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Geometría

Curso: Geometría > Unidad 9

Lección 4: Introducción a los radianes
Matemáticas
Geometría
Círculos
Introducción a los radianes
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Arcos, razones y radianes

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Podemos utilizar la constante de proporcionalidad entre la longitud del arco y el radio de un sector como una manera de describir una medida angular, pues todos los sectores con la misma medida de ángulo son semejantes. 

Homotecia de círculos y sectores

Todos los círculos son semejantes, pues podemos mapear cualquier círculo a otro con solo transformaciones rígidas y homotecias. Los círculos no son todos congruentes, porque pueden tener diferentes longitudes de radio.
Un sector es la porción del interior de un círculo entre dos radios. Dos sectores deben tener ángulos centrales congruentes para ser semejantes.
Un arco es la porción de la circunferencia de un círculo entre dos radios. Similarmente, dos arcos deben tener ángulos centrales congruentes para ser semejantes.
El círculo B y su sector son homotecias del círculo A y su sector, con factor de escala 3.
¿Cuáles propiedades del círculo B son las mismas que en el círculo A?
PropiedadMisma o diferente
Área del sector
Medida del ángulo central del sector
Longitud del radio
Longitud del arco definido por el sector
Razón de la circunferencia del círculo a su radio
Razón de la longitud de arco al radio

Razonamiento sobre razones

Cuando estudiamos triángulos rectángulos, aprendimos que para una medida de ángulo agudo dada, la relación start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, c, a, t, e, t, o, space, o, p, u, e, s, t, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, l, a, space, h, i, p, o, t, e, n, u, s, a, end text, end fraction siempre es la misma, sin importar qué tan grande sea el triángulo rectángulo. Llamamos a esa razón el seno del ángulo.
Algo muy similar sucede cuando examinamos la razón start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, space, a, r, c, o, end text, divided by, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, r, a, d, i, o, end text, end fraction en un sector con un ángulo dado. Por cada afirmación que aparece a continuación, trata de explicar el razonamiento a tí mismo antes de ver la explicación.
La medida del ángulo central de los sectores en estos dos círculos es la misma.

Afirmaciones

  1. El círculo 2 es una homotecia del círculo 1.
  2. Si el factor de escala del círculo 1 al círculo 2 es start color #7854ab, k, end color #7854ab, entonces r, start subscript, 2, end subscript, equals, start color #7854ab, k, end color #7854ab, r, start subscript, 1, end subscript.
  3. La longitud del arco en el círculo 1 es start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, equals, start color #bc2612, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, r, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612.
  4. Por el mismo razonamiento, la longitud del arco en el círculo 2 es start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start color #a75a05, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, r, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05.
  5. Al sustituir, podemos volver a escribir eso como start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start fraction, theta, divided by, 360, degree, end fraction, dot, 2, pi, start color #7854ab, k, end color #7854ab, r, start subscript, 1, end subscript.
  6. Entonces start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, equals, start color #7854ab, k, end color #7854ab, start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612.
  7. En conclusión, start fraction, start color #bc2612, ell, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, divided by, r, start subscript, 1, end subscript, end fraction, equals, start fraction, start color #a75a05, ell, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, divided by, r, start subscript, 2, end subscript, end fraction.

Conclusión

La razón de longitud del arco a longitud del radio es la misma en dos sectores cualesquiera con un ángulo dado, ¡sin importar qué tan grandes sean los círculos!

Una nueva razón y una nueva forma de medir ángulos

Para cualquier ángulo, podemos imaginar un círculo centrado en su vértice. La medida en radianes del ángulo es igual a la razón start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, a, r, c, o, end text, divided by, start text, r, a, d, i, o, end text, end fraction. El ángulo tiene la misma medida en radianes sin importar qué tan grande sea el círculo.
Completa la tabla con la medida en grados y el valor de la razón start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, a, r, c, o, end text, divided by, start text, r, a, d, i, o, end text, end fraction para cada fracción de un círculo.
FracciónMedida del ángulo central (grados)Medida del ángulo central (radianes) theta, equals, start fraction, start text, l, o, n, g, i, t, u, d, space, d, e, l, space, a, r, c, o, end text, divided by, start text, r, a, d, i, o, end text, end fraction
start fraction, 1, divided by, 2, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree		theta, equals
start fraction, 1, divided by, 3, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree		theta, equals
start fraction, 1, divided by, 4, end fraction
  • Tu respuesta debe ser
  • un entero, como 6
  • una fracción propia simplificada, como 3, slash, 5
  • una fracción impropia simplificada, como 7, slash, 4
  • un número mixto, como 1, space, 3, slash, 4
  • un decimal exacto, como 0, point, 75
  • un múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text o 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text
degree		theta, equals

Más maneras de describir radianes

Un radián es la medida angular que giramos para recorrer la longitud de un radio alrededor de la circunferencia del círculo.
Entonces los radianes son la constante de proporcionalidad entre la longitud delarco y la longitud del radio.
θ=longitud del arcoradioθ⋅radio=longitud del arco\begin{aligned}\theta&=\dfrac{\text{longitud del arco}}{\text{radio}}\\\\ \theta \cdot \text{radio}&=\text{longitud del arco} \end{aligned}
Se necesitan 2, pi radianes (un poco más de 6 radianes) para hacer un giro completo sobre el centro de un círculo. Esto tiene sentido, porque la circunferencia completa de un círculo es 2, pi, r, o sea 2, pi longitudes del radio.

¿Por qué usar radianes en lugar de grados?

Tal como elegimos diferentes unidades de longitud para diferentes propósitos, también podemos elegir nuestras unidades de medida de ángulos según la situación.
Los grados pueden ser útiles cuando queremos trabajar con números enteros, pues varias fracciones comunes de un círculo tienen un número entero de grados. Los radianes pueden simplificar fórmulas, especialmente cuando trabajamos con longitudes de arco.
Hay otras maneras de medir ángulos, tales como simplemente describir el número de giros completos, o dividir un giro completo en 100 partes iguales. Lo más importante es asegurarse de comunicar qué medida se usa, para que todos entiendan cuánto de una rotación hay entre los rayos del ángulo.

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