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Las medianas del triángulo y los centroides (demostración 2D)

Transcripción del video

en el vídeo de medianas de un triángulo y centro hoy de hice la prueba de que el centro hoy de esta a dos terceras partes de la distancia sobre la mediana yendo del vértice al punto medio para probarlo lo que hicimos fue pasar nuestro triángulo de dos dimensiones a tres dimensiones pues dije que las cuentas salían más sencillas sin embargo alguien mencionó en un comentario que sería buena idea ver la prueba en dos dimensiones así que eso es justo lo que vamos a hacer en este vídeo bueno para eso déjame trazar por aquí el eje x y el eje y ahí está el eje x y el eje se va entonces acá tenemos el eje y el eje x y lo que vamos a hacer es tomarnos un triángulo que tenga dos vértices sobre el eje x uno digamos por acá y otro por acá y el tercer vértice sobre el eje o sea estamos suponiendo que su altura que su altura queda aquí en el eje y va bueno vamos a ponerle coordenadas a esos tres puntos a este punto vamos a ponerle el punto cero cero o sea vamos a suponer que el triángulo tiene altura c vale bueno a este punto de acá no voy a poner con otro color digamos con morado vamos a ponerle también coordenadas no se pensemos que esta distancia del origen a ese punto es ah y entonces éste tendría tendría coordenadas a 0 y finalmente vamos a pensar que la distancia de este lado es b no voy a poner en color azul que la distancia de este lado es b entonces este punto tendría coordenadas menos b coma 0 nada más déjame dibujar el triángulo para que se vea ya bien entonces ahí tenemos nuestro triángulo y cualquier triángulo se puede representar así vale entonces nuestra prueba es suficientemente general bueno entonces lo que vamos a hacer es determinar las coordenadas del centro pero para eso primero necesitamos encontrar las ecuaciones de las rectas que tienen a las medianas y después interpretarlas y bastará interpretar esas dos porque al interceptar las pues ya la tercera también pasa por ahí vale bueno entonces empecemos encontrando las ecuaciones de las medianas y para eso vamos a necesitar estos puntos medios de acá entonces déjame déjame poner este punto medio aquí en este punto medio aquí y este punto medio acá entonces necesitamos las coordenadas de esos dos puntos medios bueno pues para encontrar la coordenada de un punto medio de un segmento va hasta encontrar el promedio de las coordenadas de los extremos es decir aquí tendríamos que hacer a 0 entre 2 nos quedaría a medios coma 0 entre 2,0 medios y lo mismo de este lado hacemos 0 - b entre 2 que nos quedaría menos b medios coma 0 entre 2 o se hace medios muy bien entonces ya tenemos las coordenadas de este punto y de este punto ahora podemos determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice y el punto medio empecemos encontrando la pendiente déjame dibujarla va a ser esta recta naranja de acá entonces empecemos encontrando la pendiente vale para encontrar la pendiente hay que hacer la diferencia de las coordenadas en que o se hace medios menos 0 no lo voy a restar nada más lo voy a dejar así entre a medios menos menos b entre medios menos veces b entonces va a ser más b pero de una vez lo voy a poner como más 2 b entre 2 para que ya tengan este denominador común bueno ahorita podríamos sumar esto pero en vez de sumar esta expresión voy a multiplicar el numerador y el denominador por 2 al hacer eso se cancela este este y este y entonces ya nos queda la expresión de la pendiente como se / / a 2b muy bien entonces ya tenemos la pendiente conocemos un punto entonces podemos utilizar la fórmula de punto pendiente para encontrar la ecuación de la recta y esta fórmula lo que dice es que es que tomamos la variable y le restamos la coordenada en ya que conocemos y eso de ahí es igual a tomar x restarle la coordenada en x que conocemos o sea sumar b y esto multiplicarlo por la pendiente se dividido entre a más 2 b muy bien entonces ya tenemos la ecuación de la recta que tiene a esta mediana de acá bueno ahora vamos con la otra voy a tomar este color como hueso supongo entonces ahora vamos a