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Demostración: rectas paralelas tienen la misma pendiente

Transcripción del video

lo que quiero hacer en este vídeo es demostrar que las líneas paralelas tienen la misma pendiente dibujemos unas líneas paralelas yo afirmo que estas son líneas paralelas ahora vamos a dibujar unas líneas transversales ahora vamos a dibujar una transversal horizontal y ahora vamos a dibujar una transversal vertical y estoy suponiendo estoy suponiendo que esta es una línea horizontal y esta es una línea vertical así que serán perpendiculares ya que la intersección de estas líneas forma un ángulo recto y ahora voy a usar unas propiedades de ángulos de líneas paralelas para establecer que este triángulo y este triángulo son semejantes y usaremos esto para establecer que estas líneas tienen la misma pendiente vamos a etiquetar unos puntos este es el punto a aquí el punto b punto ce punto d y punto primero vemos que el ángulo c va a ser congruente con el ángulo a ver ya que ambos son ángulos rectos este es un ángulo recto y este también es un ángulo recto también sabemos algo sobre ángulos correspondientes en donde una transversal atraviesa líneas paralelas este ángulo corresponde a este ángulo si vemos esta línea vertical que intersecta a estas otras dos líneas estos ángulos me dirán lo mismo serán congruentes ahora este ángulo de este lado del punto b también será congruente con este ángulo de acá ya que son ángulos verticales y ya hemos visto esto antes varias veces así que sabemos que este ángulo también será congruente con este ángulo de acá a veces se les llama ángulos internos alternos en líneas transversales y paralelas si vemos el triángulo cee'd y el triángulo ave y vemos que tienen dos ángulos en común y si tienen dos ángulos en común pues el tercer ángulo también será el mismo ya que este ángulo va a ser 180 menos este ángulo menos este otro ángulo y este otro ángulo de acá también será 180 menos estos otros dos ángulos vemos que estos ángulos correspondientes son iguales en ambos triángulos este ángulo mide lo mismo que este otro ángulo de acá este ángulo de aquí abajo mide lo mismo que el ángulo que tenemos aquí arriba y estos otros ángulos son ángulos rectos así que podemos decir que el triángulo de d es semejante al triángulo de s por ángulo ángulo ángulo todos los ángulos correspondientes son congruentes así que tenemos triángulos semejantes y en los triángulos semejantes la proporción de lados correspondientes van a ser iguales podemos decir que la proporción de b / ai va a ser igual a este lado / este otro lado y a este lado que el lado le corresponde en este otro triángulo el lado correspondiente a de ese lado s así que esto es igual a la proporción de cée entre el lado de él y esto se debe a que son triángulos semejantes así que una vez que establecemos que estos son triángulos semejantes podemos decir que la proporción de los lados correspondientes es la misma y ahora que es la proporción de entre a pues ésta será la pendiente de esta línea de aquí arriba es la pendiente de ave recuerden que la pendiente por ejemplo de esta línea va a ser el cambio en y entre el cambio en x así que cuando vamos de a a b nuestro cambio en x va a ser a e y nuestro cambio en y va a ser o como quieran verlo esto de aquí es el cambio en g y esto de acá es el cambio en x y ahora veamos esta otra expresión de aquí se entre de c entre d este es un cambio en g y este otro es cambio en x el cambio en g entre el cambio en x de la línea cede de la línea cede así que esto es la pendiente de cde y así al establecer semejanza entre estos triángulos podemos decir que la proporción entre los lados correspondientes es congruente lo que nos demuestra que las pendientes de estas dos líneas serán iguales y con esto terminamos