If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Si estás detrás de un filtro de páginas web, por favor asegúrate de que los dominios *.kastatic.org y *.kasandbox.org estén desbloqueados.

Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:8:59

Transcripción del video

en este vídeo quiero hacer un breve repaso acerca de las medianas de un triángulo y luego quiero contarte una propiedad interesante que cumplen que será útil después para resolver algunos problemas entonces déjame empezar dibujando aquí un triángulo y vamos a recordar que es una mediana de hecho un triángulo tiene tres medianas y una mediana consiste en tomar uno de los vértices del triángulo y unirlo con el punto medio del lado opuesto entonces por ejemplo esta de acá sería una mediana pensando que este es igual a este otra mediana sería tomar digamos este vértice de aquí arriba y unirlo con el punto medio de aquí abajo de este lado de acá donde esto mide lo mismo que esto entonces nos quedaría más o menos algo así y finalmente la tercera mediana sería unir este vértice con el tercer punto medio quedaría más o menos algo así y algo padre de las medianas es que las tres pasan por un mismo punto y ese punto por el cual pasan se conoce como el centro hoy desde el triángulo y se llama centro yo por razones físicas o sea se llama centro d porque si este triángulo fuera un triángulo real un digamos hecho de metal y el metal estuviera distribuido uniformemente entonces este punto sería el centro de masa del triángulo vale bueno esta es una cosa interesante y otra cosa interesante es que si lanzáramos este triángulo no se déjame dibujarlo por acá antes de lanzarlo entonces si lo lanzamos y lo lanzaremos de tal forma que empezará a girar entonces el triángulo justo giraría alrededor del centro y bueno estas son cosas interesantes pero la idea de este vídeo no es convertirnos en ninjas y empezar a aventar triángulos de metal más bien lo que te quiero contar es una propiedad interesante que cumplen las medianas de un triángulo y es la siguiente resulta que el centro y de divide a las medianas a cada una de ellas en razón uno a dos donde uno es el lado que está más cercano al punto medio es decir si esta longitud me diera a entonces ésta de acá me diría 2a otra forma de decirlo es que el centro hoy de esta a dos tercios de distancia del vértice con respecto al punto medio entonces hay que avanzar dos tercios de la mediana para llegar aquí bueno está aquí es una propiedad padrísima está bien suave pero pues no vamos a aceptarlas y ciegamente para no tener que hacer un acto de fe vamos a demostrar la vale y para demostrar la voy a hacer un dibujo en tres dimensiones la cosa de pasar figuras de n dimensiones a n son dimensiones es que ayuda un poco a simplificar las cuentas entonces déjame pintar por aquí unos unos ejes en tres dimensiones ahí tenemos el eje z por acá vamos a poner el eje x y por acá el eje y vale el eje entonces aquí tenemos el eje x el eje y ese problema que hicimos de un tetraedro hubiera salido más fácil en cuatro dimensiones pero ya es un poco más difícil de visualizar pero bueno entonces tenemos el eje x el jee y el zeta y vamos a tomar los tres vértices tres vértices de un triángulo digamos este de acá este de acá esté acá y este de acá vale y no sé vamos a pensar déjame déjame primero trazar los lados para crear el triángulo va a ser esto de aquí este de aquí un poco más bonito este de acá y este de acá y vamos a pensar que las coordenadas son son esto es lo bueno de estar en 3-d que hay muchos ceros son a 00.00 que aquí es 100 v0 porque estamos en el eje y la segunda coordenada es la única que es distinta de cero y finalmente aquí va a ser 0 0 c muy bien entonces ya tenemos nuestro triángulo dibujado es un triángulo arbitral bueno una cosa que no voy a demostrar pero que voy a usar es que el centro está justo en el promedio de estos tres puntos es decir que las coordenadas del centro y de las coordenadas del centro y de digamos que