Explorar triángulos mediales

aquí tenemos un triángulo a bs lo que vamos a hacer es trazar los puntos medios de cada uno de los lados el punto medio del lado hace le vamos a llamar de entonces cumple que ade es igual a de c el punto medio de seve le vamos a llamar y se cumple que c es igual a b y finalmente al punto medio de abel le vamos a llamar f voy a ponerle un poco más para acá le vamos a llamar efe y cumple que bf es igual a efe muy bien entonces ahí tenemos los tres puntos medios y ahora lo que vamos a trazar no son las medianas del triángulo sino estas rectas que unen los puntos medios efe de condé con efe y al hacer esto se forma un triángulo aquí en medio el triángulo d efe a este triángulo se le conoce como el triángulo medial de abc y lo que vamos a hacer en este vídeo es ver que cumple varias propiedades interesantes veremos que este triángulo divide al triángulo abc en cuatro triángulos que son congruentes es decir cuatro triángulos igualitos y también vamos a ver que cada uno de ellos a bs después con eso vamos a conseguir algunas consecuencias más o menos este sencillas por ejemplo que los cuatro tienen la misma área y que esa área es de un cuarto del triángulo original vale pero bueno vamos poco a poco empecemos con el triángulo de ese este triángulo parece ser semejante al a b c pero bueno no es evidente vamos a demostrarlo lo primero que vamos a observar es el ángulo a quien se veamos que este ángulo en celo comparten el de ese y el abc entonces pues ya nada más faltaría encontrar o bien otro ángulo o bien que las parejas correspondientes de lados tienen la misma proporción pero tenemos mucha información de los lados así que vamos a calcular la proporción a ver qué pasa vamos a calcularse entre cb esa es la razón entre entre lados correspondientes entre cb bueno pues tenemos que ese es la mitad de cb porque este mide lo mismo que este de acá entonces cee entre cb es igual a un medio y de manera similar se dé entre sea y es igual a un medio porque despuntó medio de hace entonces esto es igual a cd en 13 a va entonces esto está súper padre porque esto ya basta para ver que los triángulos son semejantes tienen este ángulo en común pero además las parejas de lados correspondientes tienen la misma razón que es igual a un medio va entonces vamos a poner por aquí que por el criterio por el criterio criterio lado ángulo lado de semejanza por el criterio de semejanza al lado ángulo lado tenemos que el triángulo de ce es semejante al triángulo a b c y además la razón de semejantes uno a dos bueno pues esa razón de semejanza también nos permite determinar la longitud de d porque a partir de esta semejanza podemos concluir podemos concluir que d entre ave entre ave también es igual a un medio y por lo tanto de mi de la mitad de ave pero la mitad de a bs.f o fbi que tiene tres marquitas entonces déjame indicarlo acá y tiene esa misma longitud que es 3 marquitos bueno ya tenemos un triángulo semejante al abc vamos ahora con este de acá lo voy a trabajar en color morado bueno tenemos el triángulo fbi y el abs y ambos tienen este ángulo en común entonces vamos a hacer pues básicamente lo mismo vale ya tienen este ángulo en común vamos a ver qué pasa con las razones de lados correspondientes aquí tenemos que calcular bf entre vean y observa que eso vuelve a ser un medio porque efe punto medio y veamos que es un medio también es igual a b / veces es igual a b entre bs otra vez porque es punto medio entonces otra vez podemos aplicar el criterio lado ángulo lado criterio de semejanza al lado ángulo lado y con eso tenemos que el triángulo el triángulo fbi en el triángulo efe es semejante semejante al triángulo al triángulo a b c muy bien otra vez eso nos da la medida de f porque efe efe / hace / hace debe de ser igual a un medio y por lo tanto f emite la mitad de hace que en este caso es a de o bien de c vale entonces mide esta longitud que estamos que estamos marcando con una rayita sale y vale y bueno ya nada más nos faltaría de este tercer triángulo el f pero voy a hacer exactamente lo mismo así que si quieres puedes pausar el vídeo e intentarlo por tu cuenta bueno vamos a hacerlo entonces en este caso el ángulo que comparten es el ángulo en el ángulo f a d es igual al de hace y además tenemos tenemos que a efe / ave a efe / ave es igual a un medio y eso es igual a a de entre hace ha de entregarse entonces por el criterio por el criterio serio de semejanza