Inradio, perímetro y área

tenemos este problema de aquí dado un triángulo abc de perímetro p en radio r hay que determinar el área del triángulo abc así se pone entre corchetes en términos del perímetro y del radio bueno aquí tenemos el triángulo abs el perímetro p lo conocemos muy bien es básicamente lo que está alrededor del triángulo o cuando tendríamos que utilizar de cerca para rodear este triángulo vale lo que hay que acordarnos un poco más de qué se trata es este y radio r y bueno este en radio sale justamente de trazar las bisectriz es del triángulo abc así que déjame empezar trazando eso voy a dibujar la bisectriz del ángulo en a va a quedar más o menos como por acá entonces sabemos que este ángulo es igual este ángulo de aquí luego voy a trazar la del ángulo b que la voy a hacer en color rosa entonces esta nos queda más o menos algo así vale misma idea este ángulo de acá es igual a este ángulo de acá y finalmente voy a trazar la del ángulo c y como ya probamos en vídeos anteriores esas bisectriz es se intersectan en un único punto y ese punto es al que llamamos el centro el centro ahora este centro cumple ser equidistante de los tres lados de ave bc y sea eso básicamente quiere decir que si bajamos perpendiculares de iu a se ha de ir a sea de a a b de ave más o menos algo así y son perpendiculares perpendiculares y de iu a b c d y abc entonces tenemos que esas tres distancias esta esta y estas son iguales esta es igual a esta que es igual a esta bueno y luego decíamos que iba había una circunferencia que pasaba por este punto este punto y este punto y que era tangente a los tres lados del triángulo ahorita no necesitamos dibujarla pero podría ser un intento para que el dibujo quede un poco más completo para ver más o menos algo así algo así bueno más o menos es la idea en fin ahorita no la necesitamos tanto vale lo que sí necesitamos es de alguna forma pues meter el in radio para determinar el área y una buena pista es que cada uno de estos sin radios bueno cada uno de estos segmentos es perpendicular al lado correspondiente entonces podemos pensar cada uno de estos sin radios como las alturas de diversos triángulos del s del c y b y del b y a entonces vamos a dividir a dividir el área del triángulo en el área de esos tres triángulos vamos a utilizar el radio como altura y con un poco de suerte va a aparecer el perímetro por ahí vale bueno déjame borrar el incyl culo para tener más espacio para trabajar entonces lo que vamos a hacer es justo eso vamos a dividir el área del triángulo no quiero un círculo más bien quiero el área del triángulo a bs a veces en el área de tres triángulos el a y sé que voy a pintar de color rosa ahorita lo pinto a hice entonces es esta región de acá esta región de acá vale más el área del triángulo se ve que voy a pintar en rosa claro es como rosa pastel entonces voy a sumar ya se me antojó un pastel pero bueno se ve el área del triángulo ceiba y finalmente le voy a sumar el área del triángulo b y a esta área de acá vale lo voy a sumar el área del triángulo b y a muy bien y entonces como te decía en cada uno de estos triángulos tenemos que elin radio es una altura entonces podemos poner que el área del triángulo abc abc es igual al área del a y c que sería un medio un medio de la base que es hace hace por la altura que celine radio por la altura y luego tenemos que sumar el área de ceiba qué es un medio un medio de la base que se ve por la altura que otra vez ese link radio y luego vamos a sumar vamos a sumar el área debe a que es vea bueno vamos a ponerle un medio de be a bueno x vea x elin radio que es la altura es esta altura de acá vale y observemos que aquí tenemos un medio del radio en cada una de las expresiones entonces vamos a factorizar lo factor izando lo tenemos que el área de abc es igual a un medio un medio de link radio x x ac hace más se ve más se ve más vea más vea y al parecer ya terminamos porque observa tenemos un medio del radio x hace más se ve más vea pero hace más se ve más vea es precisamente el perímetro del triángulo a bs y de esta forma tenemos que el área d ángulo abc es igual a un medio voy a poner el igual más bonito es igual a un medio del radio multiplicado por el perímetro y listo con esto respondemos la pregunta el área del triángulo abc es la mitad del producto del radio del radio del círculo con el perímetro y puede ser que algunas veces te encuentres esta fórmula descrita un poco diferente algunas personas les gusta ponerlo como el radio multiplicado por el perímetro entre 2 y a este perímetro entre 2 se le conoce como el semi perímetro le voy a poner aquí semi perímetro cm y perímetro y algunas personas les gusta denotar es mi perímetro por s de esta forma puede ser que también te encuentres esta fórmula como el radio por el semi perímetro vale donde esté mi perímetro justo es el perímetro entre dos a mí personalmente me gusta un poco más esta fórmula porque pues tiene el perímetro y no esta cosa rara que es el semi perímetro pero bueno cualquiera de estas dos fórmulas puede resultarte útil vale va ahora nada más para terminar déjame darte un ejemplo porque ver esta fórmula está bien padre dado dado el área de un triángulo y digamos sus lados te permite calcular el radio y viceversa si tuviéramos el link radio de un triángulo y los lados entonces conocemos el perímetro y por lo tanto podríamos conocer su área pero déjame darte un ejemplo de de cómo podemos utilizar eso vamos a ponerle aquí ejemplo ejemplo y vamos a tomarnos el triángulo rectángulo quizás el más famoso que existe que es el de la 2 3 4 y 5 vale entonces ahí está el triángulo el rectángulo de la 2 3 4 y 5 imagínate que nos piden determinar el radio bueno pues observa conocemos el área de este triángulo el área de este triángulo porque como es un triángulo rectángulo su área área es simplemente un medio de la base que es cuatro por la altura un medio de cuatro es dos por 13-6 entonces el área es igual a seis y de manera similar también conocemos su perímetro su perímetro de 54 que es 9 más 3 que es 12 entonces el perímetro que voy a pintar con este otro color y el perímetro es igual a 12 entonces p es igual a 12 entonces vamos a aplicar esta fórmula de acá vale tenemos que el área el área a área es igual a un medio por el perímetro un medio por el perímetro bueno por el radio vamos a poner primero luego por el perímetro déjame usar el color de perímetro por el perímetro ahí está y entonces sustituyendo ya voy a usar nada más el color rosa tenemos que 66 es igual a 12 que es el perímetro entre 2 es igual a 6 r y por lo tanto el radio es igual a 1 y este es un resultado bien bonito lo que nos dice es que si tenemos aquí el triángulo 345 y trazamos el in círculo estamos el in círculo más o menos algo así un poco más hacia acá entonces ese que no quiere quedar ahí está entonces es un círculo tiene radio 1 y ese me parece un resultado bastante padre vale bueno entonces aquí está una aplicación esta es la fórmula que tenemos espero que te haya gustado este vídeo