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Distancia entre un punto y una recta

Transcripción del video

en este vídeo vamos a platicar acerca de puntos sobre bisectriz es pero antes de eso quiero asegurarme que entendamos a qué me refiero cuando hablo acerca de la distancia de un punto a una recta entonces déjame poner por ahí un punto y por acá vamos a poner la recta definida por los puntos b y c bueno si tuviera cualquier otro punto d entonces es muy fácil hablar de la distancia de aa de simplemente es la longitud del segmento que los une pero si tenemos aquí toda una recta bc hay varios segmentos hay varios segmentos que unen con la recta por ejemplo estoy acá o este de acá o este de acá y todos esos tienen longitudes diferentes entonces tenemos todos tenemos que ser todavía más específicos para definir la distancia de la recta y justo lo que vamos a hacer es tomarnos la distancia al punto más cercano aa que esté en la recta abc y ese punto se construye trazando la perpendicular de a abc vale entonces es un punto de por aquí un punto de por aquí tal que los ángulos y adba son de 90 grados y para pensar un poquito en por qué este punto es el que hace la distancia más corta lo que podemos hacer es trazar cualquier otro punto donde sea puede ser para allá o para allá podemos poner ahí y trazar hay con eso se forma un triángulo rectángulo de dónde es la hipotenusa y por lo tanto es el lado más largo en particular le gana a ade y bueno para pensar esto de que la hipotenusa le gana a cualquiera de los lados o para justificarlo podemos hacer es usar el teorema de pitágoras porque hay al cuadrado es de al cuadrado más d al cuadrado y entonces a él le gana a andy vale bueno espero que eso justifique un poco porque la distancia más corta se obtiene bajando una perpendicular bueno entonces es la distancia de un punto a una recta ahora vamos a platicar un poco acerca de bisectriz es de un ángulo entonces déjame trazar por aquí una un ángulo vamos a pensar que este se llama a que se llama be y este se llama c entonces es el ángulo abc y vamos a trazar la bisectriz la bisectriz es una recta o segmento o rayo lo puedes pensar como sea que corta este ángulo a la mitad es decir es un rayo si quieres que diseca el ángulo es es un rayo tal que si aquí ponemos un punto de entonces tenemos que el ángulo ave de ave de mide lo mismo que el ángulo cp de cbd vale entonces voy a ponerlo por acá tenemos que el ángulo el ángulo a bbb es congruente al ángulo cvd al ángulo se ve de y en este caso decimos que vd si quieres lo podemos poner como rayo vd biseca y seca al ángulo abc a bs muy bien ahora la razón por la cual empecé a hablando de de distancia de un punto a una recta es la siguiente en este vídeo vamos a mostrar que cualquier punto sobre la bisectriz s instante de estos dos lados de vea y de veces y también vamos a probar el regreso vamos a ver que si tenemos un punto que es equidistante debe a bbc entonces ese punto cae sobre la bisectriz bueno pues vamos a empezar probando lo primero que dije es decir vamos a tomar un punto por aquí un punto e íbamos a mostrar que este punto es equidistante de vea y dbc o sea que tiene la misma distancia hacia estas dos rectas bueno pues justo para tener la distancia del punto a las rectas lo que tenemos que hacer es bajar perpendiculares hacia las dos rectas déjame ponerle que aquí el punto al que baja se llama efe y aquí al punto al que baja se llama g bueno entonces lo que queremos probar es que el f es igual a eje que la distancia de este punto esta recta es la misma que el punto a la recta de acá y para hacer eso vamos a utilizar los triángulos gm y fbi observemos que son triángulos ambos rectángulos el ángulo bg y el pf son ángulos rectos y además que comparten el ángulo heavy porque gm igual a efe ya que está sobre la bisectriz de esta forma el tercer ángulo también tiene que ser igual este de acá también es igual a este de acá y así podemos aplicarles el criterio ángulo lado a ángulo porque también comparten este segmento el segmento b entonces lo voy a escribir por acá esto es igual a éste entonces tenemos que el triángulo gbm gbm es congruente al triángulo fbi al triángulo efe y como son triángulos congruentes entonces sus partes correspondientes también son congruentes y de aquí podemos concluir que f efe es igual a g otra forma de escribirlo es que efe así con barrita es congruente para el segmento es congruente al segmento de acá son dos formas de escribir exactamente lo mismo pero bueno eso es justo lo que queríamos mostrar o sea esto de aquí nos dice que esta longitud es igual a esta longitud y el punto y entonces el punto es equidistante debe a bbc muy bien ahora lo que vamos a hacer es probar el regreso es decir ahora nos vamos a tomar un punto equidistante a los dos lados y vamos a ver que pertenece a la bisectriz para eso déjame tomarme otra vez un ángulo vamos a poner otra vez un poco de nombres aquí va a estar a por acabe por acá va estar c c vale y ahora lo que vamos a hacer es tomar un punto equidistante a vea y abc entonces va a estar bueno o sea tiene que ser algo más o menos de este estilo vamos a llamarle el punto ok entonces ese punto es equidistante al bajar la perpendicular para acá mide lo mismo que al bajar la perpendicular para acá ok y lo que nos gustaría ver es que ese punto cae sobre la bisectriz de abc entonces déjame déjame trazar este rayo el bm el bm para otra vez formar triángulos y ver que podemos encontrar va bueno vamos a llamar a este punto de aquí efe a este punto de acá g bueno entonces tenemos los triángulos efe estos dos triángulos pues ya tienen varias cosas en común verdad como tomamos el punto que tenemos que eje es igual a efe porque el punto es equidistante de ambas rectas además tenemos que tienen pues estoy acá en común verdad el segmento b lo voy a marcar así y finalmente pues vemos démonos cuenta que tienen este ángulo recto aquí entonces los dos son ángulos son triángulos rectángulos donde tienen la hipotenusa en común y uno de los lados en común entonces el tercer lado como está dado por el teorema de pitágoras también tiene que ser el mismo va entonces este de acá es igual a este de acá son segmentos congruentes bf es igual a bg otra vez son triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa y un mismo lado el tercer lado está dado por el teorema de pitágoras restando al cuadrado de este del cuadrado de estoy sacando raíz pero como esta longitud es igual a sí misma y esta es igual a ésta entonces esta de acá va a ser igual a esta de acá bueno entonces qué sucede los triángulos heavy y fbi son congruentes una vez más entonces el triángulo g/b es congruente al triángulo efe y esto de aquí es por criterio por criterio lado lado lado lado lado lado o también podemos pensarlo como como otro criterio que ya habíamos platicado también podemos pensarlo por el criterio ángulo recto lado hipotenusa si tenemos dos triángulos rectángulos con un lado en común y la hipotenusa en común entonces son triángulos congruentes bueno no importa cómo lo digamos concluimos que los triángulos heavy y fb son congruentes y entonces tenemos que cada una de sus partes correspondientes es congruente entonces a partir de aquí podemos concluir podemos concluir que el ángulo efe gv es congruente al ángulo efe vm al ángulo f b entonces este ángulo de acá es igual este ángulo de acá y de ahí tenemos que ver me seca y seca al ángulo a bs a bs y eso es justo lo que queríamos probar vale queríamos probar que estaba sobre la bisectriz del ángulo a b c muy bien entonces ya tenemos pues 22 resultados bonitos verdad por un lado tenemos que si un punto está sobre la bisectriz entonces ese punto es equidistante de los lados que forman el ángulo que la bisectriz corta a la mitad hasta aparece trabalenguas verdad pero bueno básicamente cierto en la bisectriz es equidistante a los lados y también probamos el regreso probamos que si es equidistante a los lados entonces está en la bisectriz