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Contenido principal
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Tres puntos definen una circunferencia

Transcripción del video

sabemos que si tenemos tres puntos no alineados en el plano entonces existe un único triángulo que pasa por esos tres puntos por ejemplo si este es el punto a este el b y este el c entonces hay un único punto que tiene a abc como vértices y para construirlo simplemente trazamos los segmentos a b b c y c a bueno pero además sabemos que si tenemos un triángulo entonces existe un único punto que es equidistante a los tres vértices y para construir ese punto lo que tenemos que hacer es trazar las tres media tristes de los lados y como ya vimos en vídeos anteriores estas siempre se van a interceptar en un único punto o bien se van a cortar en un único punto y ese punto es el que nos interesa es el punto equidistante a a b y c entonces déjame trazar las media tristes aquí en la media triz de ave más o menos déjame dar a la herramienta de línea más o menos sería algo así va entonces es una recta que es perpendicular al ave y pasa por su punto medio este es igual a éste luego la media triz de veces sería más o menos así algo de este estilo quizás un poco más para acá así se ve bien entonces otra vez aquí es perpendicular y pasa por el punto medio éste es igual a este de acá y finalmente la media triste hace sería algo de este estilo vale pasaría pasaría por el punto medio va a ser un poco más derechista pasaría por el punto medio de hace entonces éste es igual a éste y sería perpendicular a hace bueno ahí están las tres media tristes y el punto en el cual se intersectan le llamamos o y es el círculo centro del triángulo le llamamos el círculo centro del triángulo entonces o es el circo un centro cirque un centro todo esto parece un repaso pero ahorita nos va a llevar algunas ideas interesantes vale bueno este punto o que es el círculo centro justo es el punto que equidista de los tres vértices es decir hago es igual a veo y esto es igual a c entonces déjame escribirlo por acá es igual a veo que es igual a cero y a esta distancia que es igual para este par este y para este le llamamos el circo un radio sin radio radio bueno y esto nos llevaba a otra idea interesante verdad porque cada que tenemos un punto en el plano y una distancia entonces existe una única circunferencia que tiene a este punto como centro ya esta distancia como radio vale es más déjame hago por acá deja deja algo por acá un dibujo entonces si tenemos por ahí un centro y tenemos una distancia a r entonces existe una única circunferencia que tiene a este punto como centro y a esa distancia r como radio y lo que acaba sucediendo es que esta circunferencia es el conjunto de puntos que están a distancia r de el centro entonces todas estas longitudes son r r y r bueno con esto en mente podríamos aplicar esta idea acá ya tenemos un centro tenemos un radio y entonces podemos considerar la circunferencia con centro en popa y con radio y entonces esa circunferencia debe de pasar por los tres vértices déjame ver si la puedo dibujar con la herramienta de círculo y que quede más o menos decente entonces quedaría algo de este estilo muy bien quedó muy bonita ok entonces ya tenemos la circunferencia pasa por los tres vértices todo esto es un repaso pero vamos a juntar todas las ideas que tenemos para ver que hay una idea bonita detrás de todo esto entonces lo que dijimos es que si tenemos tres puntos tres puntos no alineados no alineados entonces existe un único triángulo que tiene esos puntos como vértice entonces único único único triángulo que tiene esos tres puntos como vértices pero este triángulo tiene un único circo un centro y un único circo un radio vale entonces tiene un único único circo un centro un centro y tiene un único único circo un radio radio y un radio bueno y si tenemos un centro y un radio entonces con eso podemos construir una única única circunferencia sí herencia circunferencia va entonces a esa única circunferencia le llamamos el circo un círculo o bien la circunferencia circunscrita pero bueno o sea esto lo que nos dice es lo siguiente nos dice que cada vez que tenemos tres puntos en el plano entonces existe una única circunferencia que pasa por esos tres puntos y eso está bien interesante pero lo que está todavía más interesante es que es lo mínimo que necesitamos si sólo tuviéramos dos puntos digamos aquí un punto xy aquí un punto y entonces