ésta lo voy a pintar con amarillo para que se vea que está aquí las coordenadas justo son promediar las coordenadas d tres puntos o sea sería a cero cero a tercios coma 0 0 b es b b tercios son tercios porque son tres coordenadas estamos promediando las y finalmente se de tercios 600 s dividido entre tres tercios entonces esta es una propiedad que no voy a aprobar pero tú puedes probar la por tu cuenta puedes encontrar la ecuación de la mediana que sería unir este punto con el punto medio de acá que ahorita vamos a pintar luego trazar otra mediana y ver dónde se intersectan pero justo queda que es este punto de aquí vale bueno entonces vamos a comparar las distancias que se forman la distancia de digamos este vértice de acá a este punto al centro hoy d con con la distancia del centro de al punto medio punto vale entonces esto de aquí es la mediana lo que yo digo es que la distancia naranja es el doble de la amarilla entonces vamos a ver qué día de veras eso es cierto pero para eso vamos a necesitar el punto medio de este lado y el punto medio otra vez es promediar estos dos entonces sería a cero entre dos está medios luego b cero entre dos medios y luego 00 entre dos o sea cero vale bueno entonces vamos a calcular la distancia a naranja para calcular la distancia naranja tenemos que sacar una raíz cuadrada raíz cuadrada tenemos que restar las coordenadas elevarlas al cuadrado y sumarlas entonces sería a tercios menos 0 al cuadrado sería a tercios al cuadrado o sea sería a cuadrada sobre 9 ya eso tenemos que sumarle b tercios menos 0 al cuadrado sería b cuadrada sobre 9 y finalmente finalmente tenemos que sumar c tercios menos c al cuadrado c tercios menos c es menos dos tercios menos dos tercios al cuadrado es cuatro novenos pero tenemos hay una c entonces es cuatro novenos cuatro novenos cuatro novenos de c cuadrada y de hecho esto lo podemos simplificar un poquito como la raíz cuadrada de a cuadrada más be cuadrada más cuatro c cuadrada dividido entre entre la raíz de nueve o sea entre tres muy bien entonces esa de ahí es la distancia naranja esto de aquí mi de raíz de la cuadra damas b cuadrada más 4 c cuadrada entre text va ahora vamos con la distancia amarilla con esta de acá y es la misma idea tenemos que restar las coordenadas y luego tenemos que elevar al cuadrado sumar todo eso y sacar a raíz bueno entonces vamos a hacer a medios menos a tercios a medios es tres textos de a y a tercios es dos sextos de a entonces nos queda un sexto de a si este menos éste es un sexto día y ese un sexto de a tenemos que elevarlo al cuadrado entonces nos quedaría a cuadrada al cuadrado entre 36 vale de manera similar de manera similar - b tercios de sextos vez éstos al cuadrado es p cuadrada entre 36 y finalmente tenemos que hacer 0 - cd tercios que sería simplemente pues menos de tercios eso al cuadrado es cuadrada entre 9 pero de una vez le voy a poner denominador común se cuadrado entre 9 se cuadra de entre 9 es lo mismo que cuatro se cuadrada entre 36 entonces nos quedan 4 se cuadrada entre 36 y de aquí podemos simplificar nos quedaría la raíz cuadrada de a cuadrada a cuadrada más b cuadrada más 4 cuadrada con otros de cuadradas dividido entre la raíz de 36 que es 6 muy bien ya tenemos la distancia naranja ya tenemos la distancia amarilla y observa que la distancia naranja al dividirla entre 2 nos queda la distancia amarilla vale entonces la distancia naranja es el doble de la distancia amarilla la distancia naranja es el doble de la vista amarilla y entonces probamos esta propiedad que te dije aquí arriba vale osea que si tomamos el centro y de entonces está a dos tercios de la distancia de el vértice hacia el punto medio o bien que el centro y de divide en razón uno a dos la mediana del triángulo y todo lo hicimos con un triángulo general no supusimos nada acerca del triángulo bueno esta propiedad es muy interesante está bien padre y es importante que la recuerdes porque después la vamos a utilizar en algunos otros problemas