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Geometría
Curso: Geometría > Unidad 3
Lección 4: Teoremas relacionados con propiedades de triángulos- Propiedades de congruencia e igualdad
- Demostración que los ángulos de un triángulo suman 180°
- Demostraciones acerca de triángulos isósceles
- Demostraciones acerca de triángulos equiláteros
- Ejemplo de ángulo externo de un triángulo
- Demuestra propiedades de triángulos
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Propiedades de congruencia e igualdad
Aprende cuándo aplicar las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica en demostraciones geométricas. Aprende la relación entre medidas iguales y figuras congruentes.
Hay muchas maneras de escribir demostraciones, y algunas son más formales que otras. En demostraciones muy formales, justificamos proposiciones que pueden parecerte obvias. La razón para hacerlo es que esas afirmaciones sólo funcionan con ciertos tipos de relaciones. Lo que es cierto con la relación de igualdad no es necesariamente cierto con la relación de desigualdad, por ejemplo.
Veamos algunas de estas propiedades. Utilizaremos el símbolo \bigstar para representar una relación desconocida.
Propiedad reflexiva
Cuando una relación \bigstar tiene una propiedad reflexiva, significa que la relación siempre es verdadera entre una cosa y sí misma. Entonces A, \bigstar, A.
¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?
| Relación | Símbolo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Igualdad | equals | minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction, equals, minus, 5, start fraction, 3, divided by, 8, end fraction |
| Congruencia | \cong | angle, M, N, P, \cong, angle, M, N, P |
| Semejanza | \sim | triangle, M, N, P, \sim, triangle, M, N, P |
Usamos mucho la propiedad reflexiva cuando buscamos formas que comparten lados o ángulos.
Si habláramos de cómo se relacionan triangle, M, N, Q y triangle, P, N, Q, podríamos afirmar que start overline, N, Q, end overline, \cong, start overline, N, Q, end overline por la propiedad reflexiva.
¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?
Las desigualdades estrictas no tienen propiedad reflexiva. Por ejemplo, 3, \nless, 3.
Ser la madre de alguien no es una relación reflexiva. No soy mi propia madre.
Propiedad simétrica
Cuando una relación \bigstar tiene una propiedad simétrica, significa que si la relación es verdadera entre dos cosas, es cierta en un orden u otro. Si A, \bigstar, B, entonces B, \bigstar, A.
¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?
| Relación | Símbolo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Igualdad | equals | Si 8, equals, 11, minus, 3, entonces 11, minus, 3, equals, 8. |
| Congruencia | \cong | Si start overline, V, W, end overline, \cong, start overline, X, Y, end overline, entonces start overline, X, Y, end overline, \cong, start overline, V, W, end overline. |
| Semejanza | \sim | Si A, B, C, D, \sim, L, M, N, P, entonces L, M, N, P, \sim, A, B, C, D. |
| Paralelismo | \parallel | Si recta m, \parallel recta n, entonces recta n, \parallel recta m. |
| Perpendicularidad | \perp | Si S, T, with, \overrightarrow, on top, \perp, U, V, with, \overleftrightarrow, on top, entonces U, V, with, \overleftrightarrow, on top, \perp, S, T, with, \overrightarrow, on top. |
Según la definición de la mayoría de la gente, la amistad es una relación simétrica. Si Alaia es amigo de Kolton, entonces Kolton es amigo de Alaia.
¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?
Las desigualdades estrictas no tienen propiedad simétrica. Por ejemplo, 10, is less than, 100, pero 100, \nless, 10.
Ser la madre de alguien tampoco es una relación simétrica. Si Karin es la madre de Santino, Santino no puede ser la madre de Karin.
Propiedad transitiva
Cuando una relación \bigstar tiene una propiedad transitiva, entonces dos cosas que se relacionan con una cosa intermedia en común también se relacionan entre sí. Si A, \bigstar, B y B, \bigstar, C, entonces A, \bigstar, C.
¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?
| Relación | Símbolo | Ejemplo |
|---|---|---|
| Igualdad | equals | Si m, angle, F, equals, m, angle, G y m, angle, G, equals, m, angle, H, entonces m, angle, F, equals, m, angle, H. |
| Congruencia | \cong | Si triangle, R, S, T, \cong, triangle, W, X, Y y triangle, W, X, Y, \cong, triangle, F, G, H, entonces triangle, R, S, T, \cong, triangle, F, G, H. |
| Semejanza | \sim | Si círculo A, \sim círculo B y círculo B, \sim círculo D, entonces círculo A, \sim círculo D. |
| Paralelismo | \parallel | Si start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, L, M, end overline y start overline, L, M, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline, entonces start overline, J, K, end overline, \parallel, start overline, N, O, end overline. |
¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?
La perpendicularidad no es transitiva.
En la figura, start overline, A, B, end overline, \perp, start overline, A, C, end overline y start overline, A, C, end overline, \perp, start overline, C, D, end overline, pero start overline, A, B, end overline es paralela, no perpendicular a start overline, C, D, end overline.
La amistad tampoco es transitiva. Si Ezekiel es amigo de Romina, y Romina es amiga de Nash, no sabemos si Ezekiel es o no amigo de Nash.
Igualdad versus congruencia
La igualdad y la congruencia están estrechamente relacionadas, pero son diferentes. Utilizamos relaciones de igualdad para todo lo que podamos expresar con números, incluyendo mediciones, factores de escala y razones.
| Valor | Ejemplo |
|---|---|
| Medidas de ángulos | m, angle, A, plus, m, angle, B, equals, 90, degree |
| Longitudes de segmentos | M, N, equals, P, Q, equals, 5 |
| Área | Área D, E, F, G, equals, 81, start text, c, m, end text, squared |
| Razón | start fraction, 3, divided by, 4, end fraction, equals, start fraction, J, K, divided by, K, L, end fraction |
Utilizamos relaciones de congruencia y semejanza para figuras geométricas. No podemos realizar operaciones aritméticas, como adición y multiplicación, en figuras geométricas.
| Figura | Ejemplo |
|---|---|
| Ángulo | angle, A, \cong, angle, C |
| Segmento de recta | start overline, M, N, end overline, \cong, start overline, P, Q, end overline |
| Polígono | triangle, D, E, F, \sim, triangle, G, H, I |
| Círculo | Todos círculo es semejante a todos los demás círculos. |
Hay tres teoremas muy útiles que conectan la igualdad con la congruencia.
- Dos ángulos son congruentes si y solo si tienen medidas iguales.
- Dos segmentos son congruentes si y solo si tienen medidas iguales.
- Dos triángulos son congruentes si y solo si todos los ángulos y lados correspondientes son congruentes.
En la siguiente figura, tenemos que A, B, equals, C, D, equals, 3, point, 2.
En una demostración muy formal, necesitamos una recta separada para afirmar que start overline, A, B, end overline, \cong, start overline, C, D, end overline. Las demostraciones más informales utilizan medidas iguales y partes congruentes de manera intercambiable. ¡Verifica en tu clase cuál necesitas!
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:D, primer comentario en español xD
a
mo khan(2 votos)
segundo comentario en espanol solo que yo no tengo la ene con quion xd(1 voto)