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Geometría

Curso: Geometría > Unidad 9

Lección 7: Ángulos inscritos
Matemáticas
Geometría
Círculos
Ángulos inscritos
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Demostración del teorema del ángulo inscrito

Google Classroom
Demostración de que un ángulo inscrito es la mitad de un ángulo centra que subtiende al mismo arco.

Para empezar

Antes de iniciar la demostración asegurémonos entender algunos términos sofisticados relacionados con círculos.
He aquí un pequeño ejercicio, para ver si puedes relacionar los términos por ti mismo:
Utiliza la imagen para relacionar las variables con los términos.
Se muestra un círculo con tres puntos. El segundo punto está a menos de noventa grados del primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados del segundo punto. Hay un arco formado por el primer y el segundo punto etiquetado como alpha. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto forma un ángulo etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.
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¡Excelente trabajo! Usaremos estos términos en el resto del artículo.

Lo que vamos a demostrar

Se muestra un círculo con tres puntos. El segundo punto está a menos de noventa grados del primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados del segundo punto. Hay un arco formado por el primer y el segundo punto etiquetado como alpha. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto forma un ángulo que mide cincuenta grados. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto mide veinticinco grados.
Demostraremos que algo interesante sucede cuando un ángulo inscrito left parenthesis, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis y un ángulo central left parenthesis, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis intersecan al mismo arco: la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito.
start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Resumen de la demostración

Para demostrar que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd para todo start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff y start color #11accd, \psi, end color #11accd (como las definimos antes), debemos considerar tres casos independientes:
Caso ACaso BCaso C
En el caso A se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto que pasa por el centro y el segundo punto está etiquetado como psi.
En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.
En el caso C se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.
Estos tres casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan al mismo arco.

Caso A: el diámetro es un rayo del ángulo inscrito start color #11accd, \psi, end color #11accd.

En el caso A se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto que pasa por el centro y el segundo punto está etiquetado como psi.

Paso 1: encuentra el triángulo isósceles.

Se muestran tres puntos, A, C y D, en el círculo con centro alrededor del punto B. El punto D está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el punto A. El punto C está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el punto A. El segmento de recta A C es un diámetro. El segmento de recta D C es una cuerda. Los segmentos de recta B A, B C y B D son radios que tienen una longitud de r unidades. El ángulo formado por los puntos A, B y D está etiquetado como theta. El ángulo formado por los puntos B, C y D está etiquetado como psi. Un ángulo formado por los punto B, D y C está etiquetado como psi.
Los segmentos start overline, start color #e84d39, B, C, end color #e84d39, end overline y start overline, start color #e84d39, B, D, end color #e84d39, end overline son radios, así que tienen la misma longitud. Esto significa que el triángulo triangle, C, B, D es isósceles, lo que también significa que los ángulos de su base son congruentes:
m, angle, C, equals, m, angle, D, equals, start color #11accd, \psi, end color #11accd

Paso 2: encuentra el ángulo llano.

Se muestran tres puntos, A, C, y D, en el círculo con centro alrededor del punto B. El punto D está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el punto A. El punto C está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el punto A. El segmento de recta A C es un diámetro. El segmento de recta D C es una cuerda. Los segmentos de recta B A, B C y B D son radios que tienen una longitud de r unidades. El ángulo formado por los puntos A, B y D está etiquetado como theta. El ángulo formado por los puntos B, C y D está etiquetado como psi. Un ángulo formado por los punto B, D y C está etiquetado como psi. El ángulo C B D está etiquetado como ciento ochenta grados menos theta.
El ángulo angle, start color #e84d39, A, B, C, end color #e84d39 es un ángulo llano, as;i que:
θ+m∠DBC=180∘m∠DBC=180∘−θ\begin{aligned} \purpleC \theta + m\angle DBC &= 180^\circ \\\\ m\angle DBC &= 180^\circ - \purpleC \theta \end{aligned}

Paso 3: escribe una ecuación y encuentra el valor de start color #11accd, \psi, end color #11accd.

Los ángulos interiores de triangle, C, B, D son start color #11accd, \psi, end color #11accd, start color #11accd, \psi, end color #11accd y left parenthesis, 180, degrees, minus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, y sabemos que los ángulos interiores de cualquier triángulo suman 180, degrees.
ψ+ψ+(180∘−θ)=180∘2ψ+180∘−θ=180∘2ψ−θ=02ψ=θ\begin{aligned} \blueD{\psi} + \blueD{\psi} + (180^\circ- \purpleC{\theta}) &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi} + 180^\circ- \purpleC{\theta} &= 180^\circ \\\\ 2\blueD{\psi}- \purpleC{\theta} &=0 \\\\ 2\blueD{\psi} &=\purpleC{\theta} \end{aligned}
Genial. Hemos completado nuestra demostración para el caso A. ¡Solo nos faltan dos casos más!

Caso B: el diámetro está entre los rayos del ángulo inscrito start color #11accd, \psi, end color #11accd.

En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, dividamos a start color #11accd, \psi, end color #11accd en start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd y start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd, y a start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff en start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff y start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff como sigue:
En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. También hay un punto en el círculo que forma un segmento de recta que pasa por el centro hasta el tercer punto como un diámetro. El ángulo theta uno está hacia la izquierda y theta dos está hacia la derecha del diámetro donde estaba theta. El ángulo psi uno está hacia la izquierda y el ángulo psi dos está hacia la derecha del diámetro ubicado donde estaba psi.

