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Demostrar que las medianas de un triángulo se intersecan en un punto

CCSS.Math:
HSG.CO.C.10

Transcripción del video

El objetivo de este video es demostrar  que las tres medianas de un triángulo   siempre se intersecan en un punto, lo cual  es bastante interesante porque esperarías   que dos rectas diferentes con diferentes  pendientes se intersequen en un punto,   pero tres rectas que se intersecan en un punto es  bastante genial, y esto se cumple para todos los   triángulos. Para hacer esta demostración dibujé un  triángulo arbitrario aquí, puse un vértice en el   origen para simplificar los cálculos y luego otro  vértice en el eje X, y les he dado coordenadas:   este de aquí está en 0,0, este otro de aquí, sólo  estamos diciendo que la coordenada X es a y que   es coma 0 (a,0); este de aquí arriba tiene alguna  coordenada X y alguna coordenada Y que sólo vamos   a llamar b y c. Este es un triángulo arbitrario,  y si tuviera algún otro triángulo que tuviera las   mismas dimensiones que este, y las dimensiones  de este pueden ser cualesquiera porque no hemos   definido a, b y c, podrías mapear este triángulo  a cualquier otro triángulo usando transformaciones   rígidas. Entonces, si podemos demostrar que las  medianas de este triángulo general siempre se   cruzan en un punto, esto será cierto para todos  los triángulos. Así que ahora vamos a dibujar   las medianas. Vamos a dibujar rectas desde cada  vértice hasta el punto medio del lado opuesto,   entonces hemos dibujado todas las medianas y,  en efecto, parece que se intersecan en un punto;   pero para demostrarlo pensemos en cuáles son las  coordenadas de los puntos medios de cada uno de   estos lados. Entonces, ¿cuál es la coordenada  aquí? Pausa el video y piensa en esto. Bueno,   este será el punto medio entre este punto  superior y este punto inferior derecho,   esta longitud es igual a esa longitud, y puedes  calcular el punto medio como el promedio de cada   una de las coordenadas. Así que la coordenada X de  aquí será el promedio de b y a, podemos escribir   esto como a + b / 2; y luego la coordenada Y  será el promedio de c y 0, esto sería c + 0 / 2,   o simplemente c / 2. Y podríamos hacer eso para  cada uno de estos puntos, en este punto aquí su   coordenada X será el promedio de 0 y a, esto es  sólo a / 2, y su coordenada Y será el promedio   de 0 y 0. Puedes ver que se encuentra sobre el eje  X por lo que su coordenada Y es 0. Y por último,   pero no menos importante, ¿cuál es la  coordenada de este punto? Pausa el video   e intenta resolverlo. Muy bien, la coordenada  X será el promedio de b y 0, que es b / 2,   y luego la coordenada Y será el promedio de c y 0,  que es c / 2. La forma en que voy a demostrar que   las tres medianas se intersecan en un punto único  es mostrándote una coordenada que se encuentra en   las tres rectas, si se encuentra en las tres  rectas ese debe ser el punto de intersección,   y este punto de interés está a ⅔ del camino hacia  cualquiera de las medianas. Entonces, una forma   de pensarlo es que la distancia entre el vértice  y este punto es ⅔ de la longitud de la mediana,   así que si sólo observamos esta mediana azul, la  coordenada de este punto que está dos veces más   lejos del vértice que del lado opuesto, será  un promedio ponderado de las coordenadas X y   Y. Cuando encontramos el punto medio y las  cosas tenían la misma distancia, tú también   calculaste las coordenadas, entonces sólo tomaste  su promedio, pero si está más cerca de este lado   tomarás el promedio ponderado que corresponda,  por lo que serán ⅔ (a + b / 2) + ⅓ (0), y luego la   coordenada Y será ⅔ (c / 2) + ⅓ por la coordenada  Y aquí, que es igual a 0. Ahora, una vez más, ¿por   qué tenemos este ⅔ y esta ponderación de ⅓? Porque  estamos dos veces más cerca de este punto que de   este punto. Ahora, si quisiéramos simplificarlo,  ¿qué obtendríamos? Pues este 2 se cancelaría con   este otro 2 y esto es 0, entonces obtendríamos a +  b / 3 para la coordenada X y para la coordenada Y,   esto es 0, este 2 se cancela con este 2 y  obtenemos c / 3. Así que acabamos de encontrar   un punto que efectivamente se encuentra en esta  mediana azul. Ahora hagamos un ejercicio similar   con esta mediana de color rosa. Para la mediana  de color rosa ¿cuál es la coordenada del punto   sobre esta recta que está dos veces más lejos  del vértice que del lado opuesto? Bueno, sería   exactamente el mismo ejercicio: ponderamos al  doble estas coordenadas, por lo que la coordenada   X sería ⅔ • b / 2 + ⅓ • a, y luego la coordenada  Y sería ⅔ • c / 2 + ⅓ • 0, y ¿qué resulta? Bien,   veamos: este 2 se cancela con el otro 2 y nos  quedamos con b / 3 + a / 3, que es lo mismo que   a + b / 3, y por acá esto es 0, estos se cancelan  y nos queda c / 3. Noten que la misma coordenada   se encuentra tanto en la mediana azul como en la  mediana rosa, por lo que ese debe ser el punto   donde se intersecan. Veamos si esto también se  cumple para la mediana anaranjada. Para la mediana   anaranjada haremos exactamente lo mismo. Te  invito a que pauses el video y trates de calcular   por tu cuenta el valor de este punto. ¿Cuál es la  coordenada de este punto sobre la recta anaranjada   en donde esta distancia mide el doble de largo  que esta distancia? Hacemos lo mismo, ponderamos   al doble estas coordenadas de aquí, por lo que la  coordenada X de este punto va a ser ⅔ • a / 2 + ⅓   • b, y la coordenada Y va a ser ⅔ • 0 + ⅓ • c. ¿A  qué es igual esto? Esto se cancela con esto, a /   3 + b / 3 que es lo mismo que a + b / 3, y de este  lado esto es igual a 0 y nos queda c / 3. Noten   que acabamos de demostrar que exactamente la misma  coordenada se encuentra en las tres medianas,   por lo tanto las tres medianas se van a intersecar  en ese punto porque este punto existe en las tres   rectas. Es lo que acabamos de demostrar, y esto se  cumple para este triángulo arbitrario, y podemos   hacer que este triángulo tenga cualquier dimensión  que se nos ocurra con sólo asignar valores para a,   para b y para c. Y si vemos un triángulo que tiene  las mismas dimensiones, pero está trasladado o   tiene una orientación diferente, podemos hacer  transformaciones rígidas, las cuales no cambian   algunas de las dimensiones, y podemos demostrar  que esto también se cumplirá para ese triángulo.