encontrar la ecuación de esta recta de acá para entonces empezamos con la pendiente misma idea la pendiente es tomar la diferencia de las coordenadas en c medios menos 0 otra vez nos queda se medios en el numerador dividido entre b medios menos b medios aquí hay un menos hay que tener cuidado - - bm dios - y entonces voy a ponerle - bm dios - ah pero lo voy a poner como menos 2a entre 2 ya tienen este denominador común multiplicamos el numerador y el denominador por 2 se cancela este este y este y entonces la pendiente nos queda igual al c dividido entre menos b menos dos y muy bien ahora usamos la fórmula de punto pendiente para este punto de aquí y está pendiente nos queda que ye - 0 - 0 es igual a x menos a x menos ha multiplicado por la pendiente por ser dividido entre menos b -2 a esto está padrísimo ya tenemos estas dos ecuaciones entonces ya conocemos las ecuaciones de las rectas así que nada más hay que interceptar las para encontrar pues las coordenadas del centro y de ba bueno pero justo interceptarlas quiere decir igualar las expresiones en por ejemplo entonces tendríamos que igualar esta con esta y vamos a ver que nos quedan vamos a ver que nos queda de coordenada en x x + b x se dividido entre a más 2 b2b debe ser igual a x menos a x men x c dividido entre menos 2 b entre v menos 2 a entre menos b menos dos años bueno aquí podemos cancelar se conoce porque se no es cero si se fuera a cero tendríamos que el punto está aquí y no sería un triángulo de adeveras no tendría dos mil dos dimensiones entonces pues vamos a cancelarse ahora vamos a multiplicar cruzado está para acá y está para acá y nos queda lo siguiente voy a tomar el color blanco nos quedaría x x x menos b -2 a menos b - 2 luego multiplicar este por b o sea nos quedaría menos b cuadrada menos 2 ave y eso sería igual a multiplicar x por este de acá a más 2 b2b y luego a más 2 b por menos o sea menos a cuadrada menos 2 ave hay menos dos aves de los dos lados los cancelamos vamos a vamos a restar x por a más 2 b y vamos a sumar b cuadrada de los dos lados con la idea de de dejar las x de un mismo lado y las constantes de otro entonces restamos x x + 2 b y sumamos b cuadrada aquí está se cancela con esta está con esta esfera la idea y nos queda lo siguiente a ver nos quedaría x x menos b -2 b o sea menos 3 b -2 a menos a o sea menos 3 a es igual a ve cuadrada menos a cuadrado ve cuadrada menos a cuadrado déjame factorizar aquí un -3 entonces tenemos menos 13 x x b menos a por ver más a hay que ser cuidadosos ve más a es igual a de menos a aquí es una diferencia de cuadrados por b más y de aquí podemos cancelar ve más a con ve más a a no es igual a menos b porque si no este punto sería igual este punto y otra vez no tendríamos un triángulo entonces podemos cancelar sin problema y por lo tanto x nos queda igual a dividimos entre menos tres de ambos lados nos queda igual abm nos ha dividido entre menos tres o bien a menos b a menos b entre 3 entonces esto está re bueno ya tenemos la coordenada en x la coordenada en x de nuestro centro y entonces déjame trazar aquí una perpendicular para marcar que esto es la coordenada en x entonces ya sabemos que esto es a menos b entre 3 y esto nos debería dar una pista de qué bueno sabes que ahorita no te voy a contar mejor vamos a seguir y hábitat vas a ver a qué me refiero entonces ya tenemos la coordenada x y con esta coordenada en x podemos encontrar la coordenada en ye sustituyendo en cualquiera de estas dos vamos a hacerlo con esto con esto ya casi de la derecha no importa cuál sea cualquiera funciona entonces déjame tomar el color azul nos quedaría que en es igual a x - o sea a b tercios menos a menos a x c / / / menos b -2 a pero observa que menos a es lo mismo que menos tres tercios entonces al hacer al hacer esta resta nos queda a menos tres a o sea nos quedaría menos 2 a menos b - b dividido entre 3 x c / / menos b -2 a y b esto está padre este de acá déjame agarrar el color cuál color sería bonito agarras pues éste éste como rosita entonces este menos 2 a menos b se cancela con esteve menos 2 a y entonces nos queda que la coordenada en del centro y desigual hace ce tercios