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Contenido principal
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Distancia entre un punto y una recta

Transcripción del video

en este vídeo vamos a platicar acerca de puntos sobre directrices pero antes de eso quiero asegurarme que entendamos a qué me refiero cuando habló acerca de la distancia de un punto a una recta entonces déjame poner por ahí un punto y por acá vamos a poner la recta definida por los puntos b y c bueno si tuviera cualquier otro punto de entonces es muy fácil hablar de la distancia de aa de simplemente es la longitud del segmento que los une pero sí tenemos aquí toda una recta dc hay varios segmentos hay varios segmentos que unen a con la recta por ejemplo esté acá oeste de acá o esté acá y todos esos tienen longitudes diferentes entonces ya tenemos todo tenemos que ser todavía más específicos para definir la distancia de aa la recta y justo lo que vamos a hacer es tomarnos la distancia al punto más cercano a a que esté en la recta abc y ese punto se construye trazando la perpendicular de a abc vale entonces es un punto de por aquí punto de por aquí tal que los ángulos a de c&a debe son de 90 grados y para pensar un poquito en en porque este punto es el que hace la distancia más corta lo que podemos hacer es tratar cualquier otro punto e donde sea puede ser para allá o para allá podemos poner a é y trazar a e con eso se forma un triángulo rectángulo ate donde a es la hipotenusa y por lo tanto es el lado más largo en particular le gana a de y bueno para pensar esto de que la hipotenusa le gana a cualquiera de los lados para justificar lo podemos hacer el usar el teorema de pitágoras porque hay al cuadrado esade al cuadrado más de al cuadrado y entonces a él le gana a de vale bueno espero que eso justifique un poco porque la distancia más corta se obtiene bajando una perpendicular bueno entonces la distancia de un punto a una recta ahora vamos a platicar un poco acerca de directrices de un ángulo entonces déjame trazar por aquí una un ángulo vamos a pensar que éste se llama a se llama be y esto se llama hace entonces el ángulo abc y vamos a trazar la directriz la bisectriz es una recta o segmento o rayo lo puedes pensar como sea que corta este ángulo a la mitad es decir es un rayo si quieres que diseca el ángulo es es un rayo tal que si aquí ponemos un punto de entonces tenemos que el ángulo ave de ave de mí de lo mismo que el ángulo se ve de cvd vale entonces voy a ponerlo por acá tenemos que el ángulo ángulo abede es congruente al ángulo se ve al ángulo se ve de y en este caso decimos que debe de querer lo podemos poner como rayo b de biseca y seca al ángulo a b c abs muy bien ahora la razón por la cual empecé hablando de distancia de un punto a una recta es la siguiente en este vídeo vamos a mostrar que cualquier punto sobre la directriz es equidistante de estos dos lados debe a y de bs y también vamos a probar el regreso vamos a ver qué si tenemos un punto que es equidistante de bea y dbc entonces ese punto cae sobre la directriz bueno pues vamos a empezar probando lo primero que dije es decir vamos a tomar un punto por aquí un punto e íbamos a mostrar que este punto es equidistante de bea y dbc o sea que tiene la misma distancia hace a estas dos rectas bueno pues justo para para tener la distancia del punto a las rectas lo que tenemos que hacer es bajar perpendiculares hacia las dos rectas déjame ponerle que aquí el punto al que baja se llama efe y aquí al punto al que baja se llama g entonces lo que queremos probar es que el jefe es igual a eje que la distancia de este punto esta recta es la misma que del punto a la recta de acá y para hacer eso vamos a utilizar los triángulos g b y f b observemos que son triángulos ambos rectángulos el ángulo vejez el bf son ángulos rectos y además que comparten el ángulo g b porque se ve es igual al fbi ya que está sobre la bisectriz de esta forma el tercer ángulo también tiene que ser igual esté acá quienes igual estoy acá y así podemos aplicarles el criterio ángulo lado ángulo porque también comparten este segmento del segmento b entonces lo voy a escribir por acá es igual está entonces tenemos que el triángulo g b b es congruente al triángulo fb al triángulo fb y como son triángulos congruentes entonces sus partes correspondientes también son congruentes y de aquí podemos concluir que efe efe es igual a g otra forma de escribirlo es que efe así con barrita es congruente el segmento es congruente a al segmento de acá son dos formas de escribir exactamente lo mismo pero bueno eso es justo lo que queríamos mostrar o sea estoy aquí nos dice que esta longitud es igual a esta longitud y el punto y entonces el punto equidistante de bea y dbc muy bien ahora lo que vamos a hacer es probar el regreso es decir ahora nos vamos a tomar un punto equidistante a los dos lados y vamos a ver que pertenece a la directriz para eso deja me tomaron otra vez un ángulo vamos a poner otra vez un poco de nombres aquí va a estar a la caza de por acá estar se vale y ahora lo que vamos a hacer es tomar un punto e equidistante a bea y abc entonces va a estar bueno o sea tiene que ser algo más o menos de este estilo se llama el punto e ok entonces ese punto es equidistante al bajar la perpendicular para acá me dé lo mismo que al bajar la perpendicular para ok y lo que nos gustaría ver es que ese punto cae sobre la bisectriz de abc entonces déjame déjame trazar este rayo el b en el b en para otra vez formar triángulos y ver qué podemos encontrar va bueno vamos a llamar a este punto de aquí efe a este punto de akajel g bueno entonces tenemos los triángulos fbi y fb dos triángulos pues ya tienen varias cosas en común verdad como tomamos el punto es que tenemos que deje de ser igual a efe porque el punto es equidistante de ambas rectas las tenemos que tienen pues estoy acá en común verdad del segmento b no voy a marcar así y finalmente pues vemos nos demos cuenta que tienen este ángulo recto aquí entonces los dos son ángulos son triángulos rectángulos donde tienen la hipotenusa en común y uno de los lados en común entonces el tercer lado como estado por el teorema de pitágoras también tiene que ser él mismo va entonces estoy acá es igual a éste ya son segmentos congruentes bf es igual a la vejez otra vez son triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa y un mismo lado el tercer lado está dado por el teorema de pitágoras restando el cuadrado de este del cuadrado de estoy sacando raíz pero como esta longitud es igual a sí misma y esto es igual a ésta entonces está acá va a ser igual a ésta de acá bueno entonces qué sucede sucede que los triángulos g b y f b son congruentes naves más entonces el triángulo g b es congruente al triángulo efe b estoy aquí es por criterio por criterio lado lado la lado lado la también podemos pensarlo como como otro criterio que ya habíamos platicado también podemos pensarlo por el criterio ángulo recto lado hipotenusa si tenemos dos triángulos rectángulos con un lado en común y la hipotenusa en común entonces son triángulos congruentes bueno no importa cómo lo digamos concluimos que los triángulos jefe y fb son congruentes y entonces tenemos que cada una de sus partes correspondientes es congruente entonces a partir de aquí podemos concluir podemos concluir que el ángulo gbm gbm es congruente al ángulo fb al ángulo efe ve e entonces están grito de acá es igual están grito de acá y de ahí tenemos que ve biseca y seca al ángulo a bs abs y eso es justo lo que queríamos probar vale queríamos probar e estaba sobre la bisectriz del ángulo a b c muy bien entonces ya tenemos pues 22 resultados bonito es verdad por un lado tenemos que si un punto está sobre la bisectriz entonces ese punto es equidistante de los lados que forman el ángulo que la directriz corta la mitad hasta parece trabalenguas verdad pero bueno básicamente si está en la bisectriz es equidistante a los lados y también probamos el regreso pero vamos que si es equidistante a los lados entonces está en la bisectriz