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

En nuestro nuevo diagrama el diámetro parte al círculo en dos mitades. Cada mitad tiene un ángulo inscrito con un rayo en el diámetro. Esta es la misma situación que el caso A, y sabemos que:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 1, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 1, end subscript, end color #11accd
y
left parenthesis, 2, right parenthesis, start color #aa87ff, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #11accd
dado lo que aprendimos en el caso A.

Paso 3: suma las ecuaciones.

θ1+θ2=2ψ1+2ψ2Suma (1) y (2)(θ1+θ2)=2(ψ1+ψ2)Agrupa las variablesθ=2ψθ=θ1+θ2 y ψ=ψ1+ψ2\begin{aligned} \purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2} &= 2\blueD{\psi_1}+2\blueD{\psi_2}&\small \text{Suma (1) y (2)} \\\\\\ (\purpleC{\theta_1} + \purpleC{\theta_2}) &= 2(\blueD{\psi_1}+\blueD{\psi_2}) &\small \text{Agrupa las variables} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} &\small\purpleC{\theta=\theta_1+\theta_2} \text{ y } \blueD{\psi=\psi_1+\psi_2} \end{aligned}
El caso B está completo. ¡Solo nos falta un caso!

Caso C: el diámetro está fuera de los rayos del ángulo inscrito.

En el caso C se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.

Paso 1: ponte listo y dibuja el diámetro

Con el diámetro, generemos dos ángulos nuevos: start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6 y start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, como sigue:
Hay tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. Hay un punto en el círculo con un segmento de recta que lo conecta a través del centro hasta el tercer punto y forma un diámetro. El ángulo desde el nuevo punto hasta el centro hasta el primer punto está etiquetado como theta dos. El ángulo formado por el punto central, el tercer punto y el primer punto está etiquetado como psi dos.

Paso 2: usa lo que aprendimos en el caso A para escribir dos ecuaciones.

Hemos creado un diagrama que nos permite utilizar lo que aprendimos en el caso A, tal como hicimos en el caso B. A partir de este diagrama sabemos lo siguiente:
left parenthesis, 1, right parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, equals, 2, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10
left parenthesis, 2, right parenthesis, left parenthesis, start color #ed5fa6, theta, start subscript, 2, end subscript, end color #ed5fa6, plus, start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, start color #e07d10, \psi, start subscript, 2, end subscript, end color #e07d10, plus, start color #11accd, \psi, end color #11accd, right parenthesis

Paso 3: sustituye y simplifica.

(θ2+θ)=2(ψ2+ψ)(2)(2ψ2+θ)=2(ψ2+ψ)θ2=2ψ22ψ2+θ=2ψ2+2ψθ=2ψ\begin{aligned} (\maroonC{\theta_2} + \purpleC{\theta}) &= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi})&\small \text{(2)} \\\\\\ (2\goldD{\psi_2} + \purpleC{\theta})&= 2(\goldD{\psi_2} + \blueD{\psi}) &\small \maroonC{\theta_2}=2\goldD{\psi_2} \\\\\\ 2\goldD{\psi_2}+ \purpleC{\theta} &= 2\goldD{\psi_2} + 2\blueD{\psi} \\\\\\ \purpleC{\theta} &= 2\blueD{\psi} \end{aligned}
¡Y con esto terminamos! Demostramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd en los tres casos.

Un resumen de lo que hicimos

Proponíamos demostrar que la medida de un ángulo central es el doble de la medida de un ángulo inscrito, cuando ambos ángulos intersecan al mismo arco.
Empezamos la demostración al establecer tres casos. Estos casos representan todas las situaciones posibles en las que un ángulo inscrito y un ángulo central intersecan el mismo arco.
Caso ACaso BCaso C
En el caso A se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto que pasa por el centro y el segundo punto está etiquetado como psi.
En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.
En el caso C se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi.
En el caso A identificamos un triángulo isósceles y un ángulo llano. A partir de esto definimos unas ecuaciones con start color #11accd, \psi, end color #11accd y start color #7854ab, theta, end color #7854ab. Con un poco de álgebra demostramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.
En los casos B y C introdujimos inteligentemente el diámetro:
Caso BCaso C
En el caso B se muestran tres puntos en el círculo. El segundo punto está a más de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a más de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. También hay un punto en el círculo que forma un segmento de recta que pasa por el centro hasta el tercer punto como un diámetro. El ángulo theta uno está hacia la izquierda y theta dos está hacia la derecha del diámetro donde estaba theta. El ángulo psi uno está hacia la izquierda y el ángulo psi dos está hacia la derecha del diámetro ubicado donde estaba psi.
Hay tres puntos en el círculo. El segundo punto está a menos de noventa grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El tercer punto está a menos de ciento ochenta grados en sentido de las manecillas del reloj desde el primer punto. El ángulo formado por el primer punto, el centro y el segundo punto está etiquetado como theta. El ángulo formado por el primer punto, el tercer punto y el segundo punto está etiquetado como psi. Hay un punto en el círculo con un segmento de recta que lo conecta a través del centro hasta el tercer punto y forma un diámetro. El ángulo desde el nuevo punto hasta el centro hasta el primer punto está etiquetado como theta dos. El ángulo formado por el punto central, el tercer punto y el primer punto está etiquetado como psi dos.
Esto hizo posible utilizar el resultado del caso A, como hicimos. En los casos B y C escribimos ecuaciones que relacionaban las variables en los diagramas, lo que fue posible por lo que ya habíamos aprendido en el caso A. Con las ecuaciones definidas y un poco de álgebra demostramos que start color #aa87ff, theta, end color #aa87ff, equals, 2, start color #11accd, \psi, end color #11accd.

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