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Las medianas del triángulo y los centroides (demostración 2D)

Transcripción del video

en el video de medianas de un triángulo y centro y de hice la prueba de que el centro y de estados terceras partes de la distancia sobre la mediana yendo del vértice al punto medio para probarlo lo que hicimos fue pasar nuestro triángulo de dos dimensiones a tres dimensiones pues dije que las cuentas salían más sencillas sin embargo alguien mencionó en un comentario que sería buena idea de la prueba en dos dimensiones así que eso es justo lo que vamos a hacer en este vídeo bueno para eso deja de trabajar por aquí el eje x y lg ahí está el eje x y el eje va entonces acá tenemos el eje en el eje x y lo que vamos a hacer es tomarnos un triángulo que tenga dos vértices sobre el eje x uno digamos por acá y otro por acá y el tercer vértice sobre el eje o sea estamos suponiendo que su altura que su altura queda aquí en el eje lleva bueno vamos a ponerle coordenadas a esos tres puntos a este punto vamos a ponerle el punto cero coma cero o sea vamos a suponer que el triángulo tiene altura se vale bueno a este punto de acá no voy a poner con otro color digamos con morado vamos a ponerle también coordenadas no se piense moss que esta distancia del origen a ese punto a y entonces éste tendría tendría coordenadas aa com hacer y finalmente vamos a pensar que la distancia de este lado es b no voy a poner en color azul que la distancia de este lado es b entonces este punto tendría coordenadas menos ve cómo hacer nada más dejar de dibujar el triángulo para que se vaya bien ahí tenemos nuestro triángulo y cualquier triángulo se puede representar así vale entonces nuestra prueba es suficientemente general bueno entonces lo que vamos a hacer es determinar las coordenadas del centro i d pero para eso primero necesitamos encontrar las ecuaciones de las rectas que tienen a las medianas y después de interceptar las iba a estar a interpretar esas dos porque al interceptar las pues ya la tercera también pasa por ahí vale bueno entonces empecemos encontrando las ecuaciones de las medianas y para eso vamos a necesitar estos puntos medios de acá va entonces déjame déjame ponerlo en este punto medio aquí este punto medio aquí y este punto media -que entonces necesitamos las cornadas de esos dos puntos dios bueno pues para encontrar la coordenada de un punto medio de un segmento va hasta encontrar el promedio de las coordenadas de los extremos es decir aquí teníamos que hacer a +0 entre dos nos quedaría a medios como hace más severo entre 2,6 medios y lo mismo de este lado hacemos 0 - b entre dos que nos quedaría - b medios coma cero más se entre dos o se hace medios muy bien entonces ya tenemos las coordenadas de este punto y de este punto ahora podemos determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice y el punto medio empecemos encontrando la pendiente déjame dibujarla va a ser esta recta naranja de acá entonces empezamos encontrando la pendiente vale para encontrar la pendiente hay que hacer la diferencia de las coordenadas se niegue o se hace medios - 0 no lo voy a restar más lo voy a dejar así entre a medios - - b entre a medios - - b entonces va a ser más b pero de una vez lo voy a poner como más 2b entre dos para que ya tengan este denominador común bueno ahorita podríamos sumar esto pero en vez de sumar esta expresión voy a multiplicar el numerador y el denominador por dos al hacer eso se cancela éste esté y esto y entonces ya nos queda la expresión de la pendiente cómo se ha dividido entre a más dos de muy bien entonces ya tenemos la pendiente conocemos un punto entonces podemos utilizar la fórmula de punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta y esta fórmula lo que dice es que es que tomamos llegue la variable le restamos la coordenada en ya que conocemos y eso de ahí es igual a tomar x restarle la coordenada en x que conocemos o sea sumar b y esto multiplicarlo por la pendiente se ha dividido entre amas 2b muy bien entonces ya tenemos la ecuación de la recta que tiene a esta mediana de acá bueno ahora vamos con la otra voy a tomar