Área de un triángulo equilátero inscrito

saludos lo que quiero hacer en este vídeo es usar algunos resultados de los vídeos anteriores para hacer algunas cosas bastante interesantes aquí tengo un círculo y voy a dibujar adentro un triángulo equilátero de hecho ya ha adelantado un poquito por ejemplo ya tengo esta línea también dibuje esta otra línea y esta otra de manera que tengo un triángulo equilátero y si es equilátero quiere decir que todos sus lados miden lo mismo este lado va a medir este también va a medir a y por supuesto este también digamos que sabemos que el radio de este círculo el radio que se mide aquí del centro hacia uno de los lados este radio yo sé que mide dos unidades radio igual a 2 que les voy a preguntar es usando los resultados de los últimos vídeos y un poco de trigonometría básica ustedes calculen el área que está dentro del círculo pero fuera del triángulo es decir esta área de acá esta área que estoy señalando acá en conjunto o incluyendo esta otra área de acá y también esta área de aquí todo lo que se encuentra por encima del triángulo pero dentro del círculo una forma es calcular el área del círculo que esto es bastante fácil es el área el círculo círculo acento en la y y por radio al cuadrado radio al cuadrado y aquí sabemos que nuestro radio es de 2 por lo que para este círculo de acá su área spin 4 p 2 al cuadrado es 44 pi y luego ahí estaba de arrestarle el área del tren o el área del triángulo área triángulo ángulo bueno está como la voy a calcular si yo sólo conozco bueno y de hecho no conozco el valor exacto sólo sé que es un triángulo equilátero bueno hace algunos vídeos les mostré la fórmula de heron en la cual si ustedes conocen los lados de un triángulo pueden conocer su área pero aún no conozco cuánto miren estos lados vamos a aplicar la fórmula de heron aun cuando no conozca los lados en la fórmula perón perón definimos nuestra variable s voy a escribir mi variable s aparte s es igual a la suma de los lados del triángulo en este caso es más más entre dos que bueno en este caso es igual a tres entre 2 el área ya incluyendo estaba el área según la fórmula de heron el área del triángulo va a ser igual a raíz cuadrada de s en este caso ese estrés a entre 23 a entre 2 por s menos uno de los lados y aquí los lados son iguales entonces es ese mensaje que sería 3 entre 2 - ah pero para facilitarme la operación voy a ponerlo como 2 entre 2 es lo mismo que esto hemos multiplicado y dividiendo por 2 y esto va a repetirse tres veces entonces esto va a ser al cubo todo esto le saco la raíz cuadrada esto lo puedo simplificar de manera que me va a quedar la raíz cuadrada de 3 a entre 23 y entre 2 3 / 2 - 2 a entre 2 me queda entre 2 al cubo 3 a entre 2 x a entre 2 al cubo y todo esto le saco la raíz cuadrada esto lo desarrollo esto va a ser al cubo entonces 3 x al cubo va a ser 3 a la cuarta esto es igual a la raíz cuadrada 3 x a la cuarta 2 al cubo 2 por 2 4 por 2 8 por 2 va a ser 16 13 a la cuarta entre 16 y de esto quiero obtener la raíz cuadrada lo sigo simplificando me va a quedar aquí la raíz cuadrada de aa la cuarta va a ser a cuadrada aquí sigo multiplicándolo por la raíz de 3 la raíz cuadrada de 3 16 su raíz cuadrada debe ser 4 4 por 4 16 el área del triángulo en términos de su lado si yo encuentro el valor de a y lo sustituyó aquí entonces voy a encontrar el área de este triángulo pero bueno como podemos calcular que conocemos de triángulos equiláteros bueno es un triángulo equilátero entonces yo sé que el ángulo de acá es igual al ángulo de acá y también es igual al ángulo de acá y como la suma de estos tres ángulos interiores debe dar 180 grados pues cada uno de éstos va a valer 60 grados este vale 60 este vale 60 y este también 60 grados luego si podemos usar lo visto en el último vídeo donde hablamos de la relación entre un ángulo inscrito y un ángulo central uno inscrito este vértice está tocando la circunferencia y tenemos también un ángulo central pero por ejemplo para este ángulo inscrito tengo una cuerda que lo está abarcando voy a dibujar la cuerda que lo abarca una o una de las cuerdas que lo abarca aquí y esta cuerda si yo llego acá también me va a soportar o me va a abarcar un ángulo central este ángulo central se encuentra formado aquí de este punto hacia este vértice y hacia este otro vértice y entonces tengo este ángulo central y este ángulo inscrito el ángulo central que abarca este arco será el doble del ángulo inscrito que comparte con la misma cual así que este ángulo de aquí va a ser el doble de este 60 por 2 120 va a medir 120 grados si yo dice cara este ángulo central es decir saco una línea que pasa exactamente por la mitad de este ángulo y llega a tocar este otro lado perpendicularmente está esta línea me va a dividir en este ángulo en dos ángulos iguales por lo que este ángulo de aquí me va a quedar de 60 grados y este otro me va a quedar también de 60 obviamente este ángulo de aquí también es dividido a la mitad y me va a quedar aquí 30 grados este chiquito de acá 30 grados y de estilo otro lado también y como esta línea está tocando perpendicularmente a este otro lado aquí me va a formar un ángulo de 90 grados 90 grados y 90 grados y aquí voy a tener triángulos 30 60 90 esto yo sé que lo puedo hacer porque este triángulo de acá este triángulo con los lados azules es un triángulo isósceles y si yo tengo cualquier triángulo isósceles el cual tengo dos lados que son iguales miden lo mismo este lado mide lo mismo que este otro lado si yo parto a la mitad de este ángulo lo vi seco de manera que llega perpendicularmente a esta a este otro lado del triángulo este lado lo voy a dividir exactamente en dos lados iguales van a medir lo mismo estos dos y también va a tener como buen triángulo isósceles estos son ángulos iguales y aquí voy a formar un ángulo de 90 grados así que la longitud de este lado del triángulo de acá va a ser igual a entre 2 la mitad de lo que pedía originalmente este lado y aquí también a entre 2 este lado de aquí parte del centro y llega a un extremo del triángulo es un radio y si es un radio también va a valer 2 este lado vale 2 y este lado del triángulo también vale 2 pero si podemos usar algo de trigonometría para encontrar una relación entre a y r si dejamos a en términos de r vamos a poder encontrar su valor y así encontrar el área del triángulo que vamos a restar a su vez al área del círculo y encontrar las áreas que nos interesa a ver entonces tenemos aquí un ángulo de 60 grados el lado opuesto a este ángulo es a entre 2 vamos a notarlo en este caso lo opuesto del ángulo de 60 grados es igual a entre 2 y como tenemos un triángulo rectángulo pues entonces podemos aplicar algo de trigonometría también sé de este dato que la hipotenusa está de acá que es la opuesta al ángulo recto vale 2 hipotenusa hipotenusa es igual a 2 tiene función trigonométricas en los relaciona el lado opuesto con la hipotenusa bueno aquí siempre es bueno recordar nuestro sol tenemos el opuesto la hipotenusa pues va a ser el seno entonces el seno lo voy a escribir por acá el seno de el ángulo que me interesa de 60 grados es igual al opuesto el opuesto es entre 2 entre 2 entre la hipotenusa que vale 2 qué es lo mismo que esto es igual a entre 4 cuál es el seno de 60 grados si no lo saben los invito a que vean los primeros vídeos de la serie de trigonometría del canal de khan academy recordando nuestros triángulos 30 60 90 voy a dibujarlo también por acá para que lo recordemos bien los triángulos que son más o menos así y que tienen un ángulo pues un ángulo recto de 90 grados 90 tienen un ángulo de 30 grados y otro ángulo de 60 grados bueno para este tipo de triángulos como los definimos en el vídeo de trigonometría aquí la hipotenusa mide 11 esto va a medir este lado un medio y aquí va a medir raíz de 3 entre 2 así que el seno que es el opuesto al ángulo de 60 grados entre la hipotenusa el seno de este seno de 60 grados es igual al lado opuesto raíz de 3 entre 2 esto es con base al círculo unitario entre la hipotenusa que vale 1 por lo tanto es igual al raíz de 3 entre 2 así que este seno de 60 grados vale raíz cuadrada de 3 entre 2 ahora yo puedo encontrar el valor de a si sé qué raíz cuadrada de 3 entre 2 es igual a entre 4 multiplicó todo por 44 por raíz cuadrada de 3 entre 2 24 entre 2 me va a quedar a 2 este 4 se va si lo multiplicó aquí 14 estos dos se van de manera que me va a quedar a igual a 2 por raíz de 3 y llamamos en la recta final sustituyamos este valor de a en la fórmula de heron para encontrar el área del triángulo que damos que ese es el área voy a hacer un poquito de espacio porque ya no tengo vamos a volverlo acá está el área del triángulo le pongo aquí el triángulo para ver enviar es igual a cuadrada qué es esto dos por raíz de 3 al cuadrado por raíz de 3 entre 4 simplificamos esto al elevarlo al cuadrado me queda aquí 4 raíces vuelve 3 esto va a ser igual a 4 por 3 por raíz de 3 entre 4 estos 24 se van me queda que eso es igual a 3 por raíz de tres este es el área del triángulo todo este triángulo su área es igual a 3 por raíz de 3 todo este triángulo de h muy bien y regresando a nuestro problema en donde queremos encontrar el área dentro del círculo pero fuera del triángulo pues ya quedamos que el área de circular a 4 pin lo regresó a que para que vean el área del círculo es 4 pi entonces hacemos esta resta 4 y el área del círculo menos 3 por raíz cuadrada de 3 y hemos terminado esta es el área que buscamos aquí