estos no bastan para determinar una circunferencia porque en realidad estos dos puntos podrían hacer muchos triángulos verdad podrían hacer digamos este triángulo o bueno que era un poco chueco pero bueno podrían hacer ese triángulo o bien este triángulo de acá o quizás uno por abajo vale uno por abajo por acá entonces todos estos triángulos pues bueno parecería que tienen un centros distintos y el con radios distintos y entonces en realidad hay varias circunferencias que pasan por equis y por jay bueno esta idea está interesante ahora quiero mostrarte otra idea que también está bien padre una pregunta que nos podemos hacer es la siguiente imagínate que ahora empezamos con un circunferencia entonces ahí está un punto y voy a trabajar me una circunferencia cualquiera con ese punto como centro vale y lo que vamos a hacer ahora es tomar tres vértices sobre la circunferencia entonces la pregunta es la siguiente será cierto que el cirque un centro del triángulo hecho por esos tres vértices de adeveras es el centro de la circunferencia está interesante la pregunta verdad está padre vamos vamos a jugar un poco con la pregunta para ver si es cierto o sea parecería ser que sí pero a lo mejor hay algunos casos que no son tan intuitivo entonces vamos a hacer el dibujo entonces digamos no sé imagínate que tenemos aquí un punto un punto a un punto a por acá un punto b y vamos a hacer que el centro de la circunferencia quede fuera del triángulo a veces digamos que por acá que del punto c vale entonces tenemos este triángulo entonces la pregunta sera bien la pregunta en este caso es será cierto que el circo un centro de abc es el centro de esta circunferencia pues parecería ser que no oa lo mejor no no no podemos estar tan seguros así directamente porque para empezar está fuera entonces como podría ser un centro si está fuera del triángulo bueno pues es algo importante no está dentro o si está fuera sino ver si de adeveras está sobre las tres media triz es verdad entonces bueno para eso lo que vamos a utilizar es que estoy aquí es una circunferencia y como es una circunferencia entonces todos todos los puntos que están marcados en blanco equidistante este punto de acá vale una misma distancia r en particular a b y c están a una cierta distancia r de este punto de aquí entonces déjame marcar estos segmentos este mide lo mismo que éste y mide lo mismo que éste todos esos miden un cierto radio r r r r vale entonces observa a partir de eso podemos ver que este punto que el centro de la circunferencia está en todas las media triz es porque por ejemplo qué sucede si nos tomamos la media triz del lado ave digamos esta de acá que voy a pintar en color verde voy a usar colores distintos para no confundirnos bueno pues esa media actriz tiene que pasar por o porque como ya vimos en otro vídeo cualquier punto que existe de ahí debe pasa por la media triz de del segmento ave entonces en efecto o déjame llamarle en el centro de esta circunferencia está en la media triz de ave entonces esta de aquí es la media triz aquí es recto y éste es igual este de acá de manera similar o tiene que estar en la media triz de veces porque v es igual a 11 los dos son iguales al radio entonces o equidista dvd c y entonces como ya vimos en el vídeo anterior tenemos que o tiene que estar sobre la media triz este efecto este efecto y este de acá es igual a este de acá y finalmente repitiendo el argumento para hacer tenemos que o también debe estar en la media triz d ya hasta te vas a cansar del argumento pero es la misma idea es igual a cero porque son iguales al radio entonces o equidista de a y de c y por lo tanto concluimos concluimos déjame agarrar otro color que está en la media triz de hace vale entonces más o menos más o menos es algo así más o menos es algo así aquí es perpendicular perpendicular y este de acá es igual a este de acá vale entonces concluimos que está en las tres media tristes y por lo tanto o en efecto es decir un centro del triángulo a bs y esta circunferencia es decir un círculo o bien la circunferencia circunscrita del triángulo a b c y en realidad pues esta circunferencia puede ser el círculo círculo de muchos triángulos verdad aquí pitt el abc pero también podríamos tener otro triángulo por aquí abajo digamos este con este con este ahí tenemos otro triángulo con la misma circunferencia circunscrita o podría ser éste con éste vale entonces esta circunferencia tiene muchos triángulos de los cuales es circunferencia circunscrita