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Área de un triángulo equilátero inscrito

Transcripción del video

saludos lo que quiero hacer en este vídeo es usar algunos resultados de los videos anteriores para hacer algunas cosas bastante interesantes aquí tengo un círculo y voy a dibujar adentro un triángulo equilátero de hecho ya ha adelantado un poquito por ejemplo ya tengo esta línea también se dibuje esta otra línea y esta otra de manera que tengo un triángulo equilátero y si es equilátero quiere decir que todos sus lados me den lo mismo este lado va a medir a éste también a medir a y por supuesto éste también digamos que sabemos que el radio de este círculo el radio que se mire aquí del centro hacia uno de los lados este radio yo sé que mi de dos unidades radio igual a 2 lo que les voy a preguntar es usarlo los resultados de los últimos vídeos y un poco de trigonometría básica ustedes calculen el área que está dentro del círculo pero fuera del triángulo es decir esta área de aka esta área que estoy señalando acá en conjunto o incluyendo esta otra área de acá y también esta área de aquí todo lo que se encuentra por encima del triángulo pero dentro del círculo muy bien una forma es calcular el área del círculo esto es bastante fáciles es área del círculo círculo central ahí es ti por radio el cuadro vi por radio al cuadrado y aquí sabemos que nuestro radio es de dos por lo que para este círculo de acá usuaria speech o 4 p 2 cuadrados 44 pi y luego ahí estaría restarle el área del tema el área del triángulo haré triángulo de ángulo bueno está como la boya calcular si yo sólo conozco bueno y de hecho lo conozco el valor exacto sólo sé que es un triángulo equilátero hace algunos videos demostré la fórmula de heron en la cual si ustedes conocen los datos de un triángulo pueden conocer su área pero aún no conozco cuando miren estos negros vamos a aplicar la fórmula de heron aun cuando lo conozca los lados en la fórmula vee rol girón definimos nuestra área de s voy a escribir mi variable se aparte ese es igual a la suma de los lados del triángulo en este caso es a más a más a entre 2 qué bueno en este caso es igual a 3 a entre 2 y el área ya incluyendo esta variable el área según la fórmula de heron el área del triángulo va a ser igual a raíz cuadrada de s en este caso ese estrés a entre 23 a entre 2 por ese menos uno de los lados y aquí los lados son iguales entonces es ese mensaje que sería 3 a entre 2 - ah pero para facilitarme la operación voy a ponerlo como dos a entre 2 es lo mismo que a esto hemos multiplicado y dividiendo por dos y esto va a repetirse tres veces entonces éste va a ser el cubo todo esto le sacó la raíz cuadrada esto lo puedo simplificar de manera que me va a quedar la raíz cuadrada de tres a entre 2 a entre dos y tres a entre 2 - a entre 2 me queda a entre 2 al q3 a entre 2 por a entre 2 al cv y todo esto le sacó la raíz cuadrada esto lo desarrollo esto va a ser a al cubo entonces 3a por al cubo va a ser tres a a la cuarta esto es igual a la raíz cuadrada tres por a la cuarta 2 al cubo 2 x 2 4 por 2 8 por 2 base 16 3 a a la cuarta entre 16 y de esto quiero obtener la raíz cuadrada los hijos simplificando me va a quedar aquí la raíz cuadrada de a a la cuarta va a ser la cuadrada aquí sigo multiplicándolo por la raíz de tres la escuadra de 316 su raíz cuadrada debe ser pot 4 x 4 16 este es el área del triángulo en términos de su lado si yo encuentro el valor de a y lo sustituye aquí entonces voy a encontrar en el área de este tema pero bueno como podemos calcular que conocemos de triángulos equiláteros bueno es un triángulo equilátero entonces yo sé que el ángulo de acá es igual al ángulo de acá y también es igual al ángulo de acá y como la suma de estos tres ángulos interiores debe dar 180 grados pues cada uno de estos valer 60 grados este vale 60 este vale 60 y éste también 60 grados luego se podrá usar lo visto en el último video donde hablamos de la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central 1 inscrito este vértice está tocando la circunferencia y tenemos también un ángulo central pero por ejemplo para este ángulo inscrito tengo una cuerda que lo estaba marcando voy a dibujar la cuerda que lo abarca una a una de las cuerdas que lo abarca aquí y esta cuerda si yo llego acá también me va a soportar no me va a abarcar una ángulo central este ángulo central se encuentra formado aquí de este punto hacia este vértice y hacia este otro betis entonces tengo este ángulo central y este ángulo inscrito el ángulo central que abarca este arco será el doble del ángulo inscrito que comparte con la misma cuerda así que este ángulo de aquí va a ser el doble de este 60 x 2 120 para medir 120 grados si yo vi secada este ángulo central es decir sacó una línea que pasa exactamente por la mitad de este ángulo y