entonces eso está muy bueno aquí tenemos que la altura que la altura de aquí acá es de tercios tercios o sea la altura de aquí acá este tercios este ángulo de aquí el recto entonces al bajar una perpendicular corta en una altura de tamaño de tercios vale entonces ya tenemos las coordenadas del centro que son a menos de tercios con más de tercios y ahora podríamos intentar utilizar la fórmula de distancia pues así con con coordenadas pero no voy a hacer eso ahorita de hecho te invito a hacerlo por tu cuenta sin embargo lo que voy a hacer ahorita es algo que simplifica un poco las cuentas y bueno no va a tener que utilizar la fórmula de distancia sino un argumento de semejanza va entonces ve lo que vamos a hacer es lo siguiente déjame trazar la mediana ahora desde este vértice de acá entonces voy a agarrar este color como rosa y voy a trazar la mediana desde aquí como sabemos esa mediana esa mediana también pasa por el centro hoy d y llega acá el punto medio vale llega acá al punto medio pero esta mediana justo nos ayuda a construir dos triángulos semejantes este de aquí arriba con este de acá con este grandote ahora lo que nosotros queremos mostrar es que el centro y de esta a dos tercios de la distancia es decir queremos ver que este punto divide en razón uno a dos o bien que esta distancia entre toda esta de acá es más déjame ponerle nombres a ver si alcanzan los colores pero bueno queremos ver queremos ver que esta distancia de acá le vamos a llamar de entre la distancia total que déjame llamarle l / l rl es igual a dos tercios si logramos probar eso ya terminaríamos pero ve justo vamos a utilizar las semejanzas de este triángulo con este de acá para encontrar la razón de entre l o sea de este lado entre todo este de acá observa que estos dos triángulos son semejantes son semejantes porque tienen este ángulo en común el ángulo recto que que salió justo de de trazar el punto para encontrar la coordenada y este de acá que también es recto porque es donde se intersectan los ejes entonces tienen este ángulo recto y este ángulo del rector de aquí pero además tienen el ángulo de aquí arriba en común el ángulo entre la altura y la mediana entonces estos dos triangulitos que aquí están un poco apretados pero espero que se vean bien estos dos triangulitos son semejantes y como son semejantes las razones de lados correspondientes tienen que ser las mismas entonces vamos a ver que nos queda de d entre l las razones de las razones la razón de las hipotenusa d / l d / l pues eso nos queda justo igual a este cateto de aquí entre toda esta distancia pero sabemos que este cachito de aquí abajo s tercios entonces el de aquí arriba este de aquí arriba este de acá es dos tercios de ce es dos tercios de c vale entonces esta razón de entre l es igual a la razón de dos tercios de c dividido entre el total mientras el total que es c y esto de aquí es igual a dos tercios entonces con esto terminamos con esto logramos mostrar que de entre el este entre éste es igual a dos tercios y eso es justo lo que queríamos y bueno a partir de eso pues ya podemos decir varias cosas porque si sí de esos dos tercios del total de la distancia entonces él es un tercio y por lo tanto se mide el doble de él y así el centro y de parte de la mediana en razón uno a dos o bien si quieres dos a uno bueno entonces esta de aquí es la prueba en el plano es una prueba en dos dimensiones y con esto ya tenemos dos pruebas una en tres dimensiones donde las coordenadas quedando un poco más sencillas y esta de acá esta de acá que es en dos dimensiones que tuvimos que hacer un poco de analítica encontrar intersecciones de rectas y algunas otras cosas que tienen que ver con cuentas pero afortunadamente al final no nos salvamos de encontrar la distancia utilizando un argumento de semejanza vale entonces esa fue la idea de la prueba y también te invito a que tú la termines utilizando la fórmula de distancias pero bueno independientemente de todo esto este resultado es bien útil el centro hoy de esta a dos tercios de la distancia aparte de la mediana en razón 1 a 2 y ese resultado lo vamos a utilizar en otros vídeos para resolver algunos problemas