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Congruencia de ángulos equivale a tener la misma medida

Transcripción del video

Lo que vamos a hacer en este video es demostrar  que los ángulos son congruentes si y sólo si   tienen la misma medida, y para la definición  de congruencia usaremos la definición de   transformación rígida que nos dice que dos  figuras son congruentes si y sólo si existe   una serie de transformaciones rígidas que  mapea una figura en la otra. Ahora bien,   ¿qué son las transformaciones rígidas? Las  transformaciones rígidas son transformaciones   que preservan la distancia entre los puntos  y la medida de los ángulos. Así que manos a   la obra. Empecemos con dos ángulos que son  congruentes y queremos demostrar que tienen   la misma medida, por lo tanto, empezaremos con  dos ángulos congruentes entre sí. Ahora bien,   según la definición de congruencia dada por  una transformación rígida esto significa que   existe una serie de transformaciones rígidas  que mapea el ángulo ABC en el ángulo DEF. Y por la definición de transformaciones rígidas se preserva la medida de los ángulos. Así que, si somos capaces de mapear el ángulo  de la izquierda en el ángulo de la derecha con   transformaciones rígidas que preserven la medida  del ángulo, entonces los ángulos deben tener la   misma medida; por lo tanto, ya sabemos que la  medida del ángulo ABC es igual a la medida del   ángulo DEF, y con esto hemos demostrado este  enunciado verde en este sentido, es decir,   demostramos que los ángulos son congruentes si  tienen la misma medida. Ahora demostrémoslo en   el sentido inverso. Empecemos con la idea de  que la medida del ángulo ABC es igual a la   medida del ángulo DEF. Para demostrar que estos  ángulos son congruentes, mostraremos que siempre   existe una serie de transformaciones rígidas  para mapear el ángulo ABC en el ángulo DEF.   Para ayudarnos con esto, vamos a visualizar estos  ángulos. Voy a trazar este ángulo rápidamente:   este será el ángulo ABC -y recordemos: un ángulo  está definido por dos rayos que parten de un punto   en común, ese punto es el vértice-, entonces aquí  tenemos el ángulo ABC, y dibujemos el ángulo DEF,   se va a ver algo así, DEF. Y lo que haremos  ahora es realizar nuestra primera transformación   rígida. Primero trasladar el ángulo ABC de tal  forma que el punto B se mapee en el punto E.   Si hacemos esa traslación, el ángulo ABC se  va a ver algo así: el punto B está mapeado   en el punto E, y aquí es donde se mapea A y  por acá es donde se mapea C. Algunas veces   escucharás como notación A'C', y aquí es donde se  mapea B, entonces sería B'. Ahora, la siguiente   cosa que haremos es rotar el ángulo ABC sobre  su vértice, sobre B, de tal forma que el rayo   BC coincida con el rayo EF. Entonces rotaremos  todo el ángulo de esta forma para que ahora el   rayo BC coincida con el rayo EF. Y, bueno, tal  vez estés diciendo: "Oye, C no necesariamente cae   sobre F porque puede que estén a distancias  distintas del vértice". Y eso es cierto,   el rayo se puede definir por cualquier punto que  esté sobre él, pero si ahora hacemos esta rotación   y el rayo BC coincide con el rayo EF, entonces  estos dos rayos serán equivalentes, y dado que   la medida del ángulo ABC es igual a la medida del  ángulo DEF, entonces esto nos dice que el rayo BA   ahora coincide con el rayo ED. Y con esto hemos  realizado una serie de transformaciones rígidas   que siempre funcionan. Si primero trasladamos uno  de los ángulos, entonces sus vértices se mapean   uno en el otro; después, si rotamos hasta que  el rayo inferior de uno de los ángulos coincida   con el rayo inferior del otro ángulo, entonces  podemos afirmar que el rayo superior de los dos   ángulos también coincidirá, debido a que los dos  ángulos tienen la misma medida, y justo por esta   razón ahora los ángulos coinciden completamente.  Por lo tanto, ahora sabemos que el ángulo ABC   es congruente al ángulo DEF. Y hemos acabado,  hemos demostrado ambas partes de este enunciado:   si son congruentes tienen la misma medida y si  tienen la misma medida entonces son congruentes.