el círculo inscrito en un triángulo

Transcripción del video

tenemos aquí un triángulo a b c en el video anterior ya empezamos a explorar algunas ideas de puntos que estaban sobre las directrices de algunos ángulos lo que quiero hacer en este vídeo es ver qué sucede al aplicar esas ideas en el caso de un triángulo entonces déjame empezar visitando el ángulo b a c trazar la bisectriz tiene que ser una recta que corte el ángulo justo a la mitad entonces va a quedar algo más o menos así vale entonces eso de ahí es una bisectriz entonces podemos decir que este ángulo de aquí es igual a este ángulo de acá y no sea este punto en el cual corta abc le vamos a llamar el punto de saleh entonces el ángulo ve a de es igual al ángulo se ha de ok ahora déjame dibujar la directriz del ángulo que está en b es decir del ángulo abc es a la voy a pintar con otro color digamos con color azul con color verde mejor entonces voy a tomar ahora la bisectriz que sale desde ve más o menos una recta si para a este punto en donde corta le voy a llamar el punto e y como esto de aquí es una bisectriz entonces vi secta el ángulo y por lo tanto el ángulo a de ave es congruente al ángulo se ve este de aquí es congruente a éste de acá muy bien ahora observamos que estas dos directrices se cortan en un punto en el interior del triángulo entonces déjame marcar ese punto de ahí me voy a poner a este punto el nombre y y puede parecer un nombre muy loco o sea ponerle y es algo súper raro pero ahorita vamos a justificar por qué se llama y vale por el momento vamos a ver algunas propiedades interesantes del punto y para empezar vamos a usar que iu está sobre la bisectriz del ángulo b a c por lo que vimos el video pasado eso quiere decir que iu va a ser equidistante de los dos lados de los dos lados que definen este ángulo es decir iba a ser equidistante de ave y de hace así que déjame marcar esto de alguna forma entonces la distancia de iu a hace la distancia y aquí recuerda que para para carla distancia necesitamos bajar una perpendicular porque es la distancia más corta entonces esta distancia de acá va a ser igual a esta distancia de acá a esta distancia de acá vale entonces déjame ponerle algún nombre a este punto de aquí no sé vamos a llamarle quizás el punto f en donde baja la perpendicular y a éste le vamos a llamar el punto g al entonces aquí tenemos un punto g entonces tenemos que y es equidistante de ave y hace y por lo tanto y f es igual a dije no voy a apuntar por aquí en algún lado tenemos que y f f es igual a ig muy bien eso fue porque y estaba en esta directriz morada la debe hace pero además y por cómo lo construimos está en la bisectriz del ángulo a bs entonces y también es equidistante de ave con bc ya tenemos la distancia de ia ave que es ésta de acá es y g ahora déjame marcar la distancia de y abc entonces ahora hay que bajar una perpendicular para acá una perpendicular para acá vale entonces tenemos que esta distancia es igual a ésta y también que esta distancia es igual a ésta vale como y está en esta directriz también tenemos que dije y g es igual a lo voy a llamar este punto h es igual a y h vale pero combinando estas dos igualdades concluimos óseas y jeff es igual a y ge y ge es igual a y h entonces podemos concluir que f&f es igual a y h pero entonces sucede algo interesante tenemos que es un punto que también equidista de lado b c y d lado hace porque aquí las distancias y h y de este lado la distancia es y efe por lo tanto por el otro lado de la afirmación que vimos en el vídeo anterior obtenemos que y también está sobre la bisectriz del ángulo hace b deja de escribir esto por acá tenemos que y en la bisectriz en la bisectriz vice actriz directriz del ángulo bs ajo acb me voy a poner a c b entonces eso está muy interesante observa que es un punto que lo tomamos en dos directrices pero resulta que también está en la tercera déjame trazar esa tercer sector y sigamos con color pues con este color naranja que estoy usando va y si todavía no lo ha puesto en la figura entonces tenemos tenemos que itamar bien está en esa bisectriz y entonces eso es algo padre porque esto nos dice que las tres directrices pasan por un mismo punto por este punto de aquí que es el punto y y eso es algo especial es verdad o sea en general cuando tenemos tres rectas no tienen porqué interceptarse en un mismo punto si tenemos dos rectas pues sí o sea se interceptan en uno y sólo un punto pero que tres rectas pasan por un mismo punto es algo realmente especial de hecho eso es algo que también especial que pasaba con las media tristes te acuerdas también habíamos visto que las 3 media tristes pasarán por un único punto al cual le llamábamos el circo un centro era un punto especial y aquí también tenemos que es un punto bien especial verdad es una intersección de tres rectas entonces sería bueno ponerle un nombre pues resulta que ya tiene un nombre va a este punto y que es el punto de la intersección de las tres vicepresidentes se le conoce como el incendio de abc no voy a apuntar de este lado y se le conoce como el incendio oro el incendio oro de el triángulo abc y ahorita vamos a ver por qué se llama así y de hecho en unos 15 segundos vamos a ver por qué se llama así entonces y es el incentivo de abc antes cuando teníamos a o el circo un centro pues ese era el centro de una circunferencia que pasaba por a b y c una circunferencia circunscrita al triángulo pero ahora éste se va a llamar in centro porque va a ser el centro de una circunferencia inscrita o sea una circunferencia que está por dentro del triángulo abc y de hecho va a ser una circunferencia que están gente a los tres lados del triángulo bueno y como ya hacemos entonces para construir esa circunstancia bueno pues ya mostramos que dije es igual a y h que es igual a y f entonces cómo estás estas tres longitudes son iguales y vamos a una cierta longitud r tenemos que al trazar una circunferencia concentró y y radio r esa circunstancia dado pasar por estos tres vértices pero como estos tres puntos son los más cercanos en cada uno de los lados ahí esa circunstancia justo va a ser tan gente a cada uno de los lados déjame ver si puedo dibujar la decentemente con la herramienta de de circunferencias entonces voy a agarrar pues el color blanco está bien entonces vamos a ver qué pasa entonces quedaría algo más o menos así le va entonces quedó decente aquí debe ser tan gente en el punto f de este lado debe ser tan gente en el punto g y aquí están gente en el punto h bueno pues a esta circunstancia que está inscrita a b y c se le conoce de dos formas de halo apuntó por aquí lo voy a poner en otro color con este color azul que está bonito entonces aquí está el centro a la circunferencia a la circunferencia que tiene el centro y y que tiene esto como radio esta distancia como radio se le conoce como la como la circunferencia inscrita ponerlo así circunferencia circunferencia inscrita inscrita o bien también se le conoce como el incyl culo insee in circuló y circuló de abc el triángulo a bs entonces podrías encontrarte de estos dos nombres en la literatura sale y a este radio el radio que tiene la circunferencia inscrita a rr se le conoce como el inra dio en radio radio de el triángulo a bs muy bien entonces antes teníamos una circunferencia circunscrita con un circo un centro y un circo en radio pero ahora donde se interceptan las directrices es un incentivo y y a partir de él sin centro y en radio que es la distancia a los lados podemos construir la circunferencia inscrita o bien en círculo