lado ángulo lado mira que incluso los argumentos son muy semejantes bueno por el criterio de semejanza al lado ángulo lado tenemos que el triángulo el triángulo a efe de a efe es semejante al triángulo a bs o sea el argumento es igualito vale ya está se volvió repetitivo pero entonces tenemos esta semejanza de la fed con el abc y la semejanza está en razón 1 a 2 y por lo tanto concluimos que fd mide la mitad de veces de la longitud con dos rayitas y ya bueno sabiendo que todos estos triángulos son semejantes déjame pasar algunos ángulos entonces este ángulo de aquí es igual a este ángulo de acá por las semejanzas de este chiquito con el grandote pero también es igual a este de acá por la semejanza de este chiquito con el grandote con el abc de manera similar tenemos que el ángulo aquí a efe de es igual al abc y el d s d s es igual al abc y finalmente voy a pasar el naranja este de aquí es congruente a este de acá vale entonces ahí ya tenemos tres triángulos semejantes pero podemos decir más cosas mira vamos a ver qué le pasa a estos tres triangulitos de aquí no sólo son semejantes sino que además los dos tres los tres tienen una longitud de una marquita una de dos marquitas y una de tres marquitas y no sólo le pasa a estos tres sino que también le pasa al triángulo de aquí adentro al triángulo medial entonces pues qué sucede estos cuatro son triángulos que tienen los tres lados y por lo tanto deben de ser congruentes por el criterio de congruencia lado lado lado vamos a apuntar eso por acá tenemos pobre el criterio por el criterio de congruencia congruencia lado lado lado tenemos que el triángulo a efe de que es importante tener las letras bien en el triángulo a efe de es congruente es de amarillo a morado a naranja entonces es congruente al de s al triángulo de c y es que es congruente al triángulo efe al triángulo efe b y esto es congruente al triángulo al triángulo medial pero quiero tener las letras correctas entonces todavía tengo que ver pues cuáles son los ángulos correspondientes y los lados correspondientes entonces déjame calcular los ángulos de la siguiente forma observa que el amarillo con el morado con el naranja tienen que sumar 180 porque es la suma de los ángulos de un triángulo y aquí tenemos el naranja y el morado entonces nada más nos faltaría el amarillo para que sumara 180 los ángulos de esta recta de manera similar aquí está amarillo y morado falta naranja y aquí está naranja y amarillo falta morado entonces ya tenemos como son los ángulos verdad tenemos que ir a efe de amarillo morado naranja entonces este de aquí es congruente al e de efe al triángulo d efe muy bien entonces ya vimos que estos cuatro triángulos hilitos de aquí cuatro triangulitos de aquí son igualitos son idénticos vayan son triángulos congruentes y más aún mostramos que estos triangulitos son semejantes al triángulo abc y esta semejanza está justo en razón un medio y además hay otras cosas padres que pasan aquí en el dibujo por ejemplo o sea podemos pensar a d como una paralela a aa b porque tenemos nos digamos está transversal la transversal bc y en la transversal bc tenemos que el ángulo de s es igual al abc y por lo tanto como son rectas con una transversal de ángulos correspondientes iguales estas rectas tienen que ser paralelas déjame marcarlo así esta de acá es paralela a esta de acá vale de manera similar podemos pensar efe hace como dos rectas que tienen a vea como transversal la vea como transversal y por lo tanto como este ángulo es igual este de acá el bebé al véase tenemos que estas dos rectas también son paralelas entonces está acá es paralela a esta de acá no estaría acá y finalmente podemos aplicar exactamente la misma idea para efe de ibc con la transversal digamos ac y el ángulo a df y el acb como son ángulos iguales y este es una transversal entonces esas dos tienen que ser rectas paralelas dejar de pintarlo así con tres triangulitos va para allá y esta también va para allá también con tres triangulitos entonces esto está interesante porque este triángulo medial además de ser semejante a la abc tiene sus lados paralelos al a b se va y entonces como que la la gran la gran moraleja de todo este vídeo es que aunque hayamos hecho unos trazos muy sencillos en un triángulo que nada más tenían que ver con los puntos medios de cualquier forma se pueden encontrar resultados bien bonitos vale bueno espero que te haya gustado este vídeo y nos vemos en el siguiente