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Radianes como razón de la longitud de arco al radio

Transcripción del video

Lo que haremos en este video es pensar en una  forma de medir ángulos, y hay varias formas de   hacer esto. Es posible que hayan visto esto como  incrementos en grados en otros videos, pero ahora   vamos a presentar un nuevo concepto o verlo de  otra manera. Así que tenemos este ángulo ABC y   queremos pensar de qué manera podemos calcular  la medida del ángulo ABC. Una forma de pensarlo   es que este ángulo subtiende un arco, en este  caso subtiende el arco AC, y podemos ver que si   este ángulo fuera más pequeño, si su medida fuera  más pequeña, subtendería un arco más pequeño,   subtendería un arco más pequeño, la longitud de este arco sería menor; y si el ángulo fuera más ancho o tuviera una medida mayor,   algo así, entonces la longitud del arco sería  mayor, de modo que ¿deberíamos definir la medida   de un ángulo, como este, como igual a la longitud  del arco que subtiende? ¿Esta es una buena   medición? Bueno, algunos de ustedes pueden ver  inmediatamente un problema, porque esta longitud,   la longitud del arco que subtiende, no sólo  depende de la medida del ángulo, también depende   de qué tan grande sea el círculo con el que estás  trabajando, si el radio es mayor entonces tendrás   una mayor longitud de arco. Por ejemplo, permíteme  hacer otro círculo aquí. Tenemos la misma medida   del ángulo central justo aquí; se podría decir  que el ángulo ABC sigue siendo el mismo pero ahora   subtiende arcos diferentes en estos dos círculos.  Tienes este arco aquí, llamemos a este arco DE,   y la longitud del arco DE no es igual a la  longitud de AC, así que no podemos medir el ángulo   sólo por la longitud del arco que subtiende si  ese ángulo es un ángulo central en un círculo,   podemos deshacernos de este signo. ¿Pero qué  podríamos hacer? Bueno, te darás cuenta de que   estas rebanadas que acabo de crear, podríamos  decir: la rebanada ABC y la rebanada DBE,   son rebanadas semejantes. Ahora, no estamos  acostumbrados a hablar en términos de rebanadas   semejantes, pero ¿qué significa ser semejante?  Bueno, tenemos semejanzas y podemos mapear una   cosa en otra, una forma en otra, no sólo a través  de transformaciones rígidas sino también a través   de homotecias, y en esta situación, si tuviéramos  que tomar la rebanada ABC y hacer una homotecia   con un factor de escala mayor que 1, existiría  algún factor de escala con el que podamos hacer   la homotecia hasta DBE. Y, ahora, lo interesante  de esto es que si dos cosas son semejantes eso   significa que las razones entre las partes  correspondientes van a ser iguales, así que,   por ejemplo, la razón de la longitud del arco AC  a la longitud del segmento BC va a ser igual a   la razón de la longitud del arco DE a la longitud  del segmento BE, de modo que tal vez esta sea una   buena medida para un ángulo. Y de hecho es una  medida que usamos en geometría y trigonometría y   en matemáticas, y la llamamos medida de un ángulo  en radianes, y es igual a la razón de la longitud   del arco subtendido por ese ángulo al radio.  Acabamos de ver eso en ambas situaciones. Veamos   si podemos hacer esto un poco más claro. Digamos  que tenemos un círculo aquí y tiene un punto   central, llamemos ese punto F, y luego, déjenme  crear un ángulo, en realidad podríamos hacer un   ángulo recto, entonces llamemos a este punto F,  a este punto G y a este H, y digamos que este   radio es de 2 m. Ahora, ¿cuál será la longitud  del arco subtendido por el ángulo GFH? Bueno,   esto podría ser igual a 1/4 de la circunferencia  de todo este círculo que he dibujado, así que   toda la circunferencia podríamos escribirlo  aquí: la circunferencia va a ser igual a 2 πr,   que es igual a 2 π x 2 m que es igual a 4 πm. Así  que si esta longitud de arco es 1/4 de eso, esto   va a ser igual a πm. Con base en esta longitud de  arco, y este radio ¿cuál será la medida del ángulo   GFH en radianes? Bueno podríamos decir: la medida  del ángulo GFH en radianes es igual a la razón   entre la longitud del arco subtendido y el radio,  así que es igual a πm / 2 m. Cancelamos 2 m y es   igual a π / 2, ¿π / 2 qué? Bueno, esto es igual  a π / 2 radianes. Ahora, una cosa a considerar   es por qué los llamamos radianes, parece que se  relaciona con la palabra radio y una forma de   pensar en esto es que al dividir esta longitud  entre la longitud del radio estamos calculando   cuántos radios son equivalentes a la longitud del  arco en cuestión. De modo que en esta situación   un radio se vería algo así. Si tomamos la misma  longitud y la marcamos aquí, podemos ver que va   a ser igual a 1 punto y algo radios, y por eso  también podríamos decir 1 punto y algo radianes,   si tomamos π y lo dividimos entre 2 vamos a tener  un poco más de 1, vamos a tener 1 punto y algo.