llega a tocar este otro lado perpendicularmente esto esta línea me va a dividir este ángulo en dos ángulos iguales por lo que este ángulo de aquí me va a quedar de 60 grados y este otro me va a quedar también de 60 obviamente este ángulo de aquí también es dividido a la mitad y me va a quedar aquí 30 grados este chiquito de acá 30 grados y de estilo otro lado también y como esta línea está tocando perpendicularmente a este otro lado aquí me formar un ángulo de 90 grados 90 grados y 90 grados y aquí voy a tener triángulos 30 60 90 esto yo sé que lo puedo hacer porque este triángulo de acá este triángulo con los lados azules es un triángulo isósceles y yo tengo cualquier triángulo isósceles en el cual tengo dos lados que son iguales miren lo mismo este lado mide lo mismo que este otro lado si yo parto a la mitad de este ángulo lobby seco de manera que llega perpendicularmente a ésta a este otro lado del triángulo este lado lo voy a dividir exactamente dos lados iguales van a medir lo mismo estos dos y también va a tener como buen triángulo isósceles estos son ángulos iguales y aquí voy a formar un ángulo de 90 grados así que la longitud de este lado del triángulo de acá va a ser igual a entre 2 la mitad de lo que pedía originalmente este lado y aquí también a entre 2 este lado de king parte del centro y llega a un extremo del triángulo es un radio y si es un radio también va a valer 2 este lado vale 2 y este lado del triángulo también vale 2 - si podemos usar algo de trigonometría para encontrar una relación entre a y rr si dejamos a en términos de rr vamos a poder encontrar su valor y así encontrar el área del triángulo que vamos a arrestar a su vez al área del círculo y encontrar las áreas que nos interesa saber entonces tenemos aquí un ángulo de 60 grados el lado opuesto a este ángulo a entre 2 vamos a notarlo en este caso el opuesto del ángulo de 60 grados es igual a entre 2 y como tenemos un triángulo rectángulo pues entonces podemos aplicar algo de trigo no metí también se dé este dato que la hipotenusa estaré acá que es la opuesta el ángulo recto vale 2 hipotenusa hipotenusa es igual a 2 y kiev se entregó la métrica en la relación el lado opuesto con la hipotenusa bueno aquí siempre es bueno recordar nuestro soja acá todo a tenemos el opuesto la hipotenusa a pues va a ser el seno entonces el pse no lo escribí por acá el seno de el ángulo que me interesa de 60 grados es igual al opuesto en los puestos a entre 2 entre dos entre la hipotenusa que vale dos que es lo mismo a que eso es igual a a entre 4 cuál es el seno de 60 grados si no lo saben los invito a que vean los primeros videos del cd econometría del canal de khan academy y recordando a nuestros triángulos 30 60 90 voy a dibujarlo también por acá para que lo recordemos bien los triángulos que son más o menos así y que tienen un ángulo pues un ángulo recto de 90 grados 90 tienen un ángulo de 30 grados y otro ángulo de 60 grados bueno para este tipo de triángulos como lo definimos en el video de trigonometría aquí la hipotenusa mide 1 esto va a medir este lado un medio y aquí va a medir raíz de tres entre dos así que el seno que es el opuesto al ángulo de 60 grados entre la hipotenusa el seno de este celo de 60 grados es igual al lado opuesto a raíz de tres entre dos esto es con base al círculo unitario entre la hipotenusa que vale o no por lo tanto es igual a raíz de tres entre dos así que éste se lo de 60 grados vale raíz cuadrada de tres entre dos y ahora ya puedo encontrar el valor de a sí sé que raíz cuadrada de tres entre dos es igual la aaa entre 4 x 4 4 por raíz cuadrada de tres entre dos estos cuatro entre dos me va a quedar a dos este 4 se va si la multiplicación 4 éstos se van de manera que me va a quedar a igual a 2 por raíz de tres y ya vamos en la recta final sustituyamos este valor de a la fórmula del bond para encontrar el área del triángulo quedamos que es el área voy a hacer un poquito de espacio porque ya no tengo vamos a verlo acá esto él área del triángulo área le pongo aquí el triángulo para desviar es igual a la cuadrada qué es esto 2 por raíz de tres al cuadrado por raíz de tres entre 4 simplificamos esto al elevado al cuadrado me quedé aquí cuatro recetas se vuelve 3 esto va a ser igual a 4 x 3 por raíz de tres entre cuatro estos 24 se van me queda que es igual a tres por raíces el área del triángulo todo este triángulo su área es igual a tres por raíz de tres de todo este triángulo de ha hecho muy bien y regresando a nuestro problema en donde queremos encontrar el área dentro del círculo pero fuera del triángulo ya quedamos que el área de circular a 4 pin la lo regresó aquí para que vean el área del círculo es 4 pin entonces hacemos esta resta 4 si el aire del círculo menos tres por raíz cuadrada de tres y hemos terminado esta es el área que buscamos aquí