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Demostrar los criterios ALA y AAL de congruencia de triángulos mediante transformaciones

CCSS.Math:
HSG.CO.B.8

Transcripción del video

Lo que vamos a hacer en este video es mostrar que  si tenemos dos triángulos diferentes que tienen un   par de lados con la misma longitud -estos lados  azules en cada uno de estos triángulos tienen   la misma longitud- y tienen dos pares de ángulos  donde cada par de ángulos correspondientes mide lo   mismo, este ángulo gris mide lo mismo que este  ángulo de aquí y luego estos arcos anaranjados   dobles muestran que este ángulo ACB tiene  la misma medida que el ángulo DFE, es decir,   que si tenemos dos de los ángulos y un lado con  la misma medida o longitud siempre podemos crear   una serie de transformaciones rígidas que mapeen  un triángulo sobre el otro. Otra forma de decirlo   es que, entonces, deben ser congruentes por la  definición de congruencia por transformaciones   rígidas. Y la razón por la que escribí ángulo,  lado, ángulo, o ASA por sus siglas en inglés aquí,   y ángulo, ángulo, lado, o AAS por sus siglas en  inglés, es para que vean que son equivalentes,   porque si tenemos dos ángulos entonces sabemos  cuál será el tercer ángulo. Por ejemplo,   en este caso si sabemos que tenemos dos pares de  ángulos que miden lo mismo, entonces significa   que el tercer par también debe medir lo mismo.  Entonces sabemos esto también. Si lo pensamos,   tener un lado entre los dos ángulos es equivalente  a tener un ángulo, un ángulo y un lado, porque   mientras tengamos dos ángulos el tercer ángulo  también tendrá la misma medida que el tercer   ángulo correspondiente del otro triángulo. Así  que vamos a mostrar una serie de transformaciones   rígidas que pueden llevarnos de ABC a DEF,  entonces pueden imaginarse el primer paso.   Ya hemos mostrado que, si tenemos dos segmentos  de igual longitud son congruentes, y podemos   hacer una serie de transformaciones rígidas que  mapeen uno sobre el otro. Entonces, lo que quiero   hacer es mapear el segmento AC en el DF, y la  forma en que podemos hacer esto es trasladar   el punto A para que esté sobre el punto D, así  que llamaré a esto A', y luego, cuando haga eso,   este segmento AC se verá más o menos así, sólo  lo estoy bocetando, tendrá esta dirección. Pero,   entonces, el resto del triángulo se moverá con  él, veamos: el resto de este lado anaranjado, el   lado AB, se verá algo así, y luego podemos hacer  otra transformación rígida que es rotar sobre el   punto D o el punto A', son el mismo punto ahora,  de modo que el punto C coincida con el punto F,   y así habremos hecho dos transformaciones  rígidas que mapean AC en DF. Y entonces A',   donde A está mapeado, ahora es igual a D y  F ahora es igual a C'. Pero la pregunta es:   ¿dónde se encuentra ahora el punto B? Y aquí  tenemos que darnos cuenta de que se preservan   las medidas de cada ángulo y dado que las medidas  de los ángulos se conservan tenemos una situación   en la que este ángulo -el ángulo CAB- se conserva,  entonces sería C', A' y luego B' tendría que   ubicarse en algún lugar de este rayo, es decir: si  vamos a preservar la medida del ángulo CAB, B' se   encontrará en algún lugar a lo largo de este rayo,  D' se encontrará en algún lugar a lo largo de este   rayo porque un ángulo se define por dos rayos que  se cruzan en el vértice o comienzan en el vértice,   y debido a que este ángulo se conserva, el ángulo  que forman estos dos rayos, el rayo CA y el rayo   CB, sabemos que B' también tiene que ubicarse en  algún lugar de este rayo, así que B' tiene que   ubicarse en algún lugar de este rayo. Y creo que  se están dando cuenta de a dónde va esto: si B',   debido a que estos dos ángulos se conservan, este  ángulo y este ángulo se han conservado, tiene que   encontrarse en algún lugar de estos dos rayos que  se intersecan en un punto, justo este punto que   coincide con el punto E, entonces aquí es donde  estará B'. Este es un escenario en el cual hemos   mostrado que, con una serie de transformaciones  rígidas, podemos mapear este triángulo en este   otro triángulo. Sin embargo, hay otro escenario,  hay una circunstancia donde se conservan los   ángulos, pero en lugar de que los ángulos estén  en el lado inferior derecho de esta recta azul,   estos se conservan de tal manera que se encuentran  en el otro lado de esta recta azul, y entonces la   pregunta en esta situación es ¿dónde terminaría  B'? Bueno, permítanme dibujar esto un poco más   preciso, voy a replicar estos ángulos, voy a  dibujar un arco como este, un arco como este,   y luego mediré esta distancia. Ya hemos  hecho esto en otros videos cuando intentamos   replicar ángulos. Esta es la distancia y  déjenme dibujar esto con este punto aquí,   aquí. Si los ángulos están en este lado de la  recta, DF o A' C', sabemos que B' tendrá que   estar en algún lugar de este rayo. Voy a tratar  de dibujar esto tan prolijamente como pueda. En   algún lugar de este rayo, y tendría que estar  también en algún lugar del rayo formado por el   otro ángulo. Voy a ver si puedo dibujar esto lo  más prolijamente posible. Creo que hice esto un   poco más grande de lo necesario, pero espero que  sirva para nuestro propósito. Mido esta distancia   justo aquí y mido esta distancia por aquí, lo  que nos lleva hasta acá. Entonces B' se encuentra   en este rayo o podría ubicarse, aunque realmente  debo decir que tiene que ubicarse en este rayo.   Y podemos ver dónde se intersecan estos dos rayos,  justo allí. Entonces el otro escenario es que,   si los ángulos se conservan de manera que estén al  otro lado de esta recta azul, entonces B' estará   allí, y luego podríamos agregar una transformación  rígida más a nuestra serie de transformaciones   rígidas, que es esencialmente un reflejo desde la  recta DF o A' C'. ¿Por qué funcionaría eso para   asignar B' a E? Bueno, debido a que la reflexión  también es una transformación rígida se conservan   los ángulos, y a medida que este ángulo se refleja  se conserva, a medida que este ángulo se refleja   se conserva, y eso significa que llegaríamos al  primer caso en el que estos rayos se reflejarían   sobre estos rayos y B' tendría que ubicarse en  esta intersección. Y ahí lo tenemos: si conocemos   dos ángulos conocemos el tercero, si tenemos dos  ángulos y un lado que tienen la misma medida o   longitud, si hablamos de ángulo o lado, bueno, eso  significa que van a ser triángulos congruentes.