este color como hueso supongo entonces ahora vamos a encontrar la ecuación de esta recta de acá va entonces empezar con la pendiente misma idea la pendiente es tomar la diferencia de las coordenadas se niegue remedios -0 otra vez más quedase medios en el numerador / / b medios - b medios aquellos menos hay que tener cuidado ya que es menos - b medios - ah entonces voy a ponerle - b medios - ah pero lo voy a poner como -2 a entre 2 ya tienen este denominador común multiplicamos el numerador y el denominador por dos se cancela este éste y éste y entonces la pendiente nos queda igual la cem dividido entre menos bem menos dos años muy bien ahora usamos la fórmula de punto pendiente para este punto de aquí y está pendiente nos queda que lleven 10 yemen 10 es igual a x menos a x menos ha multiplicado por la pendiente por se ha dividido entre - b -2 está padrísimo ya tenemos estas dos ecuaciones entonces ya conocemos las ecuaciones de las rectas así que nada más hay que interceptarlas para encontrar pues las coordenadas de del centro y deba bueno pero justo interceptarlas quiere decir igualar las expresiones se niegue por ejemplo entonces tenemos que igualar esta con ésta y vamos a ver qué nos quedan vamos a ver qué nos queda de de coordenada en x x mas ve multiplicado por seis / / a más 2 b2b debe ser igual a x - a menos a x se ha dividido entre -2 ven entre - b -2 a entre menos menos dos años bueno aquí podemos cancelar se conoce porque ese no es cero si se fuera a cero tendríamos que el punto está aquí y no sería un triángulo de a de veras no tendría 2002 dimensiones entonces pues vamos a cancelarse ahora vamos a multiplicar cruzado está para acá y está para acá y nos queda lo siguiente voy a tomar el color blanco nos quedaría x x x - b - 2 am - b - a luego multiplicar este por b o sea nos quedaría - b cuadrada menos dos sabe y eso sería igual a multiplicar x por éste de acá a más 2 b2b y luego a más 2 b por menos a o sea menos a cuadrada menos dos ave hay menos dos aves de los dos lados los cancelamos vamos a vamos a restar equipo a más 2 b y vamos a sumar de cuadrada de los dos lados con la idea de dejar las x de un mismo lado y las constantes de otro entonces restamos x por amas 2b y sumamos b cuadrada aquí está se cancela con ésta está con ésta era la idea y nos queda lo siguiente nos quedaría x x - b -2 b o sea menos tres b -2 a menos a lo sea menos tres a es igual a b cuadrada menos a 4 b cuadrada menos a cuadras déjame factorizar aquí un -3 entonces tenemos menos tres equis por ve - a volver más a hay que ser cuidadosos ve más a es igual avn - a aquí es una diferencia de cuadrados por biomasa y de aquí podemos cancelar vez más a comer más a mano es igual a menos ve porque si no este punto sería igual este punto y otra vez no teníamos un triángulo entonces podemos cancelar sin problema y por lo tanto x nos queda igual a dividimos entre -3 de ambos lados nos queda igual ab - ha dividido entre menos 3 o bien a menos ve a - b entre tres entonces esto está re bueno ya tenemos la coordenada en x la coordenada en x de nuestro centro y entonces déjame entrar aquí una perpendicular para marcar que esto es la coordenada en x entonces ya sabemos que esto es a - b entre 3 y esto nos debería dar una pista de qué bueno sabes que ahorita no te voy a contar mejor vamos a seguir y habitaba saber a qué me refiero entonces ya tenemos las coordenadas x y con esta condena de nx poder se encuentra la coordenada enje sustituyendo en cualquiera de estas dos vamos a hacerlo con esto con este ya casi de la derecha no importa cuál sea cualquiera funciona entonces déjame tomar el color azul y nos quedaría que gem es igual a x menos a o sea a - b tercios menos a menos a x se / / / - b -2 a pero observa que menos a es lo mismo que menos tres a tercios entonces al hacer al hacer esta resta nos queda a menos tres a océanos que daría menos dos a menos ve - b / / 3 x se ha dividido entre - b -2 a y b esto está padre esté acá dejará el color el color sería bonito pues éste esté como rosita entonces esté menos 2 am - b se cancela con esteve -2 a y entonces nos queda que la coordenada dengue del centro y desigual hace tercios se tercios entonces eso está muy bueno aquí tenemos que la altura que la altura es verdad que aquí acá es se tercerice tercios a la altura de aquí acaece tercias este ángulo de aquí el reto entonces al bajar una perpendicular corta en una altura de tamaño se tercios vale entonces ya tenemos las coordenadas del centro i d son a - b tercios con más de tercios y ahora podríamos intentar utilizar la fórmula de distancia pues así con coordenadas pero no voy a hacer eso ahorita de hecho te invito a hacerlo por tu cuenta sin embargo lo que voy a hacer ahorita es algo que simplifica un poco las cuentas y bueno no va a tener que utilizar la fórmula de distancia sino un argumento de semejanza va entonces ve lo que vamos a hacer es lo siguiente déjame trazar la mediana ahora desde este vértice de acc entonces voy a agarrar este color rosa y voy a tratar la mediana de jack como sabemos es a mediana esa mediana también pasa por el centro i d i llega al punto medio vale llegar el punto medio pero esta mediana justo nos ayuda a construir dos triángulos semejantes este de aquí arriba con esté acá con este grandote ahora lo que nosotros queremos mostrar es que el centro y de ésta a dos tercios de la distancia es decir queremos ver que este punto dividen la zona 1 a 2 o bien que esta distancia entre toda esta de acá es más déjame ponerle nombre a ver si alcanzan los colores pero bueno queremos ver queremos ver que esta distancia de acá le vamos a llamar de entre la distancia total que déjame llamarle ele ele ele es igual a dos tercios si logramos probar eso ya terminaríamos pero que justo vamos a utilizar las semejanzas de este triángulo con esté acá para encontrar la razón de entre el equipo sea este lado entre todo este de dacca observa que estos dos triángulos son semejantes son semejantes porque tienen este ángulo en común el ángulo recto que que salió justo de desplazar el punto para encontrar la coordenada y esté acá que también es recto porque es donde se interceptan los ejes entonces tiene este ángulo recto y éste anuló el proyecto de aquí pero además tienen el ángulo de aquí arriba en común el ángulo entre la altura y la mediana entonces estos dos triangulitos que aquí están un poco apretados pero espero que se vean bien estos dos angelitos son semejantes y como son semejantes las razones de los correspondientes tienen que ser las mismas entonces vamos a ver qué nos queda de de entre l las razones de las razones es la razón de las hipotecas rusas de entre el de entre l pues eso nos queda justo igual a éste cateto de aquí entre toda esta distancia pero sabemos que éste cachito de aquí abajo ese tercios entonces el de aquí arriba esté aquí arriba esté acá es dos tercios de ese es dos tercios de ese vale entonces esta razón de entre l es igual a razón de dos tercios de ese dividido entre el total mientras el total que se y esto de aquí es igual a dos tercios entonces con esto terminamos con esto logramos mostrar que de entre l este entre éste es igual a dos tercios y eso es justo lo que queríamos y bueno a partir de eso pero ya podemos decir varias cosas porque sí si de él dos tercios del total de la distancia entonces él es un tercio y por lo tanto de mí del doble de l y así el centro y de parte la mediana en razón uno a dos o bien si quieres 2 a 1 bueno entonces estaré aquí es la prueba en el plano es una prueba en dos dimensiones y con esto ya tenemos dos pruebas una en tres dimensiones donde las coordenadas quedando un poco más sencillas y estadía acá está de acá que es en dos dimensiones que tuvimos que hacer un poco de analítica encontrar intersecciones de rectas y algunas otras cosas que tienen que ver con cuentas pero afortunadamente al final no nos salvamos de encontrar la distancia utilizando un argumento de semejanza vale entonces esa fue la idea de la prueba y también te invito a que tula termines utilizando la fórmula de distancias pero bueno independientemente de todo esto este resultado es bien útil el centro y de ésta a dos tercios de la distancia parte la media en razón uno a dos y ese resultado lo vamos a utilizar en otros vídeos para resolver algunos problemas