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Contenido principal
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Demostración de la fórmula del área del circunradio

Transcripción del video

en este vídeo queremos encontrar una relación entre el área de un triángulo y el radio de su circuncisión deja de pintar por aquí el circo un círculo del triángulo porque va a ser más fácil hacerlo así y por aquí el triángulo va entonces tenemos un triángulo más o menos algo así pongamos que se ve algo de este estilo que este vértice se llama a estevez estevez y esté aquí ese vale y que este lado se llama a minúscula bueno tiene longitud a minúscula éste se llama be minúscula y ese minúsculo bueno entonces queremos encontrar una relación entre el área del triángulo y el radio del circo un círculo o sea el circo un radio vamos a empezar con el área para determinar el área del triángulo abc vamos a necesitar una altura entonces déjame dibujarla por aquí entonces debe vamos a bajar una altura hace vamos a pensar que aquí llega a un punto a punto e y digamos que esta altura me de h h ok entonces sabemos por la fórmula del área de un triángulo que el área de este triángulo el área del triángulo abc que se denota con corchetes a de c es igual a un medio un medio de la base por la altura aquí la base sería de minúscula y un medio de b d minúscula x h x h muy bien ahora vamos a pensar un poco en términos del circo un círculo aquí tenemos el circo un círculo que es el conjunto de puntos que que distan del círculo centro y el radio es decir un radio la distancia de este punto a los vértices de acá bueno lo que vamos a hacer es que vamos a tomar un diámetro que pase por b es decir tenemos que tomar una recta que pase por b y por el centro déjame tomar la herramienta de recta para que se vea más más bonita entonces creo que algo así no seguir un poco más para acá algo a si está bien vale entonces tomamos un diámetro por b y entonces ese diámetro pasa por este punto deja de llamarle o circunspecto vale bueno aquí al punto diametralmente opuesto debe vamos a llamarle de y lo que vamos a hacer es que vamos a construir el triángulo a b d entonces déjame trazar está esta otra este otro segmento de aquí vale bueno observa que tenemos los triángulos a b d y e bs voy a mostrar que esos dos triángulos son semejantes y para eso vamos a utilizar varias de las cosas que ya vimos vale aquí como tenemos un diámetro b de entonces el ángulo ve a de es un ángulo de 90 grados esto lo mostramos en en alguno de los vídeos de la lista de geometría pero la prueba no era muy difícil ya lo podemos pensar así este es un ángulo inscrito que tiene que ver con este arco de acá pero este arco mide 180 grados porque claramente aquí tenemos una línea recta verdad entonces estoy aquí me de la mitad de 180 grados y por lo tanto es un ángulo de 90 grados bueno entonces aquí tenemos 90 grados pero observa observa que además este arco de aquí este cálculo de aquí está su tendido por dos ángulos inscritos para empezar este ángulo inscrito de aquí se obtiene al arco ave y además este ángulo inscrito de aquí también su tiende a largo ave entonces estos dos ángulos tienen que ser iguales ambos son iguales a la mitad de la longitud de este arco vale bueno pues eso nos va a permitir concluir que los triángulos ave de jbs son semejantes porque observa tienen un ángulo recto ambos aquí está en nada y aquí está n y además tienen el ángulo naranja en común el ade b es congruente al que se ve entonces son dos ángulos o dos triángulos con dos ángulos en común por lo tanto el tercero también tiene que ser igual al tercero estoy aquí es igual es de acá y por lo tanto son dos triángulos semejantes vale déjame apuntarlo por acá tenemos que el triángulo el triángulo ave de a de de es semejante al triángulo bs al triángulo e b sé si estoy aquí es por el criterio ángulo ángulo ángulo bueno eso está padre porque ahora vamos a poder escribir los las razones entre los lados de estos de ángulos con una cierta relación verdad entonces dejan escribir cómo quedaría tenemos que se entrevé de este lado entre la hipotenusa y la hipotenusa es simplemente dos veces es decir un radio verdad lo voy a poner por acá voy a poner en color con este azul de la semejanza tenemos que se entre el diámetro o sea dos veces el círculo radio es igual a íbamos a los lados correspondientes aquí tenemos este lado que es el rey entre el recto y el verde que seguía este a oeste de aquí entre el reto y el verde entonces sería el correspondiente sería h / / la hipotenusa aquí la hipotenusa el 12 red pero en el pequeño la hipotenusa mide sería h / a muy bien entonces aquí ya tenemos una relación con ave hr y aquí tenemos otra que tiene al área b y h entonces se ve que ya estamos en el último jalón verdad ya nada más tenemos que de alguna forma a sustituir el valor de h aquí abajo y con eso terminaríamos cómo le vamos a hacer podríamos despejar h aquí y luego ponerlas y vamos a hacer eso vamos a despejar h de este término va entonces para despejar h debemos deshacernos de él un medio debe para eso déjame multiplicar por 2 b2 entrevé perdón 2 / b del lado derecho por 12 / b del lado izquierdo aquí la b y el 2 se cancelan y nos queda el valor de h nos queda que h es igual a dos veces el área del triángulo a vez en dos meses el área del triángulo triángulo a b se abc dos veces / / / b / b la longitud del lado del lado hace vale bueno ahora este valor de h no podemos sustituir aquí abajo vamos a ver qué nos queda nos quedaría voy a tomar otro color para que no sea tan monótono nos quedaría que se ha dividido entre dos veces el radio es igual a h que es dos veces el área de el triángulo abc / / b y todo eso dividido entre a saleh porque nada más cambiar esta h entonces todo eso es / / a y bueno el lado derecho lo podemos simplificar un poco nos quedan dos veces el área del triángulo abc abc y aquí estamos dividiendo entre b y luego entré a y eso es lo mismo que dividir entre ave ave ya nada más falta hacer algunas manipulaciones algebraicas vamos a multiplicar cruzado este ave para acá y es de 12 para acá entonces nos quedaría nos quedaría que abc el producto de las longitudes de los lados es igual a 2 x 2 644 veces erre que erre el circo un radio x el área de a bs simplemente lo que hicimos fue multiplicar por doce rr ave de este lado por 12 rr por ave de este lado este se cancela con éste éste se cancela con éste y obtenemos esta expresión va bueno pues ya terminamos básicamente ahora simplemente hay que hay que despejar r para eso voy a multiplicar por ambos lados por el recíproco de cuatro veces el área entonces multiplicando por eso explicando por eso me queda aquí es uno entre cuatro veces el área de el triángulo abc de este lado nos queda pues uno entre cuatro veces el área de javi c a b c de este lado esto se cancela éste y éste se cancelan con éste y entonces nos queda que erre voy a agarrar un color brillante nos queda que erre bueno más brillante todavía queda que erre el circo un radio es igual es igual al producto de los lados igual a a b c / / entre cuatro veces cuatro veces el área del triángulo a b c y listo con esto encontramos una relación entre el circo un radio y el área del triángulo abs y también puedes pasar esta vez se paga y el radio acá multiplicando por el recíproco de aves entre re entonces también nos queda que el área de abc de abc es igual a el producto a orbe por se ha dividido entre cuatro veces cuatro veces el circulado y entonces eso está padre si por alguna razón tienes los lados del triángulo a b y c y la longitud del circuito radio o la medida decir con radio entonces puedes determinar el área