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Demostrar el criterio LLL de congruencia de triángulos mediante transformaciones

Transcripción del video

Lo que vamos a hacer en este video es ver que  si tenemos dos triángulos diferentes donde los   lados correspondientes tienen la misma medida  -es decir, este lado naranja tiene la misma   longitud que este lado naranja, este lado azul  tiene la misma longitud que este lado azul y   también este lado gris tiene la misma longitud  que este lado gris-, entonces podemos deducir   que estos dos triángulos son congruentes entre  sí, con base en la definición de congruencia   dada por transformaciones rígidas. Y para  demostrarlo tendremos que mostrar que siempre   existe una serie de transformaciones rígidas  que mapea el triángulo ABC en el triángulo EDF.   Así que ¿cómo lo hacemos? Bueno, en primer lugar  ya hemos visto en otros videos que si tenemos dos   segmentos de recta que tienen la misma medida,  entonces son congruentes: podemos mapear uno en   el otro usando transformaciones rígidas. Así que  hagamos una serie de transformaciones rígidas que   mapee AB en ED, y ya puedes imaginar cómo lo  haremos. Primero vamos a trasladar el punto A,   de hecho vamos a trasladar por completo este  triángulo de la izquierda de tal forma que el   punto A coincida con el punto E, y entonces el  lado AB va a quedar en esta dirección. Después   rotaremos alrededor de este punto que tenemos  aquí, que podemos llamar A', entonces E = A',   rotaremos alrededor de él de tal forma que el lado  AB coincida con el lado ED. Ya hemos hablado de   esto en otros videos. Por lo tanto este punto  D será igual a B', es decir, el punto donde se   mapea B. Pero la pregunta será: ¿dónde queda C? Si  podemos mostrar que, en efecto, el punto C está en   el punto F, o que, con otra transformación rígida  podemos hacer que el punto C llegue al punto F,   entonces habremos completado la demostración,  ya que seríamos capaces de hacer una serie de   transformaciones rígidas que mapeen este triángulo  en este otro. Para saber dónde queda el punto C,   nuestro compás será bastante útil. Sabemos que  el punto C está exactamente a esta distancia del   punto A, la mediremos con nuestro compás: el punto  C está exactamente a esta distancia del punto A.   Eso significa que el punto C debe estar en algún  lugar sobre esta curva, sobre este arco que   estamos trazando. Todos estos son dos puntos que  están exactamente a la misma distancia del punto   A. Podríamos trazar un círculo completo, pero  creo que ya tienes la idea. Entonces, el punto C,   o podríamos decir C', debe mapearse en algún punto  de este arco, desde la perspectiva de A, ya que   esta es la distancia a la que se encuentra C de A.  Pero, además, sabemos que C está a esta distancia   de B. Ajustemos de nuevo el compás: C está a esta  distancia de B, y si B se mapea en este punto,   es decir, aquí es donde está B', entonces C', o  donde se mapea C, debería estar en algún lugar   sobre esta curva, es decir, podemos ver estas  dos curvas como nuestras restricciones, ya   que C' debe estar en ambas curvas. Por lo tanto,  puede ser justo aquí donde se encuentre F, si mi   transformación rígida nos lleva a que C está en el  mismo lugar que F, con esto nuestra demostración   estaría completa, lo hemos mapeado utilizando  transformaciones rígidas. Ahora bien, la otra   posibilidad es que al hacer estas transformaciones  rígidas C' quede justo aquí, entonces ¿qué otra   transformación rígida podríamos hacer de tal forma  que C' termine en F? Ojo, no olvides que los otros   dos puntos ya coinciden con E y D, así que sólo  nos falta que C' coincida con F. Bueno, una forma   de pensar en esto es la siguiente: sabemos que E  es equidistante tanto de C' como de F, es decir,   esta longitud, a la que le pondremos tres marcas,  va a ser igual a esta otra, ya que, una vez más,   se definen por el radio de este arco; y de igual  manera sabemos que C' está a la misma distancia de   D que F, así que si trazamos una recta que conecte  F y C', una vez más estamos en el caso donde C' no   llega de manera inmediata a F, es decir, donde  C' está de este lado -por así decirlo-, y ya que   el punto E es equidistante a C' y F, entonces  se encuentra en la bisectriz perpendicular del   segmento FC'. La misma idea ocurre para D o B',  esta es la bisectriz perpendicular ya que este   punto D es equidistante tanto a F como a C', de  igual manera E es equidistante tanto a F como   a C', y el conjunto de puntos cuya distancia es  igual a F y C' forman la bisectriz perpendicular   de FC'. Entonces, sabemos que esta recta naranja  es la bisectriz perpendicular de FC'. ¿Por qué es   útil esto? Bueno, esto nos dice que al hacer  las primeras transformaciones para que AB   coincida con ED, si el punto C no coincide con  el punto F y termina por aquí, entonces tenemos   que hacer una transformación extra, tenemos que  hacer una reflexión sobre ED, o sobre A'B' como   quieras verlo, sobre esta recta naranja, y  al realizarla C' coincidirá con F, ya que   la recta naranja es la bisectriz perpendicular,  o podemos verlo de esta forma: esta longitud es   la misma que esta otra, y como es la bisectriz  perpendicular, cuando hagamos la reflexión C'   coincidirá con F. Ahora bien, la reflexión es una  transformación rígida, así que hemos terminado.