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Contenido principal
Tiempo actual: 0:00Duración total:9:50

Transcripción del video

aquí tenemos un triángulo a veces lo que quiero hacer en este vídeo es mostrar que el círculo centro del triángulo es decir el punto de intersección de las tres media triz es el centro del eje es decir el punto de intersección de las tres medianas y el [ __ ] centro h o sea el punto de intersección de las tres alturas del triángulo son co lineales es decir quiero ver que los puntos h están en una misma recta otra forma de pensarlo es que queremos ver que og y gh son segmentos en el segmento o h vale bueno para probar eso dibuje el triángulo medial de f es decir d efe son los puntos medios de los lados y vamos a utilizar varias cosas que ya sabemos acerca del triángulo medial para empezar vamos a utilizar la semejanza del triángulo abc con el triángulo de efe y esta semejanza está en razón 2 a 1 eso ya lo vimos en un vídeo anterior pero bueno para recordar esto de la razón 2 a 1 quiere decir que si tomamos una cierta distancia de puntos en el triángulo abc y nos fijamos en la distancia correspondiente de puntos en el triángulo efe entonces esas distancias están en razón 2 a 1 muy bien vamos a utilizar eso de ahí y además vamos a utilizar otra propiedad que probamos vamos a utilizar que o el círculo centro del triángulo abc al mismo tiempo es el [ __ ] centro del triángulo de e efe aquí está escrito vale o es el circo un centro de abc y el puerto centro del df eso es algo que también ya probamos en otro vídeo y de hecho de hecho lo utilizamos para ver que las alturas de un triángulo concurrían empezábamos con el triángulo de ef trazamos sus alturas trazamos el abc osea de tal forma que de efe fuera el medial y las alturas del df se convertían en las media tristes de abc las cuales ya sabíamos que concurrían y por lo tanto las alturas del df con julia pero bueno lo importante es recordar esto de que el circo un centro del triángulo abc es el [ __ ] centro del triángulo medial desde bueno ahora sí vamos con el plan de la demostración lo que nos gustaría probar es lo siguiente nos gustaría probar una semejanza de triángulos lo voy a poner por acá nos gustaría probar que el triángulo efe og efe es semejante al triángulo efe efe og semejante al triángulo c hg el triángulo c hg porque nos gustaría hacer esto imagínate que lo logramos si así fuera entonces los ángulos correspondientes serían congruentes entonces el ángulo f sería congruente al cg h y como tenemos que cf si es una recta porque es la mediana verdad y me pasa por qué porque es el centro jde entonces la igualdad de estos ángulos nos daría que o h si es una transversal de adeveras es decir un g h de adeveras es una recta vale otra forma de pensarlo es con ángulos opuestos por el vértice si este ángulo es igual este de acá como esta de aquí ya es una recta y estos son ángulos opuestos por el vértice iguales entonces h o bueno también tendría que ser una recta vale bueno entonces vamos a intentar mostrar esta semejanza de acá déjame empezar con unos ángulos veamos que se x es perpendicular a b este x es donde se h corta a ave y es perpendicular porque ese h es una altura del triángulo abs ya que h es [ __ ] centro vale bueno entonces c x es perpendicular a ave pero de manera similar o efe es perpendicular a b porque o efe es una media triz del triángulo abs entonces tenemos que las rectas efe y c x son ambas perpendiculares a ave y por lo tanto son paralelas entre sí podemos pensarlo no sé a lo mejor con ángulos correspondientes congruentes vale bueno entonces eso lo que nos dice es que el segmento lo voy a pintar con color naranja nos dice que el segmento f efe o el segmento de feo es paralelo al segmento ch el segmento c h vale y de esta de estos dos segmentos paralelos podemos concluir la igualdad de los ángulos alternos internos de alguna transversal y la que sí sabemos que es transversal es cf vale ggf si es una recta es una mediana y es transversal a efe o y a ch entonces los ángulos alternos internos son congruentes esto lo que quiere decir es que este ángulo de acá es igual a este ángulo de acá y en letras de eso es que el ángulo o fg el ángulo o fg es congruente al ángulo hcg al ángulo h ese eje muy bien entonces ya tenemos una igualdad de ángulos en estos dos triángulos parece ser que vamos bien ahora vamos con un poco de razones recordemos que el centro de un triángulo divide a la mitad en dos segmentos que están en razón dos a uno vale otra forma en la cual lo decíamos es que está a dos tercios de la mediana recorriendo del vértice al punto medio pero bueno déjame escribir eso por acá en algún lado lo que acabo de decir es que se mide el doble que gf entonces lo voy a poner a 15 g cg que son una eso fue una je je je je es igual a dos veces dos veces efe je vale entonces éste es la mitad de este de acá vale entonces como que se ve que es lo que planeo hacer verdad ya mostré que este el cg es el doble de fg ya mostré que el ángulo o fg es congruente al hsg entonces bastaría ver que ese h es el doble de efe o para concluir que estos dos triángulos son semejantes con eso lograríamos que lograríamos ver que dos parejas de helados están en las son dos a uno y el ángulo entre ellos el ángulo entre ellos es el mismo y por lo tanto concluiríamos que de a de veras son triángulos semejantes entonces pues lo que nos convendría es ver si la de veras ch es el doble de efe pero pensemos un ratito en quién es e h ch es el segmento que va de el vértice del triángulo a abc alberto centro h va entonces va del vértice al [ __ ] centro y quien este feo pues en el en el triángulo de f también es un segmento que va del vértice al [ __ ] centro porque es el [ __ ] centro de d efe entonces tenemos que son segmentos correspondientes en los triángulos y por lo tanto esos segmentos deben de estar en razón 2 a 1 déjame escribirlo por acá entonces vamos a ponerlo con otro color verde si este verde se ve bien entonces tenemos que se h ch es el doble del doble de f y déjame dejar esto esto clarísimo porque esa es una idea este muy importante para la demostración tenemos que ese es el punto correspondiente a efe en esta semejanza se es el correspondiente a efe pero además h es el otro centro de abc y es el [ __ ] centro de d efe entonces h es el punto correspondiente ao en la semejanza de esta forma el segmento c h el segmento correspondiente al f o en la semejanza y como los triángulos están en razón 2 a 1 entonces se mide el doble de f vale bueno espero que esta explicación ya haya sido mucho más clara eso es algo súper importante bueno entonces que logramos hasta ahorita ya logramos mostrar que este segmento en el cg mide lo doble que el jefe ya también ya también mostramos que ese h ch mide lo doble que f lo doblé qué feo y finalmente finalmente vimos que este ángulo entre esos lados que ya vimos que están en razón 2 a 1 es igual a este ángulo a este ángulo de acá entonces eso está súper padre verdad ahora podemos aplicar el criterio lado ángulo lado de semejanza para concluir para concluir la semejanza que queremos entonces lo voy a poner aquí por el criterio criterio lado ángulo lado de semejanza tenemos tenemos que el triángulo efe es que quedó horrible fg es semejante al triángulo ce hg hg y eso es justo lo que queríamos probar ahora si el argumento se termina como te decía hace rato ya que tenemos que esos dos triángulos son semejantes entonces sus ángulos correspondientes son congruentes entonces el ángulo f estoy acá es congruente al ch a este de acá pero el más importante y es el que nos ayuda a terminar la demostración es el otro es decir que el ángulo f fg es congruente al ángulo cg h el ángulo c a este de acá bueno y de esta igualdad de ángulos que voy a poner por acá el ángulo éste efe fg frente al eje h al ángulo cg h el argumento se termina como como ya te dije tenemos tenemos que og h de adeveras es una transversal o bien pensándolo con ángulos opuestos por el vértice estos dos ángulos son ángulos opuestos al vértice g efe cda de veras es una recta entonces tenemos que og h deben de estar alineados vale entonces esto está padrísimo esto no tiene aquí una idea muy simple pero que es una idea muy profunda siempre tenemos que decir que un centro el centro hoy de y el [ __ ] centro de un triángulo están alineados y la recta maravillosa en la cual siempre están se le conoce como la recta de hoy leer