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Propiedades de congruencia e igualdad

Aprende cuándo aplicar las propiedades reflexiva, transitiva y simétrica en demostraciones geométricas. Aprende la relación entre medidas iguales y figuras congruentes.
Hay muchas maneras de escribir demostraciones, y algunas son más formales que otras. En demostraciones muy formales, justificamos proposiciones que pueden parecerte obvias. La razón para hacerlo es que esas afirmaciones sólo funcionan con ciertos tipos de relaciones. Lo que es cierto con la relación de igualdad no es necesariamente cierto con la relación de desigualdad, por ejemplo.
Veamos algunas de estas propiedades. Utilizaremos el símbolo para representar una relación desconocida.

Propiedad reflexiva

Cuando una relación tiene una propiedad reflexiva, significa que la relación siempre es verdadera entre una cosa y sí misma. Entonces AA.

¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?

RelaciónSímboloEjemplo
Igualdad=538=538
CongruenciaMNPMNP
SemejanzaMNPMNP
Usamos mucho la propiedad reflexiva cuando buscamos formas que comparten lados o ángulos.
Si habláramos de cómo se relacionan MNQ y PNQ, podríamos afirmar que NQNQ por la propiedad reflexiva.

¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?

Las desigualdades estrictas no tienen propiedad reflexiva. Por ejemplo, 33.
Ser la madre de alguien no es una relación reflexiva. No soy mi propia madre.

Propiedad simétrica

Cuando una relación tiene una propiedad simétrica, significa que si la relación es verdadera entre dos cosas, es cierta en un orden u otro. Si AB, entonces BA.

¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?

RelaciónSímboloEjemplo
Igualdad=Si 8=113, entonces 113=8.
CongruenciaSi VWXY, entonces XYVW.
SemejanzaSi ABCDLMNP, entonces LMNPABCD.
ParalelismoSi recta m recta n, entonces recta n recta m.
PerpendicularidadSi STUV, entonces UVST.
Según la definición de la mayoría de la gente, la amistad es una relación simétrica. Si Alaia es amigo de Kolton, entonces Kolton es amigo de Alaia.

¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?

Las desigualdades estrictas no tienen propiedad simétrica. Por ejemplo, 10<100, pero 10010.
Ser la madre de alguien tampoco es una relación simétrica. Si Karin es la madre de Santino, Santino no puede ser la madre de Karin.

Propiedad transitiva

Cuando una relación tiene una propiedad transitiva, entonces dos cosas que se relacionan con una cosa intermedia en común también se relacionan entre sí. Si AB y BC, entonces AC.

¿Cuáles son algunas relaciones que lo usan?

RelaciónSímboloEjemplo
Igualdad=Si mF=mG y mG=mH, entonces mF=mH.
CongruenciaSi RSTWXY y WXYFGH, entonces RSTFGH.
SemejanzaSi círculo A círculo B y círculo B círculo D, entonces círculo A círculo D.
ParalelismoSi JKLM y LMNO, entonces JKNO.

¿Cuáles son algunas relaciones que no lo usan?

La perpendicularidad no es transitiva.
En la figura, ABAC y ACCD, pero AB es paralela, no perpendicular a CD.
La amistad tampoco es transitiva. Si Ezekiel es amigo de Romina, y Romina es amiga de Nash, no sabemos si Ezekiel es o no amigo de Nash.

Igualdad versus congruencia

La igualdad y la congruencia están estrechamente relacionadas, pero son diferentes. Utilizamos relaciones de igualdad para todo lo que podamos expresar con números, incluyendo mediciones, factores de escala y razones.
ValorEjemplo
Medidas de ángulosmA+mB=90°
Longitudes de segmentosMN=PQ=5
ÁreaÁrea DEFG=81cm2
Razón34=JKKL
Utilizamos relaciones de congruencia y semejanza para figuras geométricas. No podemos realizar operaciones aritméticas, como adición y multiplicación, en figuras geométricas.
FiguraEjemplo
ÁnguloAC
Segmento de rectaMNPQ
PolígonoDEFGHI
CírculoTodos círculo es semejante a todos los demás círculos.
Hay tres teoremas muy útiles que conectan la igualdad con la congruencia.
En la siguiente figura, tenemos que AB=CD=3.2.
En una demostración muy formal, necesitamos una recta separada para afirmar que ABCD. Las demostraciones más informales utilizan medidas iguales y partes congruentes de manera intercambiable. ¡Verifica en tu clase cuál necesitas!

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