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Contenido principal
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Transcripción del video

en este vídeo quiero hacer un breve repaso acerca de las medianas de un triángulo y luego quiero contarte una propiedad interesante que cumplen que será útil después para resolver algunos problemas entonces déjame empezar dibujando aquí un triángulo y vamos a recordar que es una mediana de hecho un triángulo tiene tres medianas y una mediana consiste en tomar uno de los vértices del triángulo y un hilo con el punto medio del lado opuesto entonces por ejemplo está de acá sería una mediana pensando que éste es igual a éste otra mediana sería tomar digamos este vértice de aquí arriba y un hilo con el punto medio de aquí abajo de este lado de acá donde esto me da lo mismo que esto entonces nos quedaría más o menos algo así y finalmente la tercera mediana sería unir este vértice con el tercer punto medio que daría más o menos algo así va y algo padre de las medianas es que las tres pasan por un mismo punto y ese punto por el cual pasan se conoce como el centro y desde el triángulo y se llama centro de por razones físicas o sea se llama centro de porque si este triángulo fuera un triángulo real un triángulo digamos hecho de metal y el metal estuviera distribuidos uniformemente entonces este punto sería el centro de masa del triángulo vale bueno eso es una cosa interesante y otra cosa interesante es que si lanzáramos este triángulo no se deja de dibujar lo por acá antes de lanzarlo entonces si lo lanzáramos y lo lanzaremos de tal forma que empezar a girar entonces el triángulo justo giraría alrededor del centro hay de bueno estas son cosas interesantes pero la idea de este vídeo no es convertirnos en illas y empezar a aventar triángulos de metal más bien lo que te quiero contar es una propiedad interesante que cumplen las medianas de un triángulo y es la siguiente resulta que el centro y the divide a las medianas a cada una de ellas en razón 1 a 2 donde uno es el lado que está más cercano al punto medio es decir si esta longitud me diera a entonces estoy acá me diría 2 a 2 a otra forma de decirlo es que el centro y de ésta a dos tercios de distancia del vértice con respecto al punto medio entonces hay que avanzar dos tercios de la mediana para llegar a bueno estar aquí es una propiedad padrísima está bien suave pero pues no vamos a aceptarlas y ciegamente para no tener que hacer un acto de fe vamos a demostrar la vallée y para demostrar la voy a hacer un dibujo en tres dimensiones la cosa de de pasar figuras de n dimensiones a enemas dimensiones que ayuda un poco a simplificar las cuentas entonces déjame pintar por aquí unos 16 ejes en tres dimensiones ahí tenemos el eje z por acá vamos a poner el eje x y por acá elegí al lg entonces aquí tenemos el eje x elegí ese problema que hicimos de un tetra hidro hubiera salido más fácil en cuatro dimensiones pero ya es un poco más difícil de visualizar pero bueno entonces tenemos el eje x el yen y el z y vamos a tomarnos tres vértices tres vértices de un triángulo digamos este día cam esté acá estoy acá y éste de acá vale y no sé vamos a pensar déjame déjame primero trazar los lados para que sea el triángulo hacer estoy aquí estoy aquí un poco más bonito esté acá y estoy acá y vamos a pensar que las coordenadas son son esto es lo bueno de estar en 3d que hay muchos ceros son a coma 0,0 0,0 que aquí es cero 0,20 coma cero porque estamos en el eje en la segunda coordenadas la única que es distinta de 0 y finalmente aquí va a ser cero coma cero coma hace muy bien entonces ya tenemos nuestro triángulo dibujado es un triángulo arbitraje bueno una cosa que no voy a demostrar pero que voy a usar es que el centro i d está justo en el promedio de estos tres puntos es decir que las coordenadas del centro y de las coordenadas del centro y digamos que ésta no voy a pintar con amarillo para que se vea que está aquí las coordenadas justos son promediar las coordenadas de estos tres puntos o sea sería ama 0 +0 a tercios coma 0 +0 más ve es b&b tercios son tercios porque son tres coordenadas estamos promediando las y finalmente se tercios semana 0 +0 ese vídeo entre 3 700 entonces es una propiedad que no voy a probar pero tú puedes probarlo por tu cuenta puedes encontrar la ecuación de la mediana que sería unir este punto con el punto medio de acá que ahorita vamos a pintar luego trazar otra mediana y ver dónde se intersectan pero justo queda que es este punto vale bueno entonces vamos a comparar las distancias que se forman la distancia de digamos este vértice de acá a este punto al centro i d con con la distancia del centro de al punto medio punto me vale entonces estoy aquí es la mediana lo que yo digo es que la distancia naranja es el doble de la amarilla entonces vamos a ver qué de a de veras eso es cierto pero para eso vamos a necesitar el punto medio de este lado y el punto medio otra vez promediar estos dos entonces sería a cero entre dos medios luego vemos a cero entre 2,10 medios y luego 0 +0 entre 12 a 0 vale bueno entonces vamos a calcular la distancia naranja para calcular la distancia naranja tenemos que sacar una raíz cuadrada raíz cuadrada tenemos que respetar las coordenadas elevarlas al cuadrado y sumarlas entonces sería a tercios menos 0 al cuadrado sería a tercios al cuadrado o sea sería a cuadrada sobre nueve ya eso tenemos que sumarle b tercios menos 0 al cuadrado llave cuadrada sobre 9 y finalmente finalmente tenemos que sumar se tercia es menos se al cuadrado se tercios menos se es menos dos tercios menos dos tercios al cuadrado es 4 novenos pero tenemos hay unas 106 4 novenos 4 - 4 - de c cuadrada y de hecho esto lo podemos simplificar un poquito como la raíz cuadrada de a cuadrada más ve cuadrada +46 cuadrada / / / la raíz de nueve o sea entre tres muy bien entonces ahí es la distancia naranja estoy aquí me de raíz de la cuadra damas de cuadrada más 4c cuadrada entretrés va ahora vamos con la distancia amarilla con estadía acá y es la misma idea tenemos que respetar las coordenadas y luego tenemos que llevar al cuadrado sumar todo eso y saca raíz bueno entonces vamos a hacer a medios menos a tercios a medios es 3 sextos de a illa tercios es dos sextos dea entonces nos queda un sexto de a este - este es un sexto de a un sexto de a tenemos que elevarlo al cuadrado entonces nos quedaría a cuadrada a cuadrada entre 36 vale de manera similar de manera similar de medios - b tercios es vez sextos defectos al cuadrado es de cuadrada entre 36 y finalmente tenemos que hacer 0 - se tercios que sería simplemente menos se terció acceso al cuadrado es se cuadra de entre 9 pero de una vez le voy a poner denominador común se cuadra de entre 9 se cuadra de entre 9 es lo mismo que cuatro se cuadra de entre 36 entonces nos quedan cuatro se cuadra da entre 36 y de aquí podemos simplificar nos quedaría la raíz cuadrada de a cuadrada a cuadrada más ve cuadrada +46 cuadrada a tus de cuadrada dividido entre la raíz de 36 que es 6 muy bien ya tenemos la distancia naranja ya tenemos la distancia amarilla y observa que la distancia naranja al dividirla entre dos nos queda la distancia amarilla vale entonces la distancia naranja es el doble de la distancia amarilla la distancia naranja es el doble de la distancia amarilla y entonces probamos esta propiedad que te dije aquí arriba vale o sea que si tomamos el centro desde entonces está a dos tercios de la distancia de el vértice hacia el punto medio o bien que el centro de dividen razón uno a dos la mediana del triángulo y todo lo hicimos con un triángulo general nos opusimos nada acerca del tram bueno esta propiedad es muy interesante está bien padre y es importante que las recuerde es porque después la vamos a utilizar en algunos otros problemas