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Demostración: rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas opuestas

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es usar unos argumentos geométricos para demostrar que las pendientes de líneas perpendiculares son recíprocas y negativas entre sí aquí tenemos las líneas lm que son perpendiculares se intersectan con un ángulo recto ahora vamos a poner algunas otras líneas aquí que nos ayuden con nuestro argumento geométrico vamos a dibujar una línea horizontal que interese acá a estas líneas en este punto de aquí y a este punto le vamos a llamar punto a esta es nuestra línea horizontal que sea intersec aena y vamos a dibujar unas líneas perpendiculares a esta línea que acabamos de dibujar ponemos una línea vertical aquí y ponemos otra línea vertical acá aquí tenemos 90 grados y aquí también tenemos 90 grados esta línea de arriba es horizontal y dibujamos dos líneas verticales así que estos ángulos son ángulos rectos y ahora vamos a definir algunos puntos ya tenemos el punto a aquí este es el punto b este el punto c este es el punto d y este es el punto ahora pensemos en cuál será la pendiente de la línea l vamos a mover un poco esto la pendiente de l que va a ser podemos ver a la línea l como la línea que conecta a los puntos c ya así que podemos decir que la pendiente de l también es la pendiente del segmento c a l es la línea sea para encontrar la pendiente tenemos que calcular el cambio en g y dividirlo entre el cambio en x nuestro cambio en que va a ser se ve la longitud del segmento c b este es nuestro cambio en g se ve entre nuestro cambio en x que es la longitud del segmento b / b y ahora cuál es la pendiente de la línea m la pendiente de m o también podemos decir que es la pendiente de la línea a e y la pendiente del segmento a y nuevamente va a ser el cambio en g entre el cambio en x el cambio en y va a ser vamos a ir desde aquí desde este nivel desde el punto de hacia abajo hasta el punto e también lo pudimos haber dibujado en este lado de la aee es nuestro cambio en ye y podríamos sentirnos tentados a decir bueno este es el cambio en la longitud del segmento d pero recuerden que esta ya se está de crem entando así que vamos a restar esta longitud ya que pasamos de este nivel de y hacia este otro nivel de iu y cuál es nuestro cambio en x pues conforme pasamos de aaee nuestro cambio en x va a ser la longitud segmento d así que la pendiente de m va a ser menos d / a d va a ser menos d es menos porque estamos bajando el nivel en y entre el segmento ade y quizá alguno de ustedes ya está inspirado con lo que ya escribimos porque ahora sólo tenemos que establecer que estos dos triángulos el triángulo cb y el triángulo ade son semejantes y después podremos demostrar que estos son los recíprocos negativos de sus pendientes así que vamos a demostrar que estos triángulos son semejantes ahora digamos que tenemos este ángulo aquí cuya medida es x y digamos que aquí tenemos otro ángulo que mide ya sabemos que x + más 90 tiene que ser igual a 180 porque juntos son ángulos suplementarios así que puedo escribir que x más 90 más va a ser igual a 180 grados podemos restar 90 en ambos lados y nos queda que x + es igual a 90 estos son enunciados algebraica mente equivalentes y cómo podemos usar esto para encontrar los otros ángulos en estos triángulos pues digamos que x más este ángulo aquí abajo tiene que ser igual a 90 grados o podemos decir que x más 90 más algo más tiene que ser igual a 180 grados aquí estamos analizando el triángulo cb y la suma de los ángulos internos en cualquier triángulo siempre nos va a dar 180 grados así que x más 90 más que va a ser igual a 180 grados pues x más 90 más ya habíamos establecido esto aquí de forma similar aquí 90 más algo más tiene que ser igual a 180 grados usamos el mismo argumento ya sabemos que más 90 más x nos da 180 grados y noten que ya establecimos que el triángulo abc es semejante al triángulo ade ya que sus correspondientes ángulos internos son iguales ambos triángulos tienen un ángulo x un ángulo iu y el ángulo de 90 grados son triángulos rectángulos así que por ángulo ángulo ángulo uno de nuestros postulados de semejanza sabemos que el triángulo de a es semejante al triángulo a b c y esto nos dice que la proporción de los lados correspondientes en ambos triángulos será la misma así que vamos a encontrar la proporción de los lados correspondientes nosotros sabemos que la proporción de seve entre b va a ser igual al lado correspondiente de cb es el lado opuesto al ángulo x así que el lado correspondiente acb es el lado ade así que esto es igual a ave entre cuál es el lado correspondiente a vea vea es el lado opuesto al ángulo y así que en este otro triángulo el lado opuesto allí es el lado del ave entre de y esto de acá vimos al principio que es la pendiente del segmento l esto es la pendiente de l y cómo se relaciona esto con la pendiente de m noten que la pendiente de m es el recíproco de esto ya que tenemos a d / d y además tenemos este negativo de aquí así que esto es el recíproco negativo de la pendiente de m y aquí está acabamos de demostrar que si suponemos que m y l son perpendiculares y establecemos estos triángulos semejantes podemos mostrar que la pendiente de él es el recíproco negativo